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1、第一章第一章 正投影法基础正投影法基础2-1 2-1 投影法的基本概念投影法的基本概念2-2 2-2 三视图形成及投影规律三视图形成及投影规律2-3 2-3 立体表面几何元素立体表面几何元素2-4 2-4 投影举例投影举例2.1 投影法基本概念投影法基本概念一、投影的形成一、投影的形成VAa投影面自然现象投射线1）中心投影法）中心投影法 投射线汇交一点。投射线汇交一点。图形随距离变化而变化。图形随距离变化而变化。SV1、投影法、投影法：物体在投影面的影像的方法。：物体在投影面的影像的方法。2）平行投影法）平行投影法 投射线相互平行。V正正投影：投影：投射线垂直于投影面。投射线垂直于投影面。斜斜
2、投影：投影：S投射线与投影面倾斜。投射线与投影面倾斜。二、平行投影的特性二、平行投影的特性特性：特性：真形性；真形性；积聚性；积聚性；类似性。类似性。对应关系（物与形）对应关系（物与形）平行两线的投平行两线的投影仍平行（平行影仍平行（平行性）；性）；属于线上的点，属于线上的点，其投影仍在线上；其投影仍在线上；点分线段之比，点分线段之比，投影后保持不变投影后保持不变（定比性）。（定比性）。投影面投影面2-2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律两个两个形状不同的形体在形状不同的形体在同一个投影面上的同一个投影面上的投影投影却是相同的。却是相同的。怎样才能准确地表怎样才能准确地表达该物
3、体的形状？达该物体的形状？增加水平位置的投增加水平位置的投影面及投影影面及投影采用多采用多面投影面投影WVH一、三投影面体系一、三投影面体系正面正面投影面（简称正投影面（简称正 面或面或V面）面）水平水平投影面（简称水投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面侧面投影面（简称侧投影面（简称侧 面或面或W面）面）二、形体的三个投影二、形体的三个投影 H面上面上 水平投影水平投影 W面上面上 侧面投影侧面投影 V面上面上 正面投影正面投影俯视图俯视图左左视图视图主视图主视图三个投影面两两三个投影面两两互相垂直互相垂直视图：物体向投影面正投影所得的图形WVH三视图的展开三视图的展开VWHV面保持不动
4、面保持不动H面向下旋转面向下旋转90。W向后旋转向后旋转90。注注意：意：1、三视图的方位关系、三视图的方位关系上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右下下上上左左右右前前后后课堂练习三、三视图的投影规律三、三视图的投影规律三视图的位置：三视图的位置：物体的方位：物体的方位：长长对正对正高平齐高平齐宽宽相等相等长度长度宽度宽度高高度度主主、俯俯视视图图长长对对正正主、左视图高平齐主、左视图高平齐俯、左视图宽相等俯、左视图宽相等2、三视图的度量关系、三视图的度量关系例题例题2-1已知物体的主、俯视图，画出左视图已知物体的主、俯视图，画出左视图2-3 立体表面几何元素的投影分析立体表面几何
5、元素的投影分析一、立体上点的投影一、立体上点的投影二、立体上线的投影二、立体上线的投影三、立体上面的投影三、立体上面的投影一、立体上点的投影一、立体上点的投影1、空间点的两面投影能唯一确定该点、空间点的两面投影能唯一确定该点WHVoX1）空间点）空间点A三面的投影三面的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用空间点用大写字母大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母小写字母表示表示a aa AZY2、点的三面投影、点的三面投影三面投影体系YXZOVWA(x,y,z)a(x,y)a(y,z)a(x,z)xaazayHWVH2）点）
6、点A的三视图及其投影规律的三视图及其投影规律axaza(x,z)ayayZYHXOYWa(x,y)a(y,z)a aOX轴轴，aax=a ayaax=a az,此关系在作图时有两种方式？此关系在作图时有两种方式？a a OZ轴轴,a az=aay是点是点A到到H面的距离面的距离是点是点A到到W面的距离面的距离是点是点A到到V面的距离面的距离Zxya aax已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接用圆规直接量取量取a az=aaxa 45。线线例例3)点点A的三个投影与其坐标之
7、间的关系的三个投影与其坐标之间的关系点点A的的空间位置空间位置a （x，y）a （x，z）a （y，z）点的点的任意任意两两个个投影投影反反映了映了该点的三个坐标该点的三个坐标A（x，y，z）点点A的的三个投影三个投影YXZOVWA(x,y,z)a(x,y)a(y,z)a(x,z)xaazayH例例已知点已知点B(10,20,30)，求其求其三个投三个投影影b、b 和和b。XZYHYWO102030bbb”空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面面的重影点的重影点被被挡住挡住的
8、投的投影加影加()A、C为哪个投影为哪个投影面的重影点呢？面的重影点呢？a a c c()a c重影点重影点BA练习a（b)bb”bB点是否为重影点点是否为重影点？a”bbb”c”ccB点在A点 方B点在A点 方B点在A点 方Z下下X右右y前前总结：问题类型总结：问题类型aa a b b b1.直线的投影仍然是直线直线的投影仍然是直线直线空间位置的确定直线空间位置的确定1).通过通过两个两个已知已知点点2).通过通过一个一个已知已知点点并与并与一条一条已知已知直线平行直线平行直线投影的画法直线投影的画法2.作出直线上两个已知点作出直线上两个已知点的的各面投影各面投影3.将两点的将两点的同面投影
9、同面投影连线连线二、直线的投影二、直线的投影1.1.各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面直线直线在三投影面体系中的在三投
