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1、第四章 电路定理 本章主要以本章主要以本章主要以本章主要以线性电阻电路线性电阻电路线性电阻电路线性电阻电路为例来讨论线性网络定理和线性电路的分析方法为例来讨论线性网络定理和线性电路的分析方法为例来讨论线性网络定理和线性电路的分析方法为例来讨论线性网络定理和线性电路的分析方法4.1 4.1 叠加定理叠加定理4.2 4.2 替代定理替代定理4.3 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理4.44.4最大功率传输定理最大功率传输定理4.4 4.4 特勒根定理特勒根定理4.5 4.5 互易定理互易定理4.6 Review4.6 Review作业作业科学家推荐 欧姆（欧姆（欧姆（欧姆（Georg
2、 Simon OhmGeorg Simon Ohm）（）（）（）（1787-18541787-1854）德国物理学）德国物理学）德国物理学）德国物理学家，家，家，家，18261826年由实验得出最基本的表述电压、电流、电阻三者年由实验得出最基本的表述电压、电流、电阻三者年由实验得出最基本的表述电压、电流、电阻三者年由实验得出最基本的表述电压、电流、电阻三者之间关系的欧姆定律。之间关系的欧姆定律。之间关系的欧姆定律。之间关系的欧姆定律。欧姆出生于德国巴伐利亚州的埃尔兰根，有艰辛的童年。欧姆出生于德国巴伐利亚州的埃尔兰根，有艰辛的童年。欧姆出生于德国巴伐利亚州的埃尔兰根，有艰辛的童年。欧姆出生于德
3、国巴伐利亚州的埃尔兰根，有艰辛的童年。欧姆一生从事电学研究，建立了著名的欧姆定律。欧姆一生从事电学研究，建立了著名的欧姆定律。欧姆一生从事电学研究，建立了著名的欧姆定律。欧姆一生从事电学研究，建立了著名的欧姆定律。18411841年，年，年，年，伦敦皇家学院授予他伦敦皇家学院授予他伦敦皇家学院授予他伦敦皇家学院授予他Copley MedalCopley Medal奖。奖。奖。奖。18491849年，慕尼黑大年，慕尼黑大年，慕尼黑大年，慕尼黑大学授予他物理学首席教授职位。电阻的单位以欧姆命名。学授予他物理学首席教授职位。电阻的单位以欧姆命名。学授予他物理学首席教授职位。电阻的单位以欧姆命名。学授
4、予他物理学首席教授职位。电阻的单位以欧姆命名。1.叠加定理叠加定理在在线线性性电电路路中中，任任一一支支路路的的电电流流(或或电电压压)可可以以看看成成是是电电路路中中每每一一个个独独立立电电源源单单独独作作用用于于电电路路时时，在在该该支支路路产生的电流产生的电流(或电压或电压)的代数和。的代数和。4.1 叠加定理(Superposition Theorem)2.2.定理的证明定理的证明G1is1G2us2G3us3i2i3+1用结点法：用结点法：(G2+G3)un1=G2 2us2+G3 3us3+iS1R1is1R2us2R3us3i2i3+1或表示为：或表示为：支路电流为：支路电流为：
5、结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。结论结论3.3.几点说明几点说明1.1.叠加定理只适用于线性电路。叠加定理只适用于线性电路。2.2.一个电源作用，其余电源为零一个电源作用，其余电源为零电压源为零电压源为零短路。短路。电流源为零电流源为零开路。开路。R1is1R2us2R3us3i2i3+1三个电源共同作用三个电源共同作用R1is1R2R31is1单独作用单独作用=+us2单独作用单独作用us3单独作用单独作用+R1R2us2R3+1R1R2us3R3+
6、13.3.功率不能叠加功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数二次函数)。4.4.u u,i i叠加时要注意各分量的参考方向。叠加时要注意各分量的参考方向。5.5.含受控源含受控源(线性线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。独立源，受控源应始终保留。4.4.叠加定理的应用叠加定理的应用例例求电压求电压U.8 12V3A+6 3 2+U8 3A6 3 2+U(2）8 12V+6 3 2+U(1)画出分画出分电路图电路图12V电源作用：电源作用：3A电源作用：电源作用：解解例例10V2Au2 3
7、3 2 求电流源的电压和发出求电流源的电压和发出的功率的功率10VU（1）2 3 3 2 2AU（2）2 3 3 2 画出分画出分电路图电路图为两个简为两个简单电路单电路10V电源作用：电源作用：2A电源作用：电源作用：例例u12V2A1 3A3 6 6V计算电压计算电压u。画出分画出分电路图电路图1 3A3 6 u（1）12V2A1 3 6 6Vu(2）i(2)说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。3A电流源作用：电流源作用
