《2023届高中数学竞赛—平面几何基础知识（基本定理、基本性质）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高中数学竞赛—平面几何基础知识（基本定理、基本性质）.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍 2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有)(22222BPAPACAB+=+；中线长：222222acbma+=4 垂线定理：2222BDBCADACCDAB=高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin)()(2=5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分
2、对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 如ABC 中，AD 平分BAC，则ACABDCBD=；（外角平分线定理）角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta+=+=（其中p为周长一半）6 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin=，（其中R为三角形外接圆半径）7 余弦定理：Cabbaccos2222+=8 张角定理：ABDACACBADADBAC+=sinsin sin 9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有 AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD 10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角
3、如何转化？）11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形 ABCD 中，ACBD，自对角线的交点 P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14 点到圆的幂：设 P 为O 所在平面上任意一点，PO=d，O 的半径为 r，则 d2r2就是点 P 对于O 的幂过 P任作一直线与O 交于点 A、B，则 PA PB=|d2r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”
4、三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点 15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即 AC BD=AB CD+AD BC，(逆命题成立)（广义托勒密定理）AB CD+AD BCAC BD 16 蝴蝶定理：AB 是O 的弦，M 是其中点，弦 CD、EF 经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证：MP=QM 17 费马点：定理定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆
5、上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理定理 2 三角形每一内角都小于 120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是 120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于 120时，此角的顶点即为费马点 2023届高中数学竞赛平面几何基础知识（基本定理、基本性质）2023届高中数学竞赛平面几何基础知识（基本定理、基本性质）18 拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且 AEBFCD，这个命题称为拿破仑定理 以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C1、A1
6、、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1、A1、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2、A2、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2、A2、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且
7、恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 21 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，外心与内心的距离为 d，则 d2=R22Rr 22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和 23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成 2：1 的两部分；)3,3(CBACBAyyyxxxG+重心性质：（1）设 G 为ABC 的重心，连结 AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，
8、则1:2:=GDAG；（2）设 G 为ABC 的重心，则ABCACGBCGABGSSSS=31；（3）设 G 为ABC 的重心，过 G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交 AB 于 P，交 BC于 F，过 G 作 HKAB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则2;32=+=ABKHCAFPBCDEABKHCAFPBCDE；（4）设 G 为ABC 的重心，则 222222333GCABGBCAGABC+=+=+；)(31222222CABCABGCGBGA+=+；22222223PGGCGBGAPCPBPA+=+（P 为ABC 内任意一点）；到三角形三顶
9、点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA+最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则 G 为ABC 的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscoscoscoscoscos(CcBbAayCcyBbyAaCcBbAaxCcxBbxAaHCBACBA+垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；（2）垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上；（3）ABC 的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为ABC 的外
10、心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO=,25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cbacybyaycbacxbxaxICBACBA+内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则 I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设 I 为ABC 的内心，则CAIBBAICABIC+=+=+=2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交ABC外接圆于点 K，I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB，则 I 为ABC 的内心；（4）设 I 为ABC 的内心，,cABb
11、ACaBC=A平分线交 BC 于 D，交ABC 外接圆于点 K，则acbKDIKKIAKIDAI+=；（5）设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBC=I 在ABACBC,上的射影分别为FED,，内切圆半径为r，令)(21cbap+=，则prSABC=；cpCDCEbpBFBDapAFAE=;；CIBIAIpabcr=26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAyCBACxBxAxOCBACBA+外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；
12、（2）设 O 为ABC 的外心，则ABOC=2或ABOC=2360；（3）=SabcR4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和 27 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC 的三边,cABbACaBC=令)(21cbap+=，分别与ABACBC,外侧相切的旁切圆圆心记为CBAIII,，其半径分别记为CBArrr,旁心性质：（1）,21,2190ACBICBIACBICBA=（对于顶角 B，C 也有类似的式子）；（2）)(21CAIIICBA+=；（3）设AAI的连线交ABC 的外接圆于 D，则DCDBDIA=（对于CBCIBI,有同样的结论）；（
13、4）ABC 是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径R等于ABC 的直径为 2R 28 三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21212=)cotcot(cot4222CBAcba+=)()(cpbpapppr=，其中ah表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，)(21cbap+=29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2cos4,2cos2sin2cos4,2cos2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba=.1111;2tan2tan,2tan2
14、tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba=+=30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有 1=RBARQACQPCBP（逆定理也成立）31 梅涅劳斯定理的应用定理 1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于 Q，C 的平分线交边 AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线 32 梅涅劳斯定理的应用定理 2：过任意ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q、R，则 P、Q、R
15、三点共线 33 塞瓦(Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZZBBXXCCYYA=1 34 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 一定过边 BC 的中点 M 35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点 37 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2：设ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、
16、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点 38 西摩松（Simson）定理：从ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线，（这条直线叫西摩松线 Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 关于西摩松线的定理 1：ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 41 关于西摩松线的定理 2（安宁定理）：在一个圆周上有 4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点 42 史坦纳定理：设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意
17、点 P，这时关于ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心 43 史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点 P 关于ABC 的镜象线 44 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线 45 牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线 46 笛沙格定理 1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边
18、或其延长线相交，则这三个交点共线 47 笛沙格定理 2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线 48 波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R，则 P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2)49 波朗杰、腾下定理推论 1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，若 P、Q、R 关于ABC 的西摩松线交于一点，则 A、B、C 三点关于PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点 50 波朗杰、腾下定理推论 2：在推论 1
19、 中，三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点 51 波朗杰、腾下定理推论 3：考查ABC 的外接圆上的一点 P 的关于ABC 的西摩松线，如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点 P、Q、R 的关于ABC 的西摩松线交于一点 52 波朗杰、腾下定理推论 4：从ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是 D、E、F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是 L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时 L、M、N 点关于关于ABC 的西摩松线交于一点 53 卡诺定理：通过A
20、BC 的外接圆的一点 P，引与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、PF，与三边的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线 54 奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N，在ABC 的外接圆上取一点 P，则 PL、PM、PN 与ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线 55 清宫定理：设 P、Q 为ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点，P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，这时，QU、QV、QW 和边 BC
21、、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线 56 他拿定理：设 P、Q 为关于ABC 的外接圆的一对反点，点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，这时，如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线（反点：P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果 OC2=OQ OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点）57 朗古来定理：在同一圆周上有 A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P，作 P 点的关于这 4个三角形的西摩松线，再从 P
22、向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上 58 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59 一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60 康托尔定理 1：一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点 61 康托尔定理 2：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD
23、 的康托尔线 62 康托尔定理 3：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点这个点叫做 M、N、L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点 63 康托尔定理 4：一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点，则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA、DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康托尔线 64 费尔巴赫定理：三角形的九点圆
24、与内切圆和旁切圆相切 65 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形 66 布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F，则这三线共点 67 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的（或延长线的）交点共线 68 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点 A、B 的距离之比为定比 m：n（值不为 1）的点 P，位于将线段 AB 分成m：n 的内分点 C 和外分点
25、D 为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆 69 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆 70 密格尔（Miquel）点：若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点71 葛尔刚（Gergonne）点：ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点 72 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过 M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABCD4|RdRSSEF=