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1、进一步掌握反函数的概念进一步掌握反函数的概念掌握互为反函数的两个函数的掌握互为反函数的两个函数的性质性质学习目的学习目的：反函数的概念反函数的概念互为反函数的两个函数的性质互为反函数的两个函数的性质重点难点重点难点：重点重点：难点难点：l互为反函数的两个函数的性质互为反函数的两个函数的性质求函数反函数的求函数反函数的步骤步骤:1 求原函数的值域求原函数的值域2 反解反解x 3 x与与y互互换换 4 写出反函数及它的写出反函数及它的定义域定义域 复习：复习：注：注：例例1、求函数、求函数y=3x-2（xR）的反函数，）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。并画出原函数和它的反函数的图象。解：
2、从解：从y=3x-2，解得，解得 。因。因此，函数此，函数y=3x-2的反函数是的反函数是函数函数y=3x-2（xR）和它的反函数）和它的反函数 的图象如图的图象如图oxyY=xY=3x-21例例2、求函数、求函数y=x3（xR）的反函数，）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的并画出原来的函数和它的反函数的图象。图象。解：从解：从y=x3，解得，解得 ，所以函数，所以函数y=x3（xR）的反函是）的反函是 。函数函数y=x3（xR）和它的反函数）和它的反函数 的图像如图的图像如图yx01.函数函数y=f（x）的图象和它的反函数）的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于的图象关于 直线直
3、线y=x对称对称;2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。单调性。3.如果两个函数的图像关于直线如果两个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这两个函数那么这两个函数 互为反函数互为反函数.4.如果一个函数的图像关于直线如果一个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这个函数的那么这个函数的 反函数就是它本身反函数就是它本身.反之也成立。反之也成立。5.点点P（a，b）关于直线）关于直线 y=x 对称的点是对称的点是P1（b，a）.性质：性质：6.若函数若函数f(x)在其定义域在其定义域D上是单调增函数上是单调增函数,求证它的反函
4、数求证它的反函数f-1(x)也是增函数。也是增函数。证明：在证明：在f-1(x)的定义域内任取的定义域内任取x1,x2且且x1x2令令 f-1(x1)=y1,f-1(x2)=y2于是有于是有f(y1)=x1;f(y2)=x2 所以所以 f(y1)f(y2)因为因为f(x)在其定义域在其定义域D上是增函数，所以上是增函数，所以y1y2所以所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以，所以f-1(x)也是增函也是增函数数例例3：若点若点P（1，2）在函数）在函数 的的图象上，又在它的反函数的图象上，求图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。的值。解：解：由题意知由题意知,点点P(1,2)在函数在
5、函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线数图象关于直线y=x对称的性质知，点对称的性质知，点P1（2，1）也在函数）也在函数 的图象上。的图象上。解得，a=-3，b=7因此，得因此，得例例4、若函数若函数f（x）与）与g（x）的图象关于）的图象关于直线直线y=x对称，且对称，且f（x）=（x-1）2（x1）求求g（x2）解：解：函数函数f（x）与）与g（x）的图象关于直）的图象关于直线线y=x对称对称 g（x）是）是f（x）的反函数，）的反函数，g（x）=f-1（x）=小结：互为反函数的两个函数的互为反函数的两个函数的性质性质1、函数、函数y=f（x）的图象和它的反函数）的图象和它的反函数 的图象关于直线的图象关于直线y=x对称。对称。2、互为反函数的两个函数在各自、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。的定义域内具有相同的单调性。