8、：其余电源作用：其余电源作用：例例计算电压计算电压u电流电流i。画出分画出分电路图电路图u（1）10V2i(1)1 2 i（1）u10V2i1 i2 5Au(2)2i(2)1 i(2)2 5A受控源始受控源始终保留终保留10V电源作用：电源作用：5A电源作用：电源作用：例例uSiiS 封装好的电路如图，已知下封装好的电路如图，已知下列实验数据：列实验数据：解解 根据叠加定理，有：根据叠加定理，有：代入实验数据，得：代入实验数据，得：研研究究激激励励和和响响应应关关系系的的实实验验方方法法例例.采用倒推法：设采用倒推法：设i=1A。则则求电流求电流 i。RL=2 R1=1 R2=1 us=51V
9、+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+usR2R2i=1A解解5.5.齐次性原理齐次性原理（homogeneity property)齐次性原理齐次性原理线线性性电电路路中中，所所有有激激励励(独独立立源源)都都增增大大(或或减减小小)同同样样的的倍倍数数，则则电电路路中中响响应应(电电压压或或电电流流)也也增增大大(或或减减小小)同同样样的倍数。的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。4.2 4.2 替代定理替代定理(Substitution TheoremSubstitution Theore
10、m)对对于于给给定定的的任任意意一一个个电电路路，若若某某一一支支路路电电压压为为u uk k、电电流流为为i ik k，那那么么这这条条支支路路就就可可以以用用一一个个电电压压等等于于u uk k的的独独立立电电压压源源，或或者者用用一一个个电电流流等等于于i ik k的的 独独立立电电流流源源，或或用用一一R=uk/ik的的电电阻阻来来替替代代，替替代代后后电电路路中中全全部部电电压压和电流均保持原有值和电流均保持原有值(解答唯一解答唯一)。ik 1.1.替代定理替代定理支支路路 k ik+uk+ukik+ukR=uk/ikAik+uk支支路路 k A+ukukukukAik+uk 支支路
11、路 k 证毕证毕!2.2.定理的证明定理的证明注意：注意：(1)(1)替代定理不仅适用于线性电路，也适用于替代定理不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路；非线性电路；(2)(2)被替代的支路或二端网络，可以是有源被替代的支路或二端网络，可以是有源的，也可以为无源的；的，也可以为无源的；(3)(3)受控源的控制支路和受控支路不能一个受控源的控制支路和受控支路不能一个在被替代的局部二端网络中，而另一个在外在被替代的局部二端网络中，而另一个在外电路中。换句话说，电路中。换句话说，受受控源的控制量不能因控源的控制量不能因替代而从电路中消失。替代而从电路中消失。例例.已知已知Uy=2 V，试用替代定理求
12、电压，试用替代定理求电压Ux。解：解：例例求图示电路的支路电压求图示电路的支路电压和电流。和电流。i310 5 5 110V10 i2i1u解解替替代代i310 5 5 110Vi2i160V替代以后有：替代以后有：替代后各支路电压和电流完全不变。替代后各支路电压和电流完全不变。替替代代前前后后KCL,KVL关关系系相相同同，其其余余支支路路的的u、i关关系系不不变变。用用uk替替代代后后，其其余余支支路路电电压压不不变变(KVL)，其其余余支支路路电电流流也也不不变变，故故第第k k条条支支路路ik也也不不变变(KCL)。用用i ik k替替代代后后，其其余余支支路路电电流流不不变变(KCL
13、)，其其余余支支路路电电压压不不变变，故故第第k k条条支支路路uk也不变也不变(KVL)。原因原因注：注：1.1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.3.替代后其余支路及参数不能改变。替代后其余支路及参数不能改变。2.2.替代后电路必须有唯一解替代后电路必须有唯一解无电压源回路；无电压源回路；无电流源节点无电流源节点(含广义节点含广义节点)。1.5A1.5A10V5V2 5 2.5A1A 5V+？例例1 1若要使若要使试求试求Rx。3.3.替代定理的应用替代定理的应用0.5 0.5+10V3 1 RxIx+UI0.5 解解用替代：用
14、替代：=+0.5 0.5 1+UI0.5 0.5 0.5 1+UI0.5 0.5 0.5 1+U0.5 U=U+U=(0.8-0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 例例试求试求i1。解解用替代：用替代：6 5+7V3 6 I1+1 2+6V3V4A4 2 4 4A7VI1I1IRR8 3V4 b2+a20V3 I例例已知已知:uab=0,求电阻求电阻R。C1A解解用替代：用替代：用结点法：用结点法：例例2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。4 4V10 3A2+2V2 10 解解0.5AII110V2+2V2
