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1、现现“圆圆”形形 百花齐百花齐放放巧巧 突突 破破 不拘一格不拘一格2022届届全国全国高考高考数学备考数学备考复习复习目录近五年高考考点分析一回归课本示例二2021年备考复习建议三一、近五年高考考点分析一、近五年高考考点分析 纵观纵观近年来的近年来的高考高考解析几何试题，知识面解析几何试题，知识面广，广，综合性综合性强，背景新颖，灵活多样。对直线与圆的强，背景新颖，灵活多样。对直线与圆的知识年年考查，近几年则更有增温态势，且表现知识年年考查，近几年则更有增温态势，且表现为以下三大特点：为以下三大特点：1 1、直线与圆自身模块的小交汇：、直线与圆自身模块的小交汇：这类试题以直线、圆为载体呈现，
2、单纯考查这类试题以直线、圆为载体呈现，单纯考查直线、圆或将两种元素结合在一起综合考查。如：直线、圆或将两种元素结合在一起综合考查。如：直线的平行或垂直判定，直线系方程，直线的对直线的平行或垂直判定，直线系方程，直线的对称问题，直线与圆的相切、相交等问题。称问题，直线与圆的相切、相交等问题。如如:1.（2016年全国卷16题）已知直线 与圆 交于A、B两点，过A、B分别作L的垂线 与x轴交于C、D两点.若 ，则 =_.2.（2018年全国卷文科15题）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点，则 =()3.(2020年全国卷11题）已知圆 ：x2+y2-2x-2y-2=0,直线L
3、:2x+y+2=0,P为L上的动点，过点P作圆 的切线PA、PB，切点为A,B，当 最小时，直线AB的方程为（）A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=02 2、直线与圆同圆锥曲线知识的深度交汇：、直线与圆同圆锥曲线知识的深度交汇：这类问题一直是高考热点。以直线与圆锥曲这类问题一直是高考热点。以直线与圆锥曲线的结合最为常见，几乎所有的圆锥曲线问题都线的结合最为常见，几乎所有的圆锥曲线问题都离不开直线，体现了直线的基础地位。近年来，离不开直线，体现了直线的基础地位。近年来，将直线、圆与圆锥曲线三种曲线结合在一起综合将直线、圆与圆锥曲线三种曲线结合在一起
4、综合考查的题目越来越多，试题通过对知识的重新整考查的题目越来越多，试题通过对知识的重新整合，既注重了整体平衡，更注意突出重点，对学合，既注重了整体平衡，更注意突出重点，对学生综合解决问题的能力，提出了更高的要求。生综合解决问题的能力，提出了更高的要求。1.(2017年全国卷10题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，且以线段 为直径的圆与直线 相切，则C的离心率为_.2.(2018年全国卷20题）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线L与C交于A,B两点，=8 （1）求L的方程（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.（2019年全国卷12题）已知F为双曲线 的右焦点，O为坐标
5、原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点。若 ,则C的离心率为（）A.B.C.2 D.3 3、直线与圆和不同模块知识的大交汇：直线与圆和不同模块知识的大交汇：以以直线与圆和函数、向量、平面几何、代数知直线与圆和函数、向量、平面几何、代数知识的结合最为常见。这为解析几何试题的命制开识的结合最为常见。这为解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇点设计试拓了新的思路，为实现在知识网络交汇点设计试题提供了良好的素材。题提供了良好的素材。1.（2017年全国卷12题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 ，则 的最大值为（）A.3
6、 B.C.D.22.(2018年全国卷8题）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆（x-2)2+y2=2上，则 面积的取值范围是（）A.2,6 B.4,8 C.D.二、回归课本示例二、回归课本示例 由于直线与圆的基础地位以及与其他知识联由于直线与圆的基础地位以及与其他知识联系紧密的特点，所以在复习时一定要求学生回归系紧密的特点，所以在复习时一定要求学生回归课本，而回归课本并不是简单的一句让学生自己课本，而回归课本并不是简单的一句让学生自己看书，而是要带领学生对课本的例题、习题进行看书，而是要带领学生对课本的例题、习题进行再研究，再探索和综合应用。事实上，大部分高再研究，再探
