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1、为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏两点之间，线段最短第1页/共23页将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为 将军饮马 而广为流传的问题。第2页/共23页P两点之间线段最短两点之间线段最短.根据：根据：BA(一一)两 点 在 一 条 直 线两 点 在 一 条 直 线两 侧两 侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图
2、：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城到城堡堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？怎样走路程最短？最短路线：最短路线：A-P-B.第3页/共23页例2.2.如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡B B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB第4页/共23页BABC作法：（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B（2）连结BA，交MN于点 C；所以 点C就是所求的点MN第5页/共23页 BC+AC BC+AC，即AC+BC最小NABCBC 直线MN是点B、B的对称轴，点C、C在对称轴上，BC=BC，BC=BC 在MN 上任取另一点
3、C，连结BC、BC、AC、BC 例2证明：在ABC中，ABAC+BC，BC+AC=BC+AC=BAM BC+AC=BC+AC第6页/共23页例2变式1：已知：P、Q是ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使PQR的周长最短吗？第7页/共23页草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？OMN第8页/共23页.例3 3已知如图 和 内一点A A 求作:OM:OM上一点B,ONB,ON上一点C,C,使AB+BC+ACAB+BC+AC最小作法:（1 1）作点A A关于OMOM、ON ON的
4、对称点AA、A”A”(2(2）连结AA和A”A”，交OMOM于B,B,交ONON于C,C,则点B B、C C为所求。第9页/共23页例3 3变式1 1：已知P P是ABCABC的边BCBC上的点，你能在ABAB、ACAC上分别确定一点Q Q和R R，使PQRPQR的周长最短吗？第10页/共23页例4 4：如图，A A为马厩，B B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。两点在两相交直线内部第11页/共23页答案：如图答案：如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷,牧马人某一天牧马人某一天要从马厩牵出马要从马厩牵出马,
5、先到草地边某一处牧马先到草地边某一处牧马,再再到河边饮马到河边饮马,然后回到帐篷然后回到帐篷.请你帮他确定这请你帮他确定这一天的最短路线一天的最短路线.ABABCD第12页/共23页.例4 4变式1 1：已知：MONMON内两点A A、B B.求作：点C C和点D,D,使得点C C在OMOM上，点D D在ONON上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。第13页/共23页例例4 4变式变式2 2：如图，：如图，OMCNOMCN是矩形的台球桌面，是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于有黑、白两球分别位于B B、A A两点的位置上，两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白
6、球，使白球A A依次碰撞球台依次碰撞球台边边OMOM、ONON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？第14页/共23页.AABBCDMON例4变式2：第15页/共23页在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最小第16页/共23页在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最大第17页/共23页在直线L上求作点M，使M到A、B两点之间的距离之差最大第18页/共23页在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？第19页/共23页 探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小第20页/共23页年轻的将军又遇到了新的问题：从将军府去军营的路上除了饮马外，还要牵马在河岸散步200米，这个时候如何行走的路线最短呢？第21页/共23页将军府和军营分别在河的两侧，已知河流的宽度为30米，在何地修桥使得将军每天的行程最短呢？第22页/共23页感谢您的欣赏第23页/共23页