15、 5 1应求电流应求电流I，先化简电路。先化简电路。应用结点法得：应用结点法得：例例已知已知:uab=0,求电阻求电阻R。解解用断路替代，得：用断路替代，得：短路替代：短路替代：4 42V30 0.5A60 25 10 20 40 badcR1A4.3 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem)(Thevenin-Norton Theorem)工工程程实实际际中中，常常常常碰碰到到只只需需研研究究某某一一支支路路的的电电压压、电电流流或或功功率率的的问问题题。对对所所研研究究的的支支路路来来说说，电电路路的的其其余余部部分分就就成成为为一
16、一个个有有源源二二端端网网络络，可可等等效效变变换换为为较较简简单单的的含含源源支支路路(电电压压源源与与电电阻阻串串联联或或电电流流源源与与电电阻阻并并联联支支路路),),使使分分析析和和计计算算简简化化。戴戴维维宁宁定定理理和和诺诺顿顿定定理理正正是是给给出出了了等等效效含含源源支支路路及及其其计计算算方法。方法。1.1.戴维宁定理戴维宁定理任任何何一一个个线线性性含含源源一一端端口口网网络络，对对外外电电路路来来说说，总总可可以以用用一一个个电电压压源源和和电电阻阻的的串串联联组组合合来来等等效效置置换换；此此电电压压源源的的电电压压等等于于外外电电路路断断开开时时端端口口处处的的开开路
17、路电电压压uoc，而而电电阻阻等等于一端口的输入电阻（或等效电阻于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。）。AabiuiabReqUoc+-uI例例Uocab+Req5 15V-+(1)求开路电压求开路电压Uoc(2)求等效电阻求等效电阻Req10 10+20V+U0Cab+10V1A5 2A+U0Cab2.2.定理的证明定理的证明+abAi+uNiUoc+uNab+ReqabAi+uabA+uabPi+uReq则则替代替代叠加叠加A中中独独立立源源置置零零3.3.定理的应用定理的应用(1)开路电压开路电压Uoc 的计算的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零等效电阻为将一端口网络内
18、部独立电源全部置零(电压源电压源短路，电流源开路短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：常用下列方法计算：（2）等效电阻的计算）等效电阻的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。算。23方法更有一般性。方法更有一般性。当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和当网络内部
19、不含有受控源时可采用电阻串并联和Y 互换的方法计算等效电阻；互换的方法计算等效电阻；1开路电压，短路电流法。开路电压，短路电流法。3外加电源法（加压求流或加流求压）。外加电源法（加压求流或加流求压）。2abPi+uReqabPi+uReqiSCUocab+Req(1)(1)外外电电路路可可以以是是任任意意的的线线性性或或非非线线性性电电路路，外外电电路路发发生生改改变变时时，含含源源一一端端口口网网络络的的等等效效电电路路不不变变(伏伏-安特性等效安特性等效)。(2)(2)当当一一端端口口内内部部含含有有受受控控源源时时，控控制制电电路路与与受受控控源源必须包含在被化简的同一部分电路中。必须包
20、含在被化简的同一部分电路中。注：注：例例.计算计算Rx分别为分别为1.2、5.2 时的时的I；IRxab+10V4 6 6 4 解解保留保留Rx支路，将其余一端口支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：网络化为戴维宁等效电路：ab+10V4 6 6+U24+U1IRxIabUoc+RxReq(1)求开路电压求开路电压Uoc=U1+U2 =-10 4/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V+Uoc_(2)求等效电阻求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8(3)Rx=1.2 时，时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2 时，时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.