7、索和综合应用。事实上，大部分高考题都考题都来源于课本来源于课本。如：(2017年全国1卷（理科）17题):的内角A.B.C的对边分别为、b、c，已知 的面积为 ,（1）求就来源于人教A版必修5，20页习题1.2，B组第1题:证明三角形的面积公式：；(2016年全国1卷（理科）17题):的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知 .求C角。则来源于人教A版必修5第18页练习第3题:在 中，求证：；.下面用一个例子来示范一下直线与圆这一章如何回归课本：下面用一个例子来示范一下直线与圆这一章如何回归课本：在普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修2中，多次出现一类问题：1 1、P P124124
8、习题习题4.1 B4.1 B组第组第3 3题题 已知点已知点M M与两个定点与两个定点O(O(0 0，0 0),),A(3A(3，0)0)的距离的距离的比为的比为 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹方程。方程。2、P139140信息技术应用中，用几何画板探究点的轨迹.有一例题：已知点P(2，0)、Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q的距离的 ,用几何画板探究点M的轨迹并给出轨迹的方程.3、P144复习参考题B组2题 已知点M(x,y)与两个定点 的距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。（考虑m=1和m1两种情形）上述三个问题有一个共同的规律即：上述三个问题有一个共同的规
9、律即：平面内到两个定点的距离之比为定值（不为平面内到两个定点的距离之比为定值（不为1 1）的点的轨迹）的点的轨迹其实这三个问题的背景都是其实这三个问题的背景都是阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆阿阿波波罗罗尼尼斯斯对对圆圆锥锥曲曲线线有有深深刻刻的的研研究究，他他与与阿阿基基米米德德、欧几里得被称为亚历山大时期的欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠数学三巨匠”.阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆 设设A.BA.B是平面内的两个定点，平面内的动点是平面内的两个定点，平面内的动点C C到点到点A A的距离的距离与到点与到点B B的距离的比为定值的距离的比为定值 ，则则点点C C的轨迹的轨迹为圆为圆.设定线段设定线
10、段ABAB的长为的长为2a(a0),2a(a0),以线段以线段ABAB所在所在直线为直线为x x轴，线段轴，线段ABAB的中垂线为的中垂线为y y轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系，则直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0),A(-a,0),B(a,0),圆心圆心(,0),(,0),半径为半径为 xAOByC阿波罗尼斯圆很常见，曾多次在高考或各阿波罗尼斯圆很常见，曾多次在高考或各类自招竞赛题中显性或隐性地出现。类自招竞赛题中显性或隐性地出现。例1.若AB=2.AC=BC,则 的最大值是_.解法1：（常规）设BC=x,则AC=，根据面积公式得，根据余弦定理得，将其代入式得，由三角形三边关系有
11、，解得故当 时，取得最大值 .解法2：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-1，0),B(1，0),设C(x,y),由AC=BC可得 ，故点C的轨迹是圆（除去与x轴的两个交点），从而 故 的最大值为xAOByC小结：小结：解法解法1 1用余弦定理将面积转化为边长的齐二次函数用余弦定理将面积转化为边长的齐二次函数，再用，再用二次函数最值求解二次函数最值求解，运算复杂；解法，运算复杂；解法2 2看出看出三角题中三角题中隐藏着阿波罗尼斯圆隐藏着阿波罗尼斯圆，应用面积最大即，应用面积最大即高取圆的半径时最大，巧妙化解难点，使原本复高取圆的半径时最大，巧妙化解难点，使原本复
12、杂的运算变得简单。杂的运算变得简单。解法解法1 1是常规解法，但解法是常规解法，但解法2 2更本质，充分体现了在解小题时要多想少算。更本质，充分体现了在解小题时要多想少算。例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3,则 的面积的最大值为_.此题题干简洁，问法常规，每个人看到此题时都会想去解三角形，但从解三角形角度思考又会感觉无从下手或运算复杂。事实上，若发现AB=2AD，则可知点A在以B、D为两定点的阿波罗尼斯圆上运动，所以与上题一样，易求得：r=2,ABDCABD例2、等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3,则 的面积的最大值为_.此题题干简洁，问法常规，每个人看到此题时都会想
