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1、物理学基地班分析力学讲义三第1页，共88页，编辑于2022年，星期日第2页，共88页，编辑于2022年，星期日例：长为 l 的单摆的拉格朗日函数为其中 平衡位置：微振动：质点对平衡位置的偏离不大 在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到第3页，共88页，编辑于2022年，星期日 推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标，则系统的拉格朗日函数为 设：q0 系统的平衡位置，则 第4页，共88页，编辑于2022年，星期日对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有 二阶小量(势能：平滑不陡峭；若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)则 a(q)只需展开到零阶小量，即 第5页，共88页，
2、编辑于2022年，星期日略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)，且令则由拉格朗日方程第6页，共88页，编辑于2022年，星期日得到运动方程 注：参见理论物理基础教程P383388“量子谐振子量子谐振子”二、自由振动方程的解 自由振动：无强迫力、无阻尼的振动方程 的解为积分常数：A振幅；角频率；初相位。其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。第7页，共88页，编辑于2022年，星期日 由位置与时间的函数 ，分别得到速度和加速度由质点的位置、速度和加速度的表达式可见，它们均与 有关，因此定义 为相位。关于相位的讨论：关于相
3、位的讨论：1.对于同一振动系统，相位不同，则振动状态不同。如：对于振动 ，和 时，它们的振动状态就不同。第8页，共88页，编辑于2022年，星期日2.对于以下两个同频率的简谐振动系统当 时，振动同时到达最大位置，同时到达平衡位置，同时到达反方向最大位置(步调一致步调一致)；当 时，振动1到达正方向最大位置时，振动2到达反方向最大位置，反之亦然(步调相反步调相反)。通过相位，我们可以比较两个不同振动的振动状态：振动超前、振动同步、振动落后。第9页，共88页，编辑于2022年，星期日3.相平面与相速度(注意：波动与振动密切相关)等相面等相面：空间中相位相同的点所组成的曲面。若电磁波的等相面为平面，
4、则称该电磁波为平面电磁波平面电磁波；若电磁波的等相面为球面，则称该电磁波为球面电磁波球面电磁波。例：平面电磁波 ，其等相面为相速度相速度定义为 则当 k 与 vp 共线时，有平面方程第10页，共88页，编辑于2022年，星期日于是即相速度为4.非相干波的叠加、波的群速度 频率单一的波叫做单色波单色波。真正单色波的波列必须是无穷长的，而有限长的波列是许多单色波的叠加。由这样一群单色波组成的波列叫做“波包波包”。为了讨论方便，设有振幅相等、波长和频率都相近的两列波组成的波包，它们的角频率和波数分别为 和 ，且有第11页，共88页，编辑于2022年，星期日二者叠加后，可得 、，即 y x 第12页，
5、共88页，编辑于2022年，星期日 在前式中，右边第二个余弦项表示高频的波动，而第一个余弦项可视为低频传播的振幅。叠加所得的某瞬时波形如上图所示，称高频波受到低频波的调制(如图中绿色的线包络线)。式中高频波的传播速度(即相速相速)为 ，而低频波向前传播的速度(群速度群速度)为 。当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有第13页，共88页，编辑于2022年，星期日附：关于色散的概念 牛顿于1666年用三棱镜把太阳光分成彩色光带，即将复色光分解为单色光而形成光谱，这种现象叫做光的色散。如右图所示。色散的原因：复色光进入棱镜后，由于它对各种频率的光具有不同折射率(即光速随波长而变)
6、，各种色光的传播方向有不同程度的偏折，在离开棱镜时就各自分散，形成光谱。第14页，共88页，编辑于2022年，星期日 在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象都叫做色散，与 k 的依赖关系称为色散关系。根据色散关系，可以对相速度和群速度进行比较。因为所以，对于色散介质，有而对于无色散介质，则群速度等于相速度。第15页，共88页，编辑于2022年，星期日 凡是一个物理系统对输入物理量的不同频率成分有不同的响应，往往就称为“色散”,这是借用光学术语。第16页，共88页，编辑于2022年，星期日自由振动系统：保守系 能量守恒即方程解的复数形式(指数形式)：令 ，则：思考：为什么用复
