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1、1斐波那契数列斐波那契数列2我们先计算下面两道题！我们先计算下面两道题！3二二十秒十秒钟钟加加数数请请用用20秒，秒，计算计算出出左左边边一一列数列数的的和和。1235813213455+89?时间到时间到！答案是答案是 231231。4四四十秒十秒钟钟加加数数再再来来一次！一次！3455891442333776109871597+2584?时间到时间到！答案是答案是 67106710。5这与这与“斐波那契斐波那契数数列列”有关有关6 兔子问题和斐波那契数列兔子问题和斐波那契数列 兔子问题兔子问题 取自意大利数学家取自意大利数学家斐波那契的斐波那契的算盘书算盘书（1202年）年）(L.Fibo
2、nacci,1170-1250(L.Fibonacci,1170-1250）7兔子问题兔子问题 假定一对刚出生的小兔假定一对刚出生的小兔一个月后就能一个月后就能长成大兔长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔再过一个月便能生下一对小兔,并且以后每个月都生一对小兔并且以后每个月都生一对小兔。一年内没一年内没有发生死亡。有发生死亡。那么那么,由一对刚出生的兔子开由一对刚出生的兔子开始始,12,12个月后会有多少对兔子呢个月后会有多少对兔子呢?8解答解答1 1 月月 1 1 对对9解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对10解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对
3、3 3 月月 2 2 对对11解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对12解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对13解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对14解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6
4、 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对15解答解答可以可以将结将结果以列果以列表表形式形式给给出：出：1 1月月2 2月月3 3月月5 5月月4 4月月6 6月月7 7月月8 8月月9 9月月1111月月1010月月1212月月1 11 12 23 35 58 81313212134345555898914414416 兔子问题的另外一种提法：兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对第一个月是一对大兔子大兔子，类似繁殖；到第十二，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？个月时，共有多少对兔子？规律规律月月 份份 大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
5、1441 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 890 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子144144对，小兔子对，小兔子8989对，共有对，共有兔子兔子144+89=144+89=233233对。对。17 斐波那契数列斐波那契数列 公式公式 用用 表示第表示第 个月大兔子的对数，则有个月大兔子的对数，则有二阶递推公式二阶递推公式 18 斐波那契数列斐波那契数列 令令n=1,2,3,依依次次写写出出数数列列，就就是是 1，1，2，3，5，8，13，21
6、，34，55，89，144，233，377，这这就就是是斐斐波波那那契契数数列列。其其中中的的任任一一个个 数，都叫数，都叫斐波那契数斐波那契数。19 斐斐波波那那契契数数列列是是从从兔兔子子问问题题中中抽抽象象出出来来的的，如如果果它它在在其其它它方方面面没没有有应应用用，它它就就不不会会有有强强大大的的生生命命力力。发发人人深深省省的的是是，斐斐波那契数列确实在许多问题中出现。波那契数列确实在许多问题中出现。21自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐斐波波那那契契数数列列中中的的任任一一个个数数，都都叫叫斐斐波波那那契契数数。斐斐波波那那契契数数是是大大自自然然的的一一个个基基本模式
7、，它出现在许多场合。本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。下面举几个例子。22 1 1）花瓣数中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有例如，兰花、茉利花、百合花有3 3个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，毛茛属的植物有5 5个花瓣，翠雀属个花瓣，翠雀属植物有植物有8 8个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，万寿菊属植物有1313个花瓣，个花瓣，紫菀属植物有紫菀属植物有2121个花瓣，雏菊属植物有个花瓣，雏菊属植物有3434、5555或或8989个花瓣。个花瓣。23花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契
8、数花瓣的花瓣的数数目目马蹄莲（马蹄莲（1）24白色马蹄莲（白色马蹄莲（1）25虎刺梅（虎刺梅（2）26紫露草（紫露草（3）27铁兰铁兰（3）28铁兰铁兰（3 3）29花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目洋紫荊（洋紫荊（5 5）黃黃蝉蝉（5 5）蝴蝶蝴蝶兰兰（5 5）30花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目雏雏菊（菊（1313）雏雏菊（菊（1313）兰兰花花132苹苹 果果 花花15324格桑花格桑花12534687雏雏菊菊1 234567891011121335 3 5 8 13 21 34372 2）树杈）树杈的的数数目目13853211383 3）向
9、日葵花盘内葵花子排列的螺线数）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数 向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数条条；反向再数就变成了；反向再数就变成了条条是不是不是很有意思呀！是很有意思呀！40 向日葵花盘内，种子是按对数螺线排向日葵花盘内，种子是按对数螺线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是斐波那契数，一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发现过一个更大的向日葵，还曾发现过一个更大的向日葵有有144和和233条螺线，它们都是
10、相继的两个条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。斐波那契数。41 多叶芦荟，又名多叶芦荟，又名螺旋芦荟螺旋芦荟42 松果松果种种子的排列子的排列43 松果松果种种子的排列子的排列44 松果松果种种子的排列子的排列45菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5-85-8）46 这一模式几个世纪前已被注意到，此后这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角是黄金角137.
11、50776度；这使种子的堆集度；这使种子的堆集效率达到最高。效率达到最高。47斐斐波波那那契契数数列列与与黄黄金金分分割割有有密密切切的的联联系系：相相邻邻两两数数之之比比，交交替替地地大大于于或或小小于于黄黄金金比比；并并且且，两两数数之之比比的的差差随随项项数数的的增增加加而而越越来来越越小小，趋趋近近于于0，从从而而这这个个比比存存在在极极限；而且限；而且这个比的极限也是黄金比这个比的极限也是黄金比 。黄金矩形黄金矩形 定定 义义：一一 个个 矩矩 形形，如如 果果 从从 中中 裁裁 去去一一个个最最大大的的正正方方形形，剩剩下下的的矩矩形形的的宽宽与与长长之之比比，与与原原矩矩形形的的
12、一一样样（即即剩剩下下的的矩矩形形与与原原矩矩形形相相似似），则则称称具具有有这这种种宽宽与与长长之之比比的的矩矩形形为为黄黄金金矩矩形形。黄黄金金矩矩形形可可以以用用上上述述方法无限地分割下去。方法无限地分割下去。斐波那契数列的整除性斐波那契数列的整除性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除，55“二二十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密数学数学家家发现发现：连续连续 1010个个斐波那斐波那契契数数之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7个数个数的的 11 11 倍！倍！1235813213455+89?所以右式的答案是：21 11=23156“二二十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11=6710与杨辉三角的关系与杨辉三角的关系将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、课外思考：课外思考：斐波拉契数列的通项公式如何推导？斐波拉契数列的通项公式如何推导？