13、去解三角形，但从解三角形角度思考又会感觉无从下手或运算复杂。事实上，若发现AB=2AD，则可知点A在以B、D为两定点的阿波罗尼斯圆上运动，所以与上题一样，易求得：r=2,例3.在平面直角坐标系xoy中，已知点A(0,3)，直线 L:y=2x-4,设圆C的半径为1，圆心在直线L上.若圆C上存在点M使 ,求圆心C的横坐标a的取值范围.解：圆C的圆心在直线L:y=2x-4上，所以，设圆心C为(a,2a-4)，则圆的方程为:又MA=2MO 设M为(x,y)则 整理得:，设为圆D.点M既在圆C上又在圆D上，即:圆C和圆D有交点.由 得 ，由 得 .终上所述,a的取值范围为:小结：此题中很容易想到求点M的
14、轨迹方程，但能否从轨迹中看出是圆，进而利用两圆的位置关系来解题非常关键，这就需要学生要有这方面的知识和经验积累。对比例1和例2，此题中的阿波罗尼斯圆可以认为是显性的。CDBA例4、在 中,AB=2AC,AD是A的平分线.且AD=kAC，求k的取值范围.解法1（常规）：设AC=1,则AB=2,AD=k,由三角形内角平分线的性质可得,.由余弦定理可得,，因为 ,即 ,故所求k的取值范围是yCDBA解法2：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，不妨设B(-a,0),C(a,0)，A(x,y)，由AB=2AC,得点A的轨迹方程为：又因为AD是 的平分线，所以 ,又 ,而 ，代入化
15、简得 ，又x 解法3：由条件AB=2AC,故构造半径为 的阿波罗尼斯圆O，其中 D是BC与圆的交点，AD是的 平分线，则圆O上的点A满足AB=2AC,设 ,则令 ，从而 为减函数.故 ，所以yxEBCDOA注：事实上，此题的几何事实一目了然，当点A在圆上运动时，点A趋近于圆直径的两端点D,E时为k的取值范围的端点，容易计算出端点对应的k值为0和 .yxEBCDOA小结：通过此题可以看出，有些题虽然应用阿波罗尼斯圆在简化解题过程方面优势不大，但却能给我们提供多条思路，而且更容易看出问题的本质。总结：以阿波罗尼斯圆为命题背景编写的试题，由于内容形式常规、起点低，能保证大部分学生有思路、可以做，同时
16、数学水平高、学科素养好的学生，从阿波罗尼斯圆的高层次观点去考虑，往往能更快捷地解决问题。所以这类试题能很好地检测学生能力，实现试题的区分功能。问题的设计以数学史上的名题为基础，显示出数学文化在选拔性考试中独特的“点石成金”的作用。所以，本着从学科的整体高度和思维价值的角度出发，将知识、能力与素质融为一体，全面考查学生的数学素养的试题无疑会是高考的热点。同时，探究命题规律，揭示试题背后的故事，除了能帮助学生从根源上理解试题的解法，更能帮助老师探明试题命制的来龙去脉，从而有效地提高学生的解题水平和教师的教学水平。前面仅以一例说明如何带领学生回归课本，事实上，本章的课本习题有很多是非常有研究价值的。
17、如：1.课本103页与109的直线系方程 与2020年全国1卷20题的过定点问题之间的联系；2.课本121页练习3题与124页习题5题都要求熟练写出以两定点为直径两端点的圆的方程，并且会一般的处理方法。若用一般找圆心，半径的方法去做此类问题会很复杂，而采用课本上的习题5的处理方法，即向量的方法就会简洁很多。三2021年备考复习建议1、重视基础知识的落实 注重回归课本，深入挖掘课本例题和习题的内涵，加强对课本的例题和习题的再研究、再探索和综合应用。让学生多感悟一些“好题”，做到题目穿“肠”过，“思想”心中留，解一题而会一类；及时反思解题方法与解题过程，提取有价值的成分。2、重视解析几何基本思想方
18、法的训练 解析几何解题的根本途径是将几何条件等价地转化为代数条件，但不是所有的几何条件都能轻易地代数化，也不是所有的几何条件在代数化后都是合适、可用的，因此将几何条件做等价的变换，寻找合适的几何条件代数化是解题的关键所在，这也是学生的薄弱点。3、强化解析几何运算能力 运算能力是解析几何最突出的特点，而运算的求简意识则集中体现在综合问题之中。因此，要让学生遵循“设、列、解”的程序化步骤，努力克服重思路方法、轻运算落实的顽症，突破如何避繁就简这一瓶颈，充分发挥利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用。常常思数形结合，思数形结合，巧用几何性质巧用几何性质 注重注重前后联系，前后联系，凸显基础地位凸显基础地位总之，复习本章时应：总之，复习本章时应：