7、数形式？什么条件下用复数形式？数学上：1.对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算第17页，共88页，编辑于2022年，星期日更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；2.进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等)时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；3.反例：非线性运算。例：电磁场中坡印廷矢量 ，不是另外的例子：见P58 第18页，共88页，编辑于2022年，星期日三、受迫振动设：振子受到一个随时间变化的外场力Ue(x,t)的作用则在平衡位置附近展开Ue(x,t)，有 上式中，Ue(x,t)只是t的函数，对方程无贡献，略去。(确定平衡位置时，不考虑外场)第19页，共88页，编辑于2
8、022年，星期日令 ，则由拉格朗日方程，得到运动方程因令第20页，共88页，编辑于2022年，星期日 关于X的一阶微分方程上式的解法：由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程再通过变易系数法解得非齐次方程的解 第21页，共88页，编辑于2022年，星期日讨论：若外力场为周期性外场周期性外场则选t0，使 ，则积分下限为零。令 第22页，共88页，编辑于2022年，星期日 按本征频率 的振动和按强迫力频率 的振动 的叠加四、拍1.当强迫力的频率 =本征频率 共振现象，(I)式不能用(待讨论)。2.当 和 接近相等时，设 共振区。(I)式的指数形式为 第23页，共88页，编辑于2022年，星期日在一个
9、本征振动周期 内，改变很少(对 求微分)(II)式中：振幅(随t变化)；频率设 ，则振幅A在 与 之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差 拍现象。第24页，共88页，编辑于2022年，星期日第25页，共88页，编辑于2022年，星期日xtx2tx1t第26页，共88页，编辑于2022年，星期日1.4.2 阻尼振动 共振一、无阻尼的共振出发点改写为注意：此处的 不同于第一式的 。第27页，共88页，编辑于2022年，星期日当 时：则共振时共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大振动的振幅将随时间的增长而无限增大讨论：1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；2.实际运动存在阻
10、尼，振幅不会随时间无限增大。第28页，共88页，编辑于2022年，星期日二、阻尼振动说明：说明：所谓“阻尼”是指消耗系统能量的因素，它主要分两类：一类是摩擦阻尼，例如单摆运动时的空气阻力等；另一类是辐射阻尼，当系统引起周围质点的振动时，系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量。例如音叉发声时，一部分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小，最后音叉的振动会停止下来。第29页，共88页，编辑于2022年，星期日实际的振动：存在阻尼。阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。此时：1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；2.不能肯定运动物体的状态只是
11、该瞬时它的坐标和速度 的函数(因为此时要考虑介质本身的运动、介质和物 体内部的热状态)。第30页，共88页，编辑于2022年，星期日力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。但：在某些情况振动频率比介质中的内耗过程的 特征频率小，即振动周期比内耗过程的周期长认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。办法：在运动方程中加进阻力项。若速度又很小，则按速度的方次来展开阻力，有 (：较小)考虑到阻力和运动方向相反，有第31页，共88页，编辑于2022年，星期日 运动方程解的形式：特征方程：其中第32页，共88页，编辑于2022年，星期日 ：弹力阻
12、力；：弹力阻力通解为 三、有阻尼情况下的共振三、有阻尼情况下的共振有阻尼情况下强迫振动的运动方程为 频率为而振幅按指数衰减的振动备忘：当 时，解为第33页，共88页，编辑于2022年，星期日该方程的复数形式为通解为其中 ：初始条件决定 由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的振动衰减，只剩下第二项。第34页，共88页，编辑于2022年，星期日即：1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫 力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因 为 )；2.当 时，振幅c取极大值，发生共振(并不 随t的增长而 无限增长)。四、通过共振时的相位变化和能量吸收率接近共振时，令第35页，共88页，
