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1、第第44课分类讨论型问题课分类讨论型问题 基础知识基础知识 自主学习自主学习1.分类讨论是重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，很多分类讨论是重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决，分类讨论在解题策略上就是分部问题，就可以逐个予以解决，分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破而治之各个击破2.一般分类讨论的几种情况：一般分类讨论的几种情况：(1)由分类定义的概念必须引起的讨论；由分类定义的概念必须引起的讨论；(2)计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起
2、的讨论；计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的讨论；(3)相对位置不确定，必须讨论；相对位置不确定，必须讨论；(4)含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得而必须分类含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得而必须分类 讨论讨论3.分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类时要做到不遗漏、不重复，善于观察，善于根据事物法，分类时要做到不遗漏、不重复，善于观察，善于根据事物的特性与规律，把握分类标准，正确分类的特性与规律，把握分类标准，正确分类要点梳理要点梳理 难点正本疑点清源难点正本疑点清源 1 1分类讨论型问题对
3、解题的要求分类讨论型问题对解题的要求 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种可能情况，需要对各种情在解答某些数学问题时，有时会遇到多种可能情况，需要对各种情况加以分类求解，然后综合归纳得出问题的正确答案，这就是分类讨况加以分类求解，然后综合归纳得出问题的正确答案，这就是分类讨论论 分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索法，有关分类讨论思想
4、的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性性，能训练人的思维条理性和概括性 2 2需要运用分类讨论思想解决的数学问题，就其引起分类的原需要运用分类讨论思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为以下几个方面：因，可归结为以下几个方面：(1)(1)涉及的数学概念是分类定义的；涉及的数学概念是分类定义的；(2)(2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则有范围或者是条件限运用的数学定理、公式或运算性质、法则有范围或者是条件限制，或者是分类给出的；制，或者是分类给出的；(3)(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；(4
5、)(4)数学问题中含有参数，这些参数的取值不同会导致不同的结果数学问题中含有参数，这些参数的取值不同会导致不同的结果基础自测基础自测1已知已知|x|5，y3，则，则xy的值等于的值等于()A8B2C2D8或或2 答案答案D 解析因为解析因为|x|5，所以，所以x5或或5，因此，因此xy532或或xy538.2已知点已知点P(2,0)，若，若x轴上点轴上点Q到点到点P的距离为的距离为2，则点，则点Q坐标坐标为为()A(0,0)B(4,0)C(0,0)或或(4,0)D以上都不对以上都不对 答案答案C 解析当点解析当点Q在点在点P的左边时，得的左边时，得Q(0,0)；当点；当点Q在点在点P的右的右边
6、时，得边时，得Q(4,0)3如果一个直角三角形的两条边长分别是如果一个直角三角形的两条边长分别是6和和8，另一个与它，另一个与它相似的直角三角形边长分别是相似的直角三角形边长分别是3和和4及及x，那么，那么x的值的值()A只有只有1个个 B可以有可以有2个个 C有有2个以上，但有限个以上，但有限 D有无数个有无数个答案答案B4(2012德州德州)已知三角形的三边长分别为已知三角形的三边长分别为3、4、5，则它的，则它的边与半径为边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是的圆的公共点个数所有可能的情况是()A0,1,2,3 B0,1,2,4 C0,1,2,3,4 D0,1,2,4,5 题型分类
7、题型分类 深度剖析深度剖析题型一三角形问题的分类讨论题型一三角形问题的分类讨论【例例 1】直角三角形的两条边长分别是直角三角形的两条边长分别是6和和8，那么这个三，那么这个三角形的内切圆半径等于角形的内切圆半径等于_探究提高探究提高解答的关键是要注意题设中的解答的关键是要注意题设中的“两条边长两条边长”，可以是可以是“一条直角边，另一条也是直角边一条直角边，另一条也是直角边”或者是或者是“一一条直角边，另一条是斜边条直角边，另一条是斜边”知能迁移知能迁移1已知一个等腰三角形的边长是已知一个等腰三角形的边长是x26x80的的根，则这个三角形的周长等于根，则这个三角形的周长等于_ 答案答案6或或1
8、0或或12 解析解析x26x80的两根为的两根为x12，x24，三角形三角形的周长等于的周长等于2226或或44412或或44210.题型二圆相关的分类讨论题型二圆相关的分类讨论【例例 2】(2008南京南京)如图，已知如图，已知 O的半径为的半径为6 cm，射线，射线PM经过点经过点O，OP10 cm，射线，射线PN与与 O相切于点相切于点Q.A、B两点同时从点两点同时从点P出发，点出发，点A以以5 cm/s的速度沿射线的速度沿射线PM方向方向运动，点运动，点B以以4 cm/s的速度沿射线的速度沿射线PN方向运动设运动时方向运动设运动时间为间为t(s)(1)求求PQ的长；的长；(2)当当t为