21、2A求求U0。3 3 6 I+9V+U0ab+6I例例.Uocab+Req3 U0-+解解(1)求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V+Uoc(2)求等效电阻求等效电阻Req方法方法1：加压求流：加压求流U0=6I+3I=9II=I0 6/(6+3)=(2/3)I0U0=9 (2/3)I0=6I0Req=U0/I0=6 3 6 I+Uab+6II0方法方法2：开路电压、短路电流：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6 I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II
22、1独立源置零独立源置零独立源保留独立源保留(3)等效电路等效电路abUoc+Req3 U0-+6 9V 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。求负载求负载RL消耗的功率。消耗的功率。例例.100 50+40VRLab+50VI14I150 5 解解(1)求开路电压求开路电压Uoc100 50+40VabI14I150+Uoc100 50+40VabI1200I150+Uoc+(2)求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电
23、流法Isc50+40VabIsc50 abUoc+Req5 25 10V50VIL已知开关已知开关S例例.1 A 2A2 V 4V求开关求开关S打向打向3 3，电压，电压U等于多少等于多少解解线性线性含源含源网络网络AV5 U+S1321A4V任任何何一一个个含含源源线线性性一一端端口口电电路路，对对外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个电电流流源源和和电电导导(电电阻阻)的的并并联联组组合合来来等等效效置置换换；电电流流源源的的电电流流等等于于该该一一端端口口的的短短路路电电流流，而而电电导导(电电阻阻)等等于于把把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导该一端口的全部独立电源置零后的输入
24、电导(电阻电阻)。4.4.诺顿定理诺顿定理诺诺顿顿等等效效电电路路可可由由戴戴维维宁宁等等效效电电路路经经电电源源等等效效变变换换得得到到。诺诺顿顿等等效效电电路路可可采采用用与与戴戴维维宁宁定定理理类类似似的的方法证明。证明过程从略。方法证明。证明过程从略。AababGeq(Req)Isc例例求电流求电流I 。12V2 10+24Vab4 I+(1)求短路电流求短路电流IscI1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解解IscI1 I2(2)求等效电阻求等效电阻ReqReq=10/2=1.67 (3)诺顿等效电路诺顿等效电路:Re
25、q2 10 ab应应 用用 分分流公式流公式4 Iab-9.6A1.67 I=2.83A例例求电压求电压U。3 6+24Vab1A3+U6 6 6(1)求短路电流求短路电流IscIsc解解本题用诺顿定理求本题用诺顿定理求比较方便。因比较方便。因a a、b b处的短路电流比开处的短路电流比开路电压容易求。路电压容易求。(2)求等效电阻求等效电阻ReqReq(3)诺顿等效电路诺顿等效电路:Iscab1A4 U4.4 4.4 最大功率传输定理最大功率传输定理一一个个含含源源线线性性一一端端口口电电路路，当当所所接接负负载载不不同同时时，一一端端口口电电路路传传输输给给负负载载的的功功率率就就不不同同
26、，讨讨论论负负载载为为何何值值时时能能从从电电路路获获取取最最大大功功率率，及及最最大大功功率率的的值值是是多多少少的的问问题题是是有有工工程意义的。程意义的。Ai+u负载负载iUoc+u+ReqRL应用戴维应用戴维宁定理宁定理RL P0P max最大功率最大功率匹配条件匹配条件对对P求导：求导：例例RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。20+20Vab2A+URRL10(1)求开路电压求开路电压Uoc(2)求等效电阻求等效电阻ReqUocI1I220+Iab+UR10 UI2I1(3)由最大功率传输定理得由最大功率传输定理得:时其上可获得最大功率时
