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1、高考导航高考导航热点透析热点透析阅卷评析阅卷评析第2讲三角恒等变换与解三角形高考体验答案答案:1:12.(2014高考新课标全国卷,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案答案:150:150感悟备考(1)三角恒等变换主要考查利用和差公式、二倍角公式、同角三角函数的关系式及其变形等进行求值,化简,多以选择、填空题的形式出现,或在解答题中作为化简三角函数的工具进行考查,试题难度中等及以下.(2)高考对解三角形问题的考查主要包含
2、三个方面:一是正、余弦定理的简单应用,以边、角、面积的计算为主,以选择题或解答题的形式出现,难度较小;二是正、余弦定理的综合应用,与其他知识(如不等式、三角恒等变换等)结合,难度中等或中等以上,多以填空题或解答题的形式出现;三是正、余弦定理的实际应用,以实际问题为背景,考查正、余弦定理的应用,试题难度为中等.题后反思题后反思 三角恒等变换的常用技巧三角恒等变换的常用技巧(1)(1)常值代换常值代换:特别是特别是“1”1”的代换的代换,如如1=sin2+cos2=tan 1=sin2+cos2=tan 4545等等;(2)(2)项的分拆与角的配凑项的分拆与角的配凑:如如sin2+2cos2=1+
3、cos2,=(-)+sin2+2cos2=1+cos2,=(-)+等等;(3)(3)降次与升降降次与升降:正用二倍角公式升次正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次逆用二倍角公式降次;(4)(4)弦、切互化弦、切互化:一般是切化弦一般是切化弦;(5)(5)公式的变形应用公式的变形应用:如如sin=cos tan,tan+tan sin=cos tan,tan+tan=tan(+)(1-tan tan)=tan(+)(1-tan tan)等等;题后反思题后反思(1)(1)在解三角形问题时要根据题意恰在解三角形问题时要根据题意恰当选择正弦定理或余弦定理实现边角互化当选择正弦定理或余弦定理实现边角互化
4、,有时有时可能交替使用可能交替使用.热点三 正、余弦定理的实际应用【例3】一缉私艇发现在其方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45方向,距离其15海里的海面上有一走私船正以25海里/小时的速度沿方位角105的方向逃窜.若缉私艇的速度为35海里/小时,缉私艇沿方位角为45+的方向追去,若要在最短时间内追上走私船.(1)求角的正弦值;(2)求缉私艇追上走私船所需的时间.题后反思题后反思 正、余弦定理是解三角形的工具正、余弦定理是解三角形的工具,而而三角形应用问题中的测量问题、行程问题等都是三角形应用问题中的测量问题、行程问题等都是考查正、余弦定理应用的常见模型考查正、余弦定理应用的常见
5、模型.解决此类问题解决此类问题,首先根据题意合理画出示意图首先根据题意合理画出示意图,并标注已知信息并标注已知信息,然后结合图形将条件归结到某一个三角形中然后结合图形将条件归结到某一个三角形中,最后最后正确选取正、余弦定理求解正确选取正、余弦定理求解.热点训练3:如图所示,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sin 的值.(1)(1)证明证明:sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1,sin As
6、in B+sin Bsin C+cos 2B=1,sin Asin B+sin Bsin C=2sinsin Asin B+sin Bsin C=2sin2 2 B.B.sin B0,sin B0,sin A+sin C=2sin B,sin A+sin C=2sin B,由正弦定理得由正弦定理得a+c=2b.a+c=2b.aa、b b、c c成等差数列成等差数列.题后反思题后反思 解三角形常与三角恒等变换相结合考解三角形常与三角恒等变换相结合考查正、余弦定理的应用查正、余弦定理的应用,其实质是将三角形问题其实质是将三角形问题转化为代数问题转化为代数问题.解题过程中也常利用三角恒等解题过程中也
7、常利用三角恒等变换知识进行转化变换知识进行转化,本例中第本例中第(1)(1)问可结合三角问可结合三角恒等变换恒等变换,利用正弦定理把角转化为边利用正弦定理把角转化为边;第第(2)(2)问问可利用余弦定理将问题转化为关于可利用余弦定理将问题转化为关于a,ba,b的方程的方程.第一问赋分细则第一问赋分细则:结果正确结果正确,过程合理得满分过程合理得满分;正弦定理用错不得分正弦定理用错不得分;求出求出sin Asin A后后,不考虑不考虑A A的范围求出两解得的范围求出两解得4 4分分(扣扣2 2分分).).第二问赋分细则第二问赋分细则:结果正确结果正确,过程合理得满分过程合理得满分;余弦定理写错基
8、本不得分余弦定理写错基本不得分;面积公式写错扣面积公式写错扣2 2分分.失分警示失分警示(1)(1)不能正确地运用正弦定理将已知不能正确地运用正弦定理将已知条件转化为角的关系式条件转化为角的关系式,导致无法继续解题导致无法继续解题,或或者盲目地将角转化为边者盲目地将角转化为边,得到的代数式较为复杂得到的代数式较为复杂,无法进一步求解无法进一步求解.(2)(2)忽略条件忽略条件“锐角锐角ABCABC中中”而得到两解而得到两解.(3)(3)不能正确地选择余弦定理解三角形不能正确地选择余弦定理解三角形,从而无从而无法求出三角形面积法求出三角形面积.解解:(1)(1)法一由余弦定理法一由余弦定理c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos C,-2abcos C,得得b b2-2-3b+2=0,3b+2=0,所以所以b=1b=1或或b=2.b=2.点击进入限时训练