10、影面体系中的位置位置b a aba b b aa b ba 1)投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映在其平行的那个投影面上的投影反映实长实长，且与，且与投影轴倾斜。投影轴倾斜。另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性性实长实长实长实长实长实长ba aa b b b ABb a aba a b ba BAab aa b ba b 反映线段反映线段实长实长。且平行。且平行于相应的投影轴。于相应的投影轴。2)2)投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影
11、另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)b ABb a a(b)a ee f fe(f )FE(d)c dd DCc c一般位置直线一般位置直线投影特性投影特性 三个投影都缩短三个投影都缩短。即。即:都不反映空间都不反映空间线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。s ASs a asa s ass a a BAaa b ba b 1)若若点点在直线上在直线上,则则点的投影点的投影必定在该直线必定在该直线的的同面投影同面投影上上。2)点分割线段所成的
12、比点分割线段所成的比例关系投影后不变。即：例关系投影后不变。即：AK/KB=ak/kb=a k /k b=a k /k b 定比定理定比定理k kk K2 直线上点的投影特性及其直线段的实长直线上点的投影特性及其直线段的实长:BbAa abCcabcabZOXabABZABbABbAB小结：直角三角形法的作图要领：小结：直角三角形法的作图要领：1、以线段一投影为一直角一直角边；2、以该线段另一投影的两点的坐标差为另一直角另一直角边；3、所作的三角形的斜边斜边即为线段的实长实长；4、斜边与该投影的夹角为线段与该投影面的夹角夹角。3）一般位置直线段的实长及其投影面的倾角）一般位置直线段的实长及其投
13、影面的倾角实长实长点点C不不在在直线直线AB上上判断点判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。点点C在直在直线线AB上上例例3abca b c c abca b 例例4：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?abka b k III取取aII=a b 取取aI=a k c因因c点与点与k点不重合，点不重合，故点故点K不在不在AB上。上。例例5 已知点已知点K在直线在直线CD上上,求点求点K的正面投影。的正面投影。OXcddck提示：提示：利用定比性
14、来作图C1k例6 在直线AB上定出C点，使满足AC：CB=2：1abccab 空间两直线平行，则其所有空间两直线平行，则其所有同名投影同名投影必必相互平行。相互平行。反之亦然反之亦然。平行两线段之比平行两线段之比=各同面投影之比各同面投影之比HabABcdCD投影特性投影特性1）平行两直线）平行两直线 因：因：AB/CD，Aa/Cc所以：所以：ab/cd所以：平面所以：平面ABba/平面平面CDdc证明：证明：db d c a cbad b a c 3 两直线的相对位置两直线的相对位置:平行平行相交相交交差交差abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行
15、。对于对于一般位置一般位置直直线，线，只要有两个同面只要有两个同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置特殊位置直线，直线，只有两个同面投影只有两个同面投影互相互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行不平行例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？2 2）相交两直线）相交两直线 若空间两直线相交，则其若空间两直线相交，则其同面投影同面投影必必相交，且相交，且交点交点的
16、投影必符合的投影必符合空间一点空间一点的投的投影规律。影规律。反之亦然反之亦然。投影特性投影特性HABCDabcdkK K点点是是AB、CD两两直线的直线的共有点共有点，根据直，根据直线上的点的投影特性可线上的点的投影特性可知：知：该两直线的投影必该两直线的投影必然相交。然相交。abcdb a c d kk d c b a k cabb a c d k kd例例1：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影例例2：判断：判断AB与与CD是否相交？是否相交？aabbcdcdkkOXZYHYWa”b”k”c”d”12d b a abcdc1(2 )3(4)3 3）
17、交叉两直线）交叉两直线投影特性投影特性：同面投影同面投影可能相交，可能相交，但但“交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。投影的投影的“交点交点”是两是两直线上的一直线上的一 对对重影点重影点的的投影，用其可帮助判断投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？3 4 两直线相交吗？两直线相交吗？2-3 立体表面几何元素的投影分析立体表面几何元素的投影分析一、立体上点的投影一、立体上点的投影二、立体上线的投影二、立体上线的投影三、立体上面的投影三、立体上面的投影abca b c 不在
18、同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形1.平面的表示法平面的表示法:dd 用几何元素表示平面用几何元素表示平面三、平面的投影三、平面的投影平行平行倾斜倾斜1）平面对平面对一个一个投影面的投影特性投影面的投影特性2 平面的投影特性平面的投影特性:投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影现实形投影现实形 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面类似