27、其上可获得最大功率注注(1)最大功率传输定理用于一端口电路给定最大功率传输定理用于一端口电路给定,(2)负载电阻可调的情况负载电阻可调的情况;(2)一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于(3)端口内部消耗的功率端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大因此当负载获取最大(4)功率时功率时,电路的传输效率并不一定是电路的传输效率并不一定是50%;(3)计算最大功率问题结合应用戴维宁定理计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 (4)或诺顿定理最方便或诺顿定理最方便.4.5 特勒根（Tellegen)定理Tellegen Tellegen 定理是荷兰科学家定理是荷兰科学家定
28、理是荷兰科学家定理是荷兰科学家TellegenTellegen在在在在19521952年建立的，它年建立的，它年建立的，它年建立的，它是集中参数电路的拓朴规律之一，获得了广泛的应用。是集中参数电路的拓朴规律之一，获得了广泛的应用。是集中参数电路的拓朴规律之一，获得了广泛的应用。是集中参数电路的拓朴规律之一，获得了广泛的应用。一、一、Tellegen定理：定理：集中参数网络集中参数网络含（含（B-2）条支路）条支路ib1(t)ibB(t)b1_ub1(t)+UbB(t)_+bB1 1、定理、定理1 1若集中参数网络若集中参数网络若集中参数网络若集中参数网络具有具有具有具有N N个节点，个节点，个
29、节点，个节点，B B条支路，设其支路电压矢量条支路，设其支路电压矢量条支路，设其支路电压矢量条支路，设其支路电压矢量u ub b(t)(t)和支路电流矢量和支路电流矢量和支路电流矢量和支路电流矢量i ib b(t)(t)为：为：为：为：u ub b(t)=u(t)=ub1b1(t)(t)，u ub2b2(t)u(t)ubBbB(t)(t)T T i ib b(t)=i(t)=ib1b1(t)(t)，i ib2b2(t)i(t)ibBbB(t)(t)T T只要只要只要只要u ub b(t)(t)与与与与i ib b(t)(t)取关联一致参考方向，则不论网络中支路元件的性质取关联一致参考方向，则不
30、论网络中支路元件的性质取关联一致参考方向，则不论网络中支路元件的性质取关联一致参考方向，则不论网络中支路元件的性质如何，恒有：如何，恒有：如何，恒有：如何，恒有：u ub1b1(t)i(t)ib1b1(t)+u(t)+ub2b2(t)i(t)ib2b2(t)+u(t)+ubBbB(t)i(t)ibBbB(t)=0(t)=0即即即即 或或或或 2 2、物理意义：瞬时功率守恒、物理意义：瞬时功率守恒 独立电源向网络独立电源向网络独立电源向网络独立电源向网络供给的电能量的速率恒等于耗能元件及储供给的电能量的速率恒等于耗能元件及储供给的电能量的速率恒等于耗能元件及储供给的电能量的速率恒等于耗能元件及储
31、能元件吸收电能量的速率，即瞬时功率守恒。能元件吸收电能量的速率，即瞬时功率守恒。能元件吸收电能量的速率，即瞬时功率守恒。能元件吸收电能量的速率，即瞬时功率守恒。3 3、使用条件：、使用条件：、使用条件：、使用条件：（1 1）只适用于集中参数网络）只适用于集中参数网络）只适用于集中参数网络）只适用于集中参数网络（2 2）要求电网络中的支路电压）要求电网络中的支路电压）要求电网络中的支路电压）要求电网络中的支路电压U Ub b必须受必须受必须受必须受KVLKVL约束，支路电约束，支路电约束，支路电约束，支路电流流流流i ib b必须受必须受必须受必须受KCLKCL约束，即网络结构给定，约束，即网络
32、结构给定，约束，即网络结构给定，约束，即网络结构给定，u ub b、i ib b数值不限。数值不限。数值不限。数值不限。（3 3）KVLKVL、KCLKCL和和和和TellegenTellegen定理中，只有两个是独立的，定理中，只有两个是独立的，定理中，只有两个是独立的，定理中，只有两个是独立的，即只要使用其中任意二个定律就可以表征电路的结构规律。即只要使用其中任意二个定律就可以表征电路的结构规律。即只要使用其中任意二个定律就可以表征电路的结构规律。即只要使用其中任意二个定律就可以表征电路的结构规律。二、广义Tellegen定理1、同构网络、同构网络定义：定义：若两网络若两网络和和结构相同（