13、编辑于2022年，星期日 (很小 小量)共振时：远离共振时 ：第36页，共88页，编辑于2022年，星期日 由低到高(由负到正)通过共振频率时，振动的相位改变共振点相位：振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充。单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力在单位时间内做的功，即第37页，共88页，编辑于2022年，星期日一个周期()内能量的平均值为 吸收对频率的依赖关系(色散)第38页，共88页，编辑于2022年，星期日第39页，共88页，编辑于2022年，星期日 ：平均能量吸收率 当共振时 ，有 达到极大值：共振吸收 当 时，降到最大
14、值的一半 若用S表示与 类似的某一物理量，它依赖与外来 频率 。设S在 时达到共振，则 布雷特维格纳分布(共振曲线的普遍分布)第40页，共88页，编辑于2022年，星期日一维阻尼振动方程另外的推导方法一维阻尼振动方程另外的推导方法定义耗散函数：瑞利耗散函数由此得到而这样，广义力可以写为第41页，共88页，编辑于2022年，星期日 对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，广义力为由基本形式的拉格朗日方程第42页，共88页，编辑于2022年，星期日得到耗散系统的拉氏方程上式中的L包含了系统的总动能及保守力的势能。例子：对于一维阻尼振子系统，所受主动力有弹簧的弹力(保守力)和阻力(非保守力)。若
15、阻力为 时，则瑞利耗散函数为 。而系统的拉格朗日函数为 ，则由耗散系统的拉氏方程，得到一维阻尼振子系统的运动方程第43页，共88页，编辑于2022年，星期日1.4.3 多自由度的耦合振动一、弱耦合的二振子系统(两个自由度)设：两个振子 m，k；m，k。两个振子之间用一软弹簧 连接实现两个振子的耦合 k：弱耦合(将软弹簧换为硬弹簧或刚性杆会如何?)又设：滑块 1、滑块 2 的平衡位置为坐标原点，作两轴o1 x1、o2 x2，则势能为第44页，共88页，编辑于2022年，星期日系统的拉格朗日函数为 (思考：将两个方程相加或相减，会出现什么结果？)设：解的形式为 两个滑块以同一频率振动由拉格朗日方程
16、得到运动方程第45页，共88页，编辑于2022年，星期日 关于 C1、C2 的齐次方程组非零解条件为 C1、C2 的两组解：(具体值由初始条件定)(久期方程久期方程)第46页，共88页，编辑于2022年，星期日C1、C2 矩阵形式的解为显然，它们是相互正交的，即归一化：令 ，有第47页，共88页，编辑于2022年，星期日满足正交归一条件：耦合振子系统有两个振动频率：1、2。与1、2 对应，有如下两种确定的集体振动模式一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加，即第48页，共88页，编辑于2022年，星期日选新的广义坐标：Q1、Q2，令则 Q1、Q2 分别表示两种独立的集体振动模式。这样从而得到新
17、旧坐标之间的变换关系第49页，共88页，编辑于2022年，星期日新坐标系下的拉格朗日函数 耦合项消失(退耦)，此时相互耦合 的二振子系统变成两个独立的振子系统。定义：Q1、Q2 为耦合振子系统的简正坐标。第50页，共88页，编辑于2022年，星期日二、对称矩阵的本征值与本征矢(参见p320)为将二耦合振子系统推广到任意 S 个耦合振子系统，将前面关于 C1、C2 的方程改写成矩阵形式，有令则第51页，共88页，编辑于2022年，星期日 一列二行矩阵 U 可看成一个二维空间中的矢量。一般：22 对称矩阵 S 作用在一个任意二维空间矢量 上，会改变它的大小和方向，即 SU 和 U 一般 不平行。但
18、：SU=U 表明此式中的矢量 U 受到 S 的作用后，不改变方向，而只是乘上一个常数。定义：U矩阵 S 的本征矢，与本征矢 U 对 应的本征值，SU=U 对称矩阵 S 的本征 方程。第52页，共88页，编辑于2022年，星期日 这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为求解矩阵 S 的本征值方程。将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量 写成矩阵形式，得到于是，33 的矩阵 S 的本征值方程为第53页，共88页，编辑于2022年，星期日或写为 如果 ，则称矩阵 S 为对称矩阵。对于对称矩阵有如下定理：定理一 33 的对称矩阵 S 有3个独立的本征矢。与本 征矢对应的本征值为实数。第54页，共