9、何值时，直线为何值时，直线AB与与 O相切？相切？图1图2 探究提高探究提高本题本题(2)中直线中直线AB与与 O相切有两种情况，一种相切有两种情况，一种在在 O的左边与的左边与AB相切，一种在相切，一种在 O的右边与的右边与AB相切相切.知能迁移知能迁移2已知：点已知：点O到到ABC的两边的两边AB、AC所在直线的所在直线的距离相等，且距离相等，且OBOC.(1)如图如图1，若点，若点O在在BC上，求证：上，求证：ABAC；(2)如图如图2，若点，若点O在在ABC的内部，求证：的内部，求证：ABAC；(3)若点若点O在在ABC的外部，的外部，ABAC成立吗？请画图表示成立吗？请画图表示图图1
10、 1图图2 2解解(1)过点过点O分别作分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知：分别是垂足，由题意知：OEOF，OBOC，RtOEB RtOFC，BC，ABAC.(2)过点过点O分别作分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEB RtOFC，OBEOCF.OBOC，OBCOCB，ABCACB，ABAC.(3)不一定成立不一定成立(注：当注：当A的平分线所在的直线与边的平分线所在的直线与边BC的垂直平分线重合的垂直平分线重合 时，有时，有ABAC，否则，否则ABAC)题型三相似三角形中的分类讨论题型三相似三角形中的分类讨
11、论 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！探究提高探究提高本题有一定的难度，分类的情况比较复杂，解题本题有一定的难度，分类的情况比较复杂，解题时要多读试题，首先确定分类的方向，理解解题思路，做时要多读试题，首先确定分类的方向，理解解题思路，做到胸有成竹，而不要急于下笔到胸有成竹，而不要急于下笔知能迁移知能迁移3(2012莆田莆田)如图如图1，在，在RtABC中，中，ACB90，AC6，BC8，点，点D在边在边AB上运动，上运动，DE平分平分CDB交边交边BC于点于点E，EMBD垂足为垂足为M，ENCD，垂，垂足为足为N.(1)当当ADCD时，求证：时，求证
12、：DEAC；(2)探究：探究：AD为何值时，为何值时，BME与与CNE相似？相似？(3)探究：探究：AD为值时，四边形为值时，四边形MEND与与BDE的面积相等？的面积相等？解解(1)证明：证明：ADCD，DACDCA，BDC2DAC.又又DE是是BDC的平分线，的平分线，BDC2BDE，DACBDE，DEAC.题型四函数问题的分类讨论题型四函数问题的分类讨论 探究提高探究提高本题中，动点本题中，动点E随时间随时间t的变化而位于不同的位的变化而位于不同的位置，重叠部分的面积置，重叠部分的面积S在在t的取值范围内，存在着不同的的取值范围内，存在着不同的对应关系，因而有不同的函数关系式对应关系，因
13、而有不同的函数关系式答题规范答题规范1414分类讨论不重复、不遗漏分类讨论不重复、不遗漏考题再现考题再现求出所有满足求出所有满足|ab|ab|1的整数对的整数对(a，b)学生作答学生作答 解：根据绝对值的非负性和解：根据绝对值的非负性和a、b均为整数，均为整数，讨论讨论|ab|0且且|ab|1的情况，的情况，得到满足条件的整数对得到满足条件的整数对(a，b)共有共有(0,1)，(0，1)，(1,0)，(1,0)四对四对老师忠告老师忠告1.分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法之一，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法之一，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对在研究此类问题
14、的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰清晰2.分类讨论的一般步骤：分类讨论的一般步骤：确定分类对象；确定分类对象；进行合理分进行合理分类；类；逐类进行讨论；逐类进行讨论；归纳作出结论归纳作出结论.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧 1.1.分类讨论的一般步骤：分类讨论的一般步骤：(1)(1)确定讨论的对象和讨论的范围；确定讨论的对象和讨论的范围；(2)(2)确定分类的标准并进行合理分类；确定分类的标准并进行合理分类；(3)(3)逐级讨论并总结概括得出结论分类讨论解题的关键是如逐级
15、讨论并总结概括得出结论分类讨论解题的关键是如何正确进行分类何正确进行分类 2.2.分类讨论的原则：分类讨论的原则：(1)(1)分类的每一部分是相互独立的；分类的每一部分是相互独立的；(2)(2)一次分类按一个标准一次分类按一个标准(不重复，不遗漏不重复，不遗漏)；(3)(3)分类讨论应逐级进行分类讨论应逐级进行失误与防范失误与防范1 1应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简运用分类的思想，通过正确的分类，复、不遗漏，并力求最简运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答可以
16、使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答2 2分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次，不越级讨论，一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次，不越级讨论，其中最重要的一条是其中最重要的一条是“不漏不重不漏不重”3 3分类讨论的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨分类讨论的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复没有重复)；再对各个分类；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论结，综合得出结论完成考点跟踪训练完成考点跟踪训练44 44