33、即拓标图相同），即：结构相同（即拓标图相同），即：（1）节点数相等；（）节点数相等；（2）支路数相等；（）支路数相等；（3）节点节点1节点，节点，支路支路1支路一一对应，则称支路一一对应，则称和和1为同构网为同构网络。例络。例2、广义、广义Tellegen定理定理定理定理2 2：若任意两个由集中参数元件构成的同构网络：若任意两个由集中参数元件构成的同构网络 和和 1 1，用用UUb b(t),(t),i ib b(t)(t)和和 分别表示分别表示 和和 1 1，其相应支，其相应支路电压矢量和支路电流矢量，则对所有时刻路电压矢量和支路电流矢量，则对所有时刻t t，恒定有，恒定有i ibkbk(t
34、)(t)：或等价表示为或等价表示为3 3、定理、定理2 2 解释：似功率守恒、（即是一种数学恒等解释：似功率守恒、（即是一种数学恒等关系，不是物理恒等关系）关系，不是物理恒等关系）4.4.推广：广义推广：广义TellegenTellegen定理也可用于同一集中参数定理也可用于同一集中参数电路在不同时刻的支路电压与支路电流的乘积，即：电路在不同时刻的支路电压与支路电流的乘积，即：三、应用三、应用1、计算网络灵敏度、计算网络灵敏度2、机辅设计的优化技术中应用广泛、机辅设计的优化技术中应用广泛3、证明互易定理、证明互易定理4、电路计算、电路计算例：已知网络例：已知网络N：由由B个正电阻构成个正电阻构
35、成N试证明试证明（1）ab端口输入电阻端口输入电阻Ri不大于不大于N中中B个电阻串联值个电阻串联值R串串 （2）ab端口输入电导端口输入电导Gi不大于不大于N中中B个电阻并联电导个电阻并联电导G并并证明：证明：（1）根据）根据Tellegen定理有：定理有：i0(t)+U0(t)-对上式两端同除以 得：（2）对（*）式两端同除以磁率 （t），则同理可证4.6 互易定理互易定理(Reciprocity Theorem)互互易易性性是是一一类类特特殊殊的的线线性性网网络络的的重重要要性性质质。一一个个具具有有互互易易性性的的网网络络在在输输入入端端（激激励励）与与输输出出端端（响响应应）互互换换位
36、位置置后后，同同一一激激励励所所产产生生的的响响应应并并不不改改变变。具具有有互互易易性性的的网网络络叫叫互互易易网网络络，互互易易定定理理是是对对电电路路的的这这种种性性质质所所进进行行的的概概括括，它它广广泛泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。1.1.互易定理互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。激励与响应互换位置时，同一激
37、励所产生的响应相同。l 情况情况1 1 i2线性线性电阻电阻网络网络 NR+uS1abcd(a)激励激励电压源电压源电流电流响应响应cd线性线性电阻电阻网络网络 NRi1+uS2ab(b)当当 uS1=uS2 时，时，i2=i1 则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系：证明证明:由特勒根定理：由特勒根定理：即：即：两式相减，得两式相减，得将图将图(a)(a)与图与图(b)(b)中支路中支路1 1，2 2的条件代入，即的条件代入，即:即：即：证毕！证毕！i2线性线性电阻电阻网络网络 NR+uS1abcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NRi1+uS2ab(b)l 情况
38、情况2 2 激励激励电流源电流源电压电压响应响应u2线性线性电阻电阻网络网络 NR+iS1abcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NRu1+iS2ab(b)则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系：当当 iS1=iS2 时，时，u2=u1 l 情况情况3 3 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：当当 iS1=uS2 时，时，i2=u1 激励激励电流源电流源电压源电压源图图b图图a电流电流响应响应图图b图图a电压电压i2线性线性电阻电阻网络网络 NRiS1abcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NRu1+uS2ab(b)+
