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1、复变函数分式线性复变函数分式线性变换变换1第1页，此课件共52页哦一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1)函数称为分式线性变换,简记为(2)在扩充z平面上补充定义2第2页，此课件共52页哦(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的3第3页，此课件共52页哦2 分式线性变换的分解4第4页，此课件共52页哦(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2)(I)(II)型变换的几何性质旋转旋转位似位似(伸缩伸缩)平移平移5第5页，此课件共52页哦旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换平移映射平移映射6第6页，此课件共52页哦此变换可进一步分解为此变换可进一步分
2、解为:关于单位圆周的对称变换关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换关于实轴的对称变换.规定规定:无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.7第7页，此课件共52页哦.即即:8第8页，此课件共52页哦例例1试将线性变换试将线性变换分解为简单变换的复合分解为简单变换的复合.解解因此可分解为因此可分解为的复合的复合.9第9页，此课件共52页哦例例2 试证试证:除恒等变换外除恒等变换外,一切线性变换一切线性变换(7.3)恒有两个恒有两个相异的或一个二重的不动点相异的或一个二重的不动点证明证明线性变换线性变换(7.3)的不动点适合的不动点适合即即上面系数不全为零上面系数不全为零,10第10
3、页，此课件共52页哦这时这时(7.3)为为有不动点有不动点11第11页，此课件共52页哦不动点不动点二二 分式线性变换的共形分式线性变换的共形12第12页，此课件共52页哦定义定义7.3由定义由定义7.3引入两个反演变换引入两个反演变换13第13页，此课件共52页哦3 定理定理7.7分式线性变换分式线性变换(7.3)在扩充在扩充z平面上是共形的平面上是共形的.注注在无穷远点处在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性不考虑伸缩性的不变性.14第14页，此课件共52页哦三三 分式线性变换的保交比性分式线性变换的保交比性1定义定义7.4注注15第15页，此课件共52页哦2 定理定理7.8在分式线性变换下，
4、四点的交比不变。在分式线性变换下，四点的交比不变。证明证明因此因此16第16页，此课件共52页哦注注因此只需指定三对对应点因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的且除相差一个常数因子外是唯一的.17第17页，此课件共52页哦3 定理定理7.9注注三对对应点唯一确定一分式线性变换三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明证明先考虑已给各点都是有限点的情形先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是设所求分式线性函数是那么，由那么，由18第18页，此课件共52页哦得得同理，有同理，有因此，有因此，有19第19页，此课件共52页哦 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性
5、函函数数。由由此此也也显显然然得这样的分式线性函数也是唯一的。得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由那么，由同理有同理有 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得得这样的分式线性函数也是唯一的。这样的分式线性函数也是唯一的。其其次次，如如果果已已给给各各点点除除 外外都都是是有有限限点点。则所求分式线性函数有下列的形式：则所求分式线性函数有下列的形式：20第20页，此课件共52页哦例例3求将求将分别变为分别变为的分式线性变换的分式线性变换.解解所求的分式线性变换为所求的分式线性变换为即即整理得整理得21第21页，此课件共52页哦四四 分式线性变换的保
6、圆周分式线性变换的保圆周(圆圆)性性对对(I)显然将圆周显然将圆周(或直线或直线)变为圆周变为圆周(或直线或直线).对对(II)型型:因圆周因圆周(或直线或直线)可表为可表为它表示圆周或直线它表示圆周或直线.22第22页，此课件共52页哦1 定理定理7.10 分分式式线线性性变变换换将将平平面面上上圆圆周周(或或直直线线)变变为为圆周圆周(或直线或直线).注注1 在扩充在扩充z平面上平面上,直线可视为过无穷远点的圆周直线可视为过无穷远点的圆周.事实上事实上,(7.11)可写成可写成注注2同时圆被共形变换成圆同时圆被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性分式线性变换的保圆性.23第23页，此课件共5
7、2页哦24第24页，此课件共52页哦.25第25页，此课件共52页哦注注3 在在扩扩充充z平平面面上上给给定定区区域域K及及D,其其边边界界是是的的圆圆周周,则则K可可共形变换成共形变换成D.注注4例例4 试决定在分式线性变换试决定在分式线性变换下实轴与上半下实轴与上半z平面及单位圆周平面及单位圆周的像的像.解解(1)因系数为实数因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面即上下两个半平面,26第26页，此课件共52页哦(2)扩充扩充z平面上的圆周由三个点决定平面上的圆周由三个点决定,27第27页，此
8、课件共52页哦五五 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性1定义定义7.5注注证明证明“必要性必要性”28第28页，此课件共52页哦则则所以所以“充分性充分性”29第29页，此课件共52页哦.2 定理定理7.1证明证明30第30页，此课件共52页哦.31第31页，此课件共52页哦3 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性定理定理7.12证明证明由分式线性变换的保角性由分式线性变换的保角性,由定理由定理7.11,32第32页，此课件共52页哦解解由定理由定理7.12,例例5 求线性变换求线性变换变为上半平面变为上半平面,使将圆盘使将圆盘33第33页，此课件共52页哦由线性变换的保交比
9、性由线性变换的保交比性,所求的线性变换为所求的线性变换为即即整理后得整理后得34第34页，此课件共52页哦六六 线性变换的应用线性变换的应用 由由于于线线性性变变换换具具有有共共形形性性,保保交交比比性性,保保圆圆(圆圆周周)性性和和保保对对称称点点性性,它它在在处处理理边边界界为为圆圆弧弧或或直直线线的的区区域域变变换换中中,起着重要的作用起着重要的作用,下面介绍一些类型下面介绍一些类型.例例635第35页，此课件共52页哦事实上事实上,所述变换将实轴变为实轴所述变换将实轴变为实轴,且当且当z为实数时为实数时即实轴变为实轴是同向的即实轴变为实轴是同向的,或或解解36第36页，此课件共52页哦
10、例例7解解故故37第37页，此课件共52页哦即即故故解该方程组得解该方程组得故所的线性变换为故所的线性变换为38第38页，此课件共52页哦例例8解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,39第39页，此课件共52页哦因此这个变换应具有形式因此这个变换应具有形式,故可令故可令从而所求的变换为从而所求的变换为40第40页，此课件共52页哦注注1确定变换确定变换(7.13)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注241第41页，此课件共52页哦例例9解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式因此所求变换具有形式42第42页，此课件共52页哦利用单位圆周变
11、为单位圆周的条件知利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令因此令从而所求的变换为从而所求的变换为43第43页，此课件共52页哦注注1确定变换确定变换(7.14)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注244第44页，此课件共52页哦例例1045第45页，此课件共52页哦解解作线线变换作线线变换复合上述两个变换得复合上述两个变换得整理得整理得46第46页，此课件共52页哦即由即由得得从而所求的变换为从而所求的变换为47第47页，此课件共52页哦例例11解解(1)先作伸缩变换先作伸缩变换(2)再作平移变换再作平移变换48第48页，此课件共52页哦使得使得于是于是(4)排列对应点排列对应点49第49页，此课件共52页哦(5)将以上线性变换复合起来将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为即得所求的线性变换为50第50页，此课件共52页哦51第51页，此课件共52页哦本节结束本节结束谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics52第52页，此课件共52页哦