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1、多项式多项式 与方程与方程常函数y=c，幂函数y=x(Q),指数函数y=ax,对数函数y=logax,三角函数（y=sinx,y=cosx,y=tanx等），反三角函数（y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质教学过程教学过程:一、多项式的值与多项式函数一、多项式的值与多项式函数思思考考第一章第一章 多项式多项式一、多项式函数1.定义：设对 数 称为当F中的根或零点。2.定义（多项式函数）：设对 作映射f：为F上的多项式函数。时 的值，若则称c为在映射f确定了
2、数域F上的一个函数被称第一章第一章 多项式多项式1、带余除法和综合除法所得的余式是 。用一次多项式x-c去 余式定理：除多项式二、整除性设f(x)与g(x)是多项式，且g(x)0，那么存在惟一的一组多项式q(x)和r(x)，使地f(x)=g(x)q(x)+r(x).X-a|f(x)-f(a);整系数多项式 a-b|f(a)-f(b)第一章第一章 多项式多项式三、最大公因式n f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)四、因式分解惟一因式分解定理返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 复数域上多项式复数域上多项式1.代数基本定理及推论代数基本定理及推论五、C,
3、R,Q,Z 域返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页定理：超过n，若在F中有n+1个不同的数使与 的值相等，则 。设它们的次数都不返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页实数域上多项式实数域上多项式实系数多项式非复根的重要性质实系数多项式非复根的重要性质返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页实系数多项式的因式分解实系数多项式的因式分解返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页返回返回返回返回返回
4、返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页高斯定理高斯定理若一非零的整系数多项式可分解成两若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积（逆否）成两个次数较低的整系数多项式的乘积（逆否）整系数多项式的因式分解整系数多项式的因式分解 定理定理 设设是一个整系数多项式，而是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，是它的一个有理根，其中其中 是互素的，则必有是互素的，则必有 定理定理 艾森斯坦因艾森斯坦因Eisenstein判别法判别法设设 是一个整系数多项式，若有一个素数是一个整系数多
5、项式，若有一个素数 使得使得则则 在有理数域上是不可约的在有理数域上是不可约的 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件非必要条件注意注意也就是说也就是说，如果一个整系数多项式如果一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别法条件判别法条件，则它可能是可约的则它可能是可约的，也可能是不可约的也可能是不可约的 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的此时可考虑用适当的代换代换使满足使满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多
6、项式判别法条件，从而来判定原多项式不可约不可约返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页六六.根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）1)1)首首1 1多项式的根与系数的关系多项式的根与系数的关系返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页2 2）非首）非首1 1多项式的根与系数的关系多项式的根与系数的关系返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页返回返
7、回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页问题3、设是F中n个不同的数，是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项式，使利用定理可求一个n-1次多项式使七、Lagrange插值多项式返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页作函数 则 这个公式也称为Lagrange插值公式。返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页v证明：设x0是f(x)的一个整数解，则vf(x)=(x0-a)(x0-b)(x0-c)(x0-d)-25=0v所以(x0-a)(x0-b)(x0-c)(x0-d)=25=（-1）（1）（-5）5v
8、这说明25能且只能是-1，1，-5，5这四个因数的乘积。v例：设a,b,c,d是互不相等的整数，多项式f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-25有整数解。求证：v4（a+b+c+d)v注意到这四个因数分别是(x0-a)，(x0-b)，(x0-c)，(x0-d)v于是：(x0-a)+(x0-b)+(x0-c)+(x0-d)=（-1）+1+（-5）+5=0v即：a+b+c+d=4 x0v由于x0是整数v所以4（a+b+c+d)得证v例：如果整系数方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根，求证：a,b,c至少有一个是偶数v证明：设即约分数r/s是方程的根，则va(r/s)2+b(r/s
9、)+c=0v即a r2+b r s+c s2=0 (1)v下面对a,b,c的奇偶性进行讨论v假设a,b,c均为奇数，由(r，s)=1知，vr 与 s 中至少有一个是奇数v1）当r，s均为奇数时，v a r2+b r s+c s2 是三个奇数的和，其结果是奇数，与（1）式=0矛盾v2）当r，s一奇一偶时，v a r2+b r s+c s2 是两个偶数加一个奇数的和，其结果是奇数，也与（1）式=0矛盾v故a,b,c至少有一个是偶数P86例例2：试确定所有的实系数多项式试确定所有的实系数多项式 ，使得使得 =对所有实数对所有实数 均成立。均成立。解：解：取取 则则 ，即即 是是 的一个根。的一个根。
10、取取 ,则则 ，即即 也是也是 的一个根的一个根 有因式定理，有因式定理，可以写成可以写成 的形式，其中的形式，其中 是实系数多是实系数多项式。把项式。把 代入条件中的等式得代入条件中的等式得 故故 ，由此得，由此得，这表明对无穷多个这表明对无穷多个 ，均取同一值，均取同一值，由定理由定理10的推论的推论1，可设可设 =C（常数）。（常数）。因此所求的多项式为因此所求的多项式为本题与本题与P92例题例题14相似相似p91例例13：求所有实数：求所有实数 ，使，使得得 （）（）（加拿大（加拿大.1998）解解1：设设 （），得（），得 ，故故+（），得（），得 即即故故得得 。即即 ，得，得 因
11、为因为 ，故，故 解解2 原方程可化为原方程可化为构造构造ABC，使，使AB=，AC=，BC边上的高边上的高AH=1.则则 BH=,CH=.因为因为 ,BAC=AHC=.在在ABC中，由勾股定理，中，由勾股定理，有有 即即 。因为。因为 ，故故 ，有有v例11:求下面方程组的所有实数解，并证明你的结论：（1）将三个方程相加，得移项，整理得注意到x、y、z的非负性，上式左边每一项皆非负，故只能为0从而得分析分析答案答案1答案答案练习练习答案提示答案提示韦达他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政
12、府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。分析方法入门是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的数学文集第7篇和丢番
13、图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发
14、展开辟了道路，因此韦达被西方称为代数学之父。1593年，韦达又出版了另一部代数学专著分析五篇（5卷，约1591年完成）；论方程的识别与订正是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在 1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G.卡尔达诺三次方程和L.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1600年以幂的数值解法为题出版。1593年韦达在分析五篇中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的几何补篇（Supplementum geometriae）在图尔出
15、版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外，韦达最早明确给出有关圆周率值的无穷运算式，而且创造了一套 10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393415个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的时间里处于世界领先地位。韦达最主要的贡献韦达最主要的贡献韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。