39、(3)(3)互互易易定定理理只只适适用用于于线线性性电电阻阻网网络络在在单单一一电电源源激激励励下下，两个支路电压电流关系。两个支路电压电流关系。(1)(1)互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；(2)(2)互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联关联，要么都非关联)；(4)(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理分析电路时应注意：应用互易定理分析电路时应注意：例例求求(a)图电流图电流I，(b)图电压图
40、电压U。解解利用互易定理利用互易定理1 6 I+12V2(a)4(b)1 2 4+U6 6AI12V+U6A例例2 1 2 4+8V2 Iabcd求电流求电流I。解解利用互易定理利用互易定理I1=I 2/(4+2)=2/3AI2=I 2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2 1 2 4+8V2 IabcdI1I2I例例测得测得a图中图中U110V，U25V，求，求b图中的电流图中的电流I。解解1(1)利用互易定理知利用互易定理知c 图的图的u1+u2线性线性电阻电阻网络网络 NR+2Aabcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NR2Aab(b)+5 Icd线性线性电阻电阻网络网络
41、 NR2Aab(c)+cd线性线性电阻电阻网络网络 NRReqab(d)5 5+5VabI(2)结合结合a图，知图，知c 图的等效电阻：图的等效电阻：戴维宁等戴维宁等效电路效电路解解2应用特勒根定理：应用特勒根定理：例例问图示电路问图示电路 与与 取何关系时电路具有互易性。取何关系时电路具有互易性。解解在在a-b端口加电流源，解得：端口加电流源，解得：1 3 1+U IabcdI+UISIS1 3 1+U IabcdI+U在在c-d端口加电流源，解得：端口加电流源，解得：如要电路具有互易性，则：如要电路具有互易性，则：一般有受控源的电一般有受控源的电路不具有互易性。路不具有互易性。4.6 Re
42、view To find the contribution due to an individual independent source,zero out the other independent sources in the circuit.Voltage source short circuit.Current source open circuit.Solve the resulting circuit using your favorite technique(s).Problem2k1k2k12VI02mA4mA +2mA Source Contribution2k1k2kI02
43、mAI0=-4/3 mA4mA Source Contribution2k1k2kI04mAI0=012V Source Contribution2k1k2k12VI0 +I0=-4 mAFinal ResultI0=-4/3 mAI0=0I0=-4 mAI0=I0+I0+I0=-16/3 mA 齐次性：将电路中齐次性：将电路中所有激励所有激励均乘以常数均乘以常数k，则则所有响应所有响应也应乘以同一常数也应乘以同一常数k。激励激励e1(t)，e2(t)响应响应为为r1(t)，r2(t)激励激励ke1(t)，ke2(t)响应响应为为kr1(t)，kr2(t)例例解得解得当所有激励乘以常数当所有激
44、励乘以常数k后，方程变为后，方程变为则其解为则其解为u可加性可加性 ：激励激励e1(t)，e2(t)响应响应为为r1(t)，r2(t)激励激励e1(t)，e2(t)响应响应为为r1(t)，r2(t)则组合则组合激励激励e1(t)+e1(t)，e2(t)+e2(t)响应响应 r1(t)+r1(t)，r2(t)+r2(t)例例 采用叠加原理求电压采用叠加原理求电压Ux和各独立源、受控源发出和各独立源、受控源发出的功率。的功率。解：解：1.求电压求电压Ux1)独立电流源单独作用独立电流源单独作用2)2)独立电压源单独作用独立电压源单独作用 3)3)两个独立源共同作用两个独立源共同作用 通过独立电压源
