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1、第四节 分块矩阵 小结 分块矩阵的定义 分块矩阵的运算 在这一节，我们来介绍一个在处理级数较高的在这一节，我们来介绍一个在处理级数较高的矩阵时常用到的方法，即矩阵的分块矩阵时常用到的方法，即矩阵的分块.有时候我们有时候我们把一个大矩阵看成时由一些小矩阵组成的把一个大矩阵看成时由一些小矩阵组成的,就如矩就如矩阵是由数组成的一样。特别是在运算中，把这些阵是由数组成的一样。特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓这就是所谓矩阵的分块矩阵的分块。矩阵分块的定义矩阵分块的定义 用若干条纵线和横线把用若干条纵线和横线把A分成若干个小块，每一分成若干个小块，每一个小块构
2、成的小矩阵称为个小块构成的小矩阵称为A的子块；以子块为元的子块；以子块为元素的矩阵称为素的矩阵称为A的的分块矩阵分块矩阵 例例1其中其中表示表示2 2级单位矩阵，而级单位矩阵，而 例例2可按不同的方式分块可按不同的方式分块如如又如又如按按行行分块可得分块可得按按列列分块可得分块可得二二.分块矩阵的运算分块矩阵的运算分块后的矩阵，分块后的矩阵，把小矩阵当作元素把小矩阵当作元素，按普通的，按普通的矩阵运算法则进行运算矩阵运算法则进行运算 （1）A、B都是都是 矩阵，且矩阵，且分块法相分块法相 同同,如下：如下：其中各对应的子块其中各对应的子块 与与 有相同的行数和有相同的行数和列数，则列数，则 设
3、设 为数，则有为数，则有 注意：与行列式注意：与行列式相关的运算法则相关的运算法则有所不同！有所不同！（2）设）设 为为 矩阵，矩阵，为为 矩阵，分块为矩阵，分块为若若A的的列数列数的分法与的分法与B的的行数行数的分法一致，即的分法一致，即 的列数分别等于的列数分别等于 的行数，的行数，则则其中其中例例1 设设求求解：方法一（直接利用矩阵相乘的运算法则来做）解：方法一（直接利用矩阵相乘的运算法则来做）方法二（利用矩阵的分块）方法二（利用矩阵的分块）略故故（3）矩阵的转置矩阵的转置（4）分块对角矩阵（通常称为分块对角矩阵（通常称为准对角矩阵准对角矩阵）全部为全部为0矩阵矩阵均为方阵均为方阵分块对
4、角矩阵的性质：分块对角矩阵的性质：1、2、（1）当）当 时，有时，有(2)若若 是两个分块对角矩阵，且是两个分块对角矩阵，且 与与 是是同阶方阵同阶方阵 则则 由上可以看出，对于能划分为分块对角矩阵的矩阵，由上可以看出，对于能划分为分块对角矩阵的矩阵，若采用分块来求逆阵或进行行运算是非常方便的若采用分块来求逆阵或进行行运算是非常方便的例例2 设设 求求解解 将将 分块如下：分块如下：故故例例3 设设 分别为分别为 阶和阶和 阶可逆矩阵，求分块阶可逆矩阵，求分块矩阵矩阵的逆矩阵的逆矩阵.分析：对于这类分析：对于这类不是不是分块对角矩阵求逆矩阵时，分块对角矩阵求逆矩阵时，可可先设先设它的它的逆矩阵逆矩阵，然后利用它们相乘等于单，然后利用它们相乘等于单位矩阵，两边对应的子块相等而求得位矩阵，两边对应的子块相等而求得.解解:略小结小结:本节主要是讨论了矩阵的分块，分块后的本节主要是讨论了矩阵的分块，分块后的矩阵与普通的矩阵有一些相类似的性质。特别矩阵与普通的矩阵有一些相类似的性质。特别是在求高阶矩阵的逆阵时，利用矩阵分块的方是在求高阶矩阵的逆阵时，利用矩阵分块的方法可以带来许多方便法可以带来许多方便.