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1、多元数量值函数积分学第1页，此课件共20页哦 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D,1求平面薄片的质量求平面薄片的质量小块质量近似小块质量近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，薄片总质量薄片总质量在点在点处的面密度处的面密度，假定，假定取典型小块取典型小块 ，将其近似，将其近似将薄片分割成若干小块将薄片分割成若干小块 ，第2页，此课件共20页哦2.2.空间物体的质量空间物体的质量设有一空间物体分布在有界闭区域设有一空间物体分布在有界闭区域V上，其体密度上，其体密度作乘积作乘积 小体积小体积 的质量的近似值的质量的近似值将闭区域将闭区域V 任意分成任意分成n 个小闭
2、区域，个小闭区域，表示它的体积，表示它的体积，其中其中,表示第表示第i 个小闭区域，也个小闭区域，也 在每个在每个 上任取一点上任取一点为为 且且 在在V上连续上连续.第3页，此课件共20页哦第4页，此课件共20页哦分割分割求和求和取极限取极限近似近似第5页，此课件共20页哦4.物体的质量分布在一块曲面物体的质量分布在一块曲面S上上分割分割 近似近似 求和求和 取极限取极限设其面密度为设其面密度为 ,点点M在在S上，上，且在且在S上连续上连续.第6页，此课件共20页哦二、多元数量值函数积分的概念二、多元数量值函数积分的概念以上几个求物体质量问题在数学上可抽象出：以上几个求物体质量问题在数学上可
3、抽象出：曲线曲线 段，或者是一块平面区域、一块曲面、一个空段，或者是一块平面区域、一块曲面、一个空间区域等），这个几何体是可以度量的（即它是可间区域等），这个几何体是可以度量的（即它是可定义定义 设设 为一有界闭区域的几何形体为一有界闭区域的几何形体(可以是直线、可以是直线、求长的，可求面积和体积的），在求长的，可求面积和体积的），在 上定义了一个上定义了一个有界函数有界函数 f(M),.将此几何形体将此几何形体 任意分割成任意分割成n个小块个小块第7页，此课件共20页哦此极限值称为此极限值称为 f(M)在几何形体在几何形体 上的积分。上的积分。记为：记为：上述和式的极限存在，则称上述和式的极
4、限存在，则称函数函数f(M)在在 上可积分，上可积分，其中：其中：称为积分域；称为积分域；称为被积表达式或积分微元；称为被积表达式或积分微元；第8页，此课件共20页哦2.当被积函数当被积函数 f(M)1 时，积分时，积分量就是量就是4.以后我们总假定函数以后我们总假定函数 f(M)在在 可积可积.注注:1.当当f(M)为几何形体为几何形体 的密度函数时，其质的密度函数时，其质第9页，此课件共20页哦 在直角坐标系下用平行于在直角坐标系下用平行于面积元素为面积元素为 在在D上的积分则称为上的积分则称为二重积分，二重积分，坐标轴的直线网来划分区域坐标轴的直线网来划分区域D.1.设几何形体设几何形体
5、 是一平面区域是一平面区域D，三、不同三、不同几何形体几何形体 上积分的表达式上积分的表达式第10页，此课件共20页哦就称为就称为三重积分三重积分.记为记为如果几何形体如果几何形体 是一空间区域是一空间区域V，那么在那么在V上的积分上的积分2.设几何形体设几何形体 是一空间区域是一空间区域V第11页，此课件共20页哦上的积分就称为上的积分就称为第一类曲线积分第一类曲线积分或或对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分.记为：记为：如果如果L是闭曲线，常记为：是闭曲线，常记为：3.设几何形体设几何形体 为一条平面或空间曲线为一条平面或空间曲线L，那么在，那么在L第12页，此课件共20页哦为为第一类曲面积分
6、或对面积的曲面积分第一类曲面积分或对面积的曲面积分.如果如果S是闭曲面，常记为是闭曲面，常记为那么在那么在S上的积分就称上的积分就称4.设几何形体设几何形体 为一曲面为一曲面S，第13页，此课件共20页哦第14页，此课件共20页哦四、积分的性质四、积分的性质性质性质1 函数的和（或差）的积分等于各个函数函数的和（或差）的积分等于各个函数积分的和（或差），即积分的和（或差），即性质性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即即注注 以下性质的证明与定积分的证明完全类似以下性质的证明与定积分的证明完全类似.第15页，此课件共20页哦无公共内点，则无公共内点
7、，则性质性质3 闭区域闭区域 分成两个闭区域分成两个闭区域 且且 与与性质性质4 如果在如果在 上满足上满足 f(M)g(M),则则第16页，此课件共20页哦性质性质5 (估值定理估值定理)最大值，则最大值，则性质性质6 （积分中值定理）（积分中值定理）设设m,M分别是分别是 f(M)在闭几何形体在闭几何形体 上的最小值和上的最小值和设设 f(M)在闭几何形体在闭几何形体 上连续，则存在上连续，则存在M0 ，使得，使得第17页，此课件共20页哦解解例例1 1 不作计算，估计不作计算，估计 的值，的值，其中其中 是椭圆闭区域是椭圆闭区域：在在 上上 由性质由性质5 5知知 第18页，此课件共20页哦解解例例2 估计估计 的值的值，其中其中D：区域面积区域面积在在 上上 的最大值的最大值 的最小值的最小值 第19页，此课件共20页哦解解例例3 比较积分比较积分 与与的大小的大小,其中其中D是三角形闭区域是三角形闭区域,三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程三角形斜边方程 在在D内有内有 于是于是 第20页，此课件共20页哦