45、的电流通过独立电压源的电流 2.2.独立电流源发出的功率独立电流源发出的功率 3.3.独立电压源发出的功率独立电压源发出的功率 4.4.受控电流源发出的功率受控电流源发出的功率!注意：注意：1.线性电路中的一个激励（或一组独立源）线性电路中的一个激励（或一组独立源）单独作用时单独作用时，其余的激励应全部等于零。，其余的激励应全部等于零。令令 us=0,即即电压源电压源代之以代之以短路短路 令令 is=0,即即电流源电流源代之以代之以开路开路所有元件的参数和联接方式均不能更动。所有元件的参数和联接方式均不能更动。2.2.在含受控源的电路中，受控源的处理与电在含受控源的电路中，受控源的处理与电阻元
46、件相同，阻元件相同，均须保留均须保留 ，但其控制变量将随，但其控制变量将随激励不同而改变；激励不同而改变；3.3.叠加原理适用于电流和电压，而叠加原理适用于电流和电压，而不适用于功率不适用于功率 。4.4.叠加的结果为代数和，因此应叠加的结果为代数和，因此应注意电压注意电压与电流的参考方向与电流的参考方向；！强调不同激励作用时对应不同的电路图，应不同激励作用时对应不同的电路图，应分别画出，并且在图中标出式子中用分别画出，并且在图中标出式子中用到的符号到的符号例例 下图所示网络下图所示网络N是由电阻和受控源组成的线性网络，当是由电阻和受控源组成的线性网络，当Is=2A，Us=3V时，测得时，测得
47、Uo=16V;当当Is=-2A，Us=1V时，测时，测得得Uo=0V。试求当。试求当Is=8A，Us=-8V时，时，Uo=?解：根据叠加原理，解：根据叠加原理，设设 Uo=mUs+nIs带入两次测量结果带入两次测量结果 16=3m+2n0=m-2n解得解得m=4，n=2，则，则Uo=4(-8)+28=-16V课堂练习：课堂练习：采用叠加原理计算图采用叠加原理计算图1电流电流I、图图2电压电压U。图图1图图21)独立电压源单独作用独立电压源单独作用2)独立电流源单独作用独立电流源单独作用3)3)两个独立源共同作用两个独立源共同作用 戴维宁定理的应用戴维宁定理的应用例例.求求电流电流I I 解：解
48、：1.求开路电压求开路电压2.求等效电阻求等效电阻3.作戴维宁等效电路，求电流作戴维宁等效电路，求电流I例例.求求电压电压U12 解：解：1.求开路电压求开路电压2.求等效电阻求等效电阻3.作出戴维宁模型，求出作出戴维宁模型，求出待求待求量量例例.求求电流电流I I 解：解：1）求）求Uoc2）求）求Req3）作戴维宁等效电路，求）作戴维宁等效电路，求I注意：注意：1）求开路电压）求开路电压Uoc、等效电阻等效电阻Req的工作条件、工作的工作条件、工作状态不同，对应的电路图不同，应分别画出对应求状态不同，对应的电路图不同，应分别画出对应求解电路图。解电路图。2 2）画戴维宁等效电路时应注意等效
49、电压源的极性。）画戴维宁等效电路时应注意等效电压源的极性。3 3）若有源二端网络中含有受控源，求）若有源二端网络中含有受控源，求Req时时应采用求应采用求输出电阻的方法，即在对应的无独立源二端网络输输出电阻的方法，即在对应的无独立源二端网络输出端外接电源，按定义计算出端外接电源，按定义计算:Req端口电压端口电压/端口电端口电流流 4 4）在含有受控源的网络中，受控源的控制支路和受）在含有受控源的网络中，受控源的控制支路和受控支路不能一个在含源二端网络内部，而另一个在控支路不能一个在含源二端网络内部，而另一个在外电路中。外电路中。诺顿定理的应用诺顿定理的应用例例.求求电流电流I I 解：解：1
50、.求短路电流求短路电流2.求等效电阻求等效电阻3.作诺顿等效电路，求电流作诺顿等效电路，求电流I例例.求求电压电压U12 解：解：1.求短路电流求短路电流2.求等效电阻求等效电阻3.作出诺顿模型，求出作出诺顿模型，求出待求待求量量 特勒根似功率定理 设有两个由不同性质的二端元件组成的电路N和 二者的有向图完全相同。，将以上结论推广到任意两个具有nt =n+1个节点、b条支路的电路N和，当它们所含二端元件的性质各异，但有向图完全相同时，则有这就是特勒根似功率定理(Tellegens quasi-power theorem)的数学表达式。该定理表明，在有向图相同的任意两个电路中，在任何瞬时t，任一