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1、第四章第四章函数的连续性函数的连续性1连续性概念连续性概念 教学内容：1.连续性概念的引入 2.连续的几个等价定义 3.间断点的定义以及分类教学重点：函数在一点连续的概念 教学难点：间断点的分类 问题的提出：问题的提出：（1）自然界中有许多现象,如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性.（2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）Oxy图1一一.函数在一点的连续性函数在一点的连续性二.1定义的引入 先回顾一下函数在 点的极限 定义中要求在的某个空心邻域内有定义，即 在有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极
2、限为多少无关。这里 可以有三种情况：A无定义，比如上章讲过的特殊极限（图2）比如（图3）(图1）xOy图2xOy图3A第3种情况与前两种情况不同，要求 在有定义且极限等于 我们称这种情况为 在处连续。2.在处连续的定义 定义定义1 1：设函数 在的某邻域 内有定义，若（1）则称函数函数 在在点连续点连续。3等价定义先引入增量的定义：记 自变量自变量 的增量的增量 或改变量改变量；称为函数 的增量的增量或改变量改变量。要说明的是增量 可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示xOy图4利用增量定义得 等价定义等价定义1 1：设函数 函数函数 在在点连续点连续。等价定义等价定义2
3、2：设函数 函数函数 在在点连续点连续。注意问题：注意问题：例例1 1：4左、右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论 的连续性，为此我们在定义1的基础上，由 在左、右极限的定义得定义定义2 2：设 则称函数函数 在在点右连续（点右连续（或左连续）左连续）。根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理定理4 41 1：在点连续的充要条件为：在点既右连续又左连续。由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论。例例2 2：22xyOx+2x-2图5二二.间断点及其分类间断点及其分类 1间断点的定义 定义定义3 3：间断点间断点或
4、不连续点不连续点。从定义我们可以得到，根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类2间断点的分类 1 1）可去间断点：）可去间断点：可去间断点。可去间断点。例例3 3：例例4 4：说明说明:2 2）跳跃间断点：）跳跃间断点：跳跃间断点。跳跃间断点。例例5 5：例例6 6：。xyO1234-1-2123-1-2图6。.xyO1-1图7f(x)=sgnxf(x)=x我们把可去间断点和跳跃间断点通称为第一类间断点。注意：第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。3 3）第二类间断点：）第二类间断点：函数至少有一侧极限不存在的那些点成为第二类间断点。第二类间断点。三三.区间上的连续函数区间上的连续函数 1区间上的连续函数 若函数f(x)在区间（a,b)上的每一点都连续，则称f(x)为（a,b)上的上的连续函数（连续函数（或称f(x)在（在（a,b)上连续）上连续）；若函数f(x)在区间（a,b)上连续，且在x=a右连续，在x=b左连续，则称f(x)为a,b上的连续函数（上的连续函数（或称f(x)在在a,b上连续）。上连续）。2分段连续函数 若函数f(x)在区间a,b上仅有有限个第一类间断点，则称f(x)为a,b上的分段连续函数（上的分段连续函数（或称f(x)在在a,b上分段连续）。上分段连续）。