19、88页，编辑于2022年，星期日证：SU=U 可写为其中 I 为单位矩阵将 SU U=(S I)U=0 写成矩阵形式第55页，共88页，编辑于2022年，星期日上式是关于3个未知数 u1,u2,u3 的齐次方程组。非零解条件为由以上条件，可得的3个根=a(a=1,2,3)。与每个根相对应，可得到一个解 ，这就是和本征值a 对应的本征矢。假定：S 为实对称矩阵，即第56页，共88页，编辑于2022年，星期日本征值方程又可写成取其复共轭将 ，并利用 ，得到将上式左右两边同时乘以 uj，并对 j 求和，得到第57页，共88页，编辑于2022年，星期日将本征值方程的左右两边同时乘以 ，并对 i 求和，
20、有因此 ，即为实数。讨论：当为实数时，由本征值方程得到的解 u1,u2,u3 也是实数，可以组成有物理意义的矢量。对于 33 的对称矩阵有3个实本征值，相应的有3个独立本征矢。第58页，共88页，编辑于2022年，星期日注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意 常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方 向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以 将本征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上 一个常数使得 ui(i=1,2,3)满足上式的矩阵形式 其中 是 U 的转置矩阵。第59页，共88页，编辑于2022年，星期日定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。证：和 、对应的本征值方程分别
21、为将上两式分别乘上 和 并对 i 求和，得到第60页，共88页，编辑于2022年，星期日对上两式中的第一式的左边交换求和指标 ，有又 ，所以即因 ，所以 ，即 。第61页，共88页，编辑于2022年，星期日 从定理一和定理二可知，33 的对称矩阵有三个独立本征矢，对应于三个本征值。如果这三个本征值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。用本征椭球的三个主轴(对称矩阵的三个本征矢)作为坐标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式第62页，
22、共88页，编辑于2022年，星期日 在以本征椭球的三个主轴为坐标轴的坐标系下，本征矢量的矩阵表达式分别为(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)第63页，共88页，编辑于2022年，星期日备忘：矢量 A 可用复数来表示，如图。在Oxy和Oxy 坐标系下，有 z=x+i y、z=x+i y；，因此 ：代表转动。第64页，共88页，编辑于2022年，星期日 当坐标系转动时，矢量 U 变成 U，它的三个分量 ui(i=1,2,3)是 U 的三个分量 ui(i=1,2,3)的线性组合上式的矩阵形式 U =AU其中矩阵 A 应满足一定的条件，以保证归一化的矢量在转动以后仍然归一化，即有由 A 的任
23、意性(坐标系可任意选取)，有 或第65页，共88页，编辑于2022年，星期日满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物理量的矩阵 S 是对称矩阵，即 ；而坐标转动矩阵 A 则是正交矩阵，即 。由于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵S也发生变化。变化后的矩阵 S 与 S 的关系的推导：原坐标系中，将 S 作用到 U，得另一矢量 V，有 SU=V；坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即 S U =V 由U的任意性，有 S A=AS。第66页，共88页，编辑于2022年，星期日而 ，所以 。可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本 征值和本征矢不变。注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各
24、个 分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是 物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变 化，因而相应的本征椭球在空间中的位置和形状 不变。第67页，共88页，编辑于2022年，星期日定理三 如果对称矩阵 S 的两个本征值相等a=b=，则和它们对应的本征矢 ua 和 ub 的线性组合 也是 S 的对应于同一个本征值 的本 征矢。证：本征值方程为将两式分别乘上 和 并相加，得第68页，共88页，编辑于2022年，星期日上式表明：也是 S 的对应于同一个本征值 的本征矢。两个独立矢量 ua 和 ub 的线性组合形成一个平面。因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个特定的本征矢量，而是一个平