19、性类似性积聚性积聚性真形性真形性垂直垂直2 2）平面在）平面在三投影面体系三投影面体系中的投影特性中的投影特性平面分类平面分类投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面a b c a b c abc投影面平行面投影面平行面(水平面水平面)积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面
20、水平面投影特性：投影特性：水平水平投影反映实形。投影反映实形。另两个投影分别另两个投影分别积聚积聚成与相应的投影成与相应的投影轴平行的直线。轴平行的直线。两平行线对一框两平行线对一框是什么位置是什么位置的平面？的平面？为什么？为什么？水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面三种位置的投影三种位置的投影面平行面：面平行面：a b c a b c abcbca c b c b a abca c b c b a aabca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面(-(-铅垂面铅垂面)类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：水平水平投影投影积聚积聚成一直线。该直线成一直线
21、。该直线与与X轴、轴、Y轴倾斜。轴倾斜。另外两个投影具有另外两个投影具有类似性类似性。一一斜斜线线对对两两框框bca c b c b a abca c b c b a aabcc b c b a 铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面三种位置的投影三种位置的投影面垂直面：面垂直面：a b c a c b abc一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性投影特性：三框对应三框对应判断判断直线直线在平面在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一过平面内的过平面内的两个两个已知点已知点，则该直，则该直线必在该平面内。线必在该平面内。定定 理理 二二过平面上的过平面上的一个已知一个已
22、知点点，且，且平行平行于该平面于该平面内的内的一已知直线一已知直线，则，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。一、一、平面内取平面内取直线直线3 属于平面内的属于平面内的直线直线和和点点:2根据定理一根据定理一如何解？如何解？de例例1 已知直线已知直线DE在在 ABC所确定的平面所确定的平面 内，求作其水平投影内，求作其水平投影de。1 2 1b cbac e d a 延长延长DE分别与分别与AB、BC边相交于边相交于I、II点，求出点，求出线段线段I II的的水平投影水平投影12，在，在12上上确定确定de的位置。的位置。例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使
23、其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？如何解？如何解？二、平面内取点二、平面内取点 点在平面内的条件：点在平面内的条件：先找出过此点而又在平面内先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，再的一条直线作为辅助线，再在该直线上确定点的位置。在该直线上确定点的位置。点在该平面内的一条直线上。点在该平面内的一条直线上。1 例例1 已知点已知点D在在ABC所确定的平面所确定的平面 内，内，求作其水平投影求作其水平投影d。d abcb a c d1方法一方法一方法二方法二1 d abcb a c d122例例2：已知：已知K点在
24、平面点在平面ABC上，求上，求K点点 的的 水平投影。水平投影。bacc a b k利用平面的利用平面的积聚性求解积聚性求解k bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二两相交直线确定平面两相交直线确定平面两平行直线确定平面两平行直线确定平面n a c b m abcmn例例4：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？例例5：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。正平线正平线
25、n唯一解唯一解c mb a m abcn 一、点的投影规律一、点的投影规律aaZayayaXYYO xa za a aOX轴轴 aax=a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax=a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay=a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a OZ轴轴 点、线点、线 小小 结结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。的判断方法及投影特性。定比定理。定比定理。重点掌握：重点掌握：二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性
26、 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。三、直线上的点三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点
27、的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。平平 面面 小小 结结重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定二、如何在平面上确定直线直线和和点点。三、直线与平面的三、
28、直线与平面的交点交点及平面与平面的及平面与平面的交线交线是是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。