25、面，在这一平面中的任意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互第69页，共88页，编辑于2022年，星期日垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个 33 对称矩阵 S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量u 沿这三个方向时，S 作用到矢量 u 上不改变它的方向。xyzxz第70页，共88页，编辑于2022年，星期日当实对称矩阵 S 的三个本征值相等时，其特征多项式为其中对 S()分别求一阶导数和二阶导数，得第71页，共88页，编辑于2022年，星期日
26、将上式代入 S()的一阶导数表达式，有化简得由于 S 是矩阵，所以第72页，共88页，编辑于2022年，星期日而因此这样由 S 的本征值方程 SU=0U 得 SU=0 IU=0U 即当实对称矩阵 S 的三个本征值相等时，其本征矢方向是任意的，对于电磁介质而言，这说明介质是各向同性的。第73页，共88页，编辑于2022年，星期日推广：S 维矢量的定义定义一 一组 S 个实数 ui(i=1,2,S)称为 S 维空间中 的矢量，每个 ui 称为这一矢量的分量。定义二 两个矢量的对应分量相乘并求和 ，此 和称为它们的标积。说明：对于实矢量，标积的另一种形式 其中第74页，共88页，编辑于2022年，星
27、期日定义三 如果两个矢量的对应分量成正比 ui=c vi，就称 它们相互平行。定义四 如果两个矢量(非零矢量)的标积 等于零，就称它们相互正交。SS 的矩阵 S 的本征值方程成为或者第75页，共88页，编辑于2022年，星期日定理四 SS 的对称矩阵 S 有 S 个独立的本征矢。对应的本征值为实数。当这 S 个本征值各不相等时，对应的 S 个本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组 S 个正交归一的 S 维矢量 。当在 S 个本征值中有 m 个本征值相等时，对应的 m 个独立本征矢的线性组合形成一个 m 维线性子空间(m 维“平面”)，其中的任意矢量都是对称矩阵 S 对应于这一本征值的本征矢。
28、可以从中选出 m 个相互正交的矢量并加以归一化，成为这个 m 维线性子空间中的正交归一完备基。对于所有有第76页，共88页，编辑于2022年，星期日相等本征值的本征矢都这样处理以后，得到一组 S 个矢量 ，满足正交归一条件第77页，共88页，编辑于2022年，星期日以上定理的例子：各向异性介质中电场与电流密度的方向。为便于比较，在各向同性介质中加入电场 E，则根据欧姆定理，有 ，即在各向同性介质中，E与 j 同向；但在各向异性介质中，E 与 j 一般不平行，而是有只有当电场 E 沿 的本征方向加入时，E 才与 j 平行。第78页，共88页，编辑于2022年，星期日三、多自由度耦合振子的集体振动
29、模式对两个自由度的二振子耦合振动系统，势能改写为 第79页，共88页，编辑于2022年，星期日推广到有 S 个自由度的一般情况，有因此，对于有 S 个自由度的振动系统，拉格朗日函数为第80页，共88页，编辑于2022年，星期日拉格朗日方程为又 运动方程 为了得到 S 个质点的集体振动模式，下面来求所有的 以同一频率振动的解。第81页，共88页，编辑于2022年，星期日解的形式：代入运动方程得 关于 的 S 个线性齐次方程组第82页，共88页，编辑于2022年，星期日非零解的条件 关于2 的 S 次代数方程：S 个正实数 S 个自由度的耦合振子系统有 S 个本征频率 第83页，共88页，编辑于2
30、022年，星期日另一种做法：将乘以 ，并令得到 对称矩阵 K 的本征值方程 有 S 个正的本征值 第84页，共88页，编辑于2022年，星期日与 相应的本征矢为 。又因此 所有 S 个自由度 以同一 频率 按特定的方式的协调振动，是 一个集体振动模式，称为简正振动。第85页，共88页，编辑于2022年，星期日实际的振动是这 S 个简正振动的线性叠加 用 表示第个集体振动模式的广义坐标，称为简正坐标。坐标变换为第86页，共88页，编辑于2022年，星期日不同的本征矢 有正交性，令 ，有将 乘以 可以使之归一化又对应于本征值 ，将上式两边乘以 ，并对 作和第87页，共88页，编辑于2022年，星期日所以 可以证明，在新的广义坐标 下，拉格朗日函数退耦合成为 S 个独立振动(为证明下式作准备)第88页，共88页，编辑于2022年，星期日