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1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1测量误差及其分类一、测量误差及其来源观测误差来源于三个方面：观测误差来源于三个方面：观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。观测时外界条件的好坏。三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测非等精度观测。一般认为，在测量中人们总希望
2、测量误差越小越好，甚至一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。趋近于零。在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差误差二测量误差的分类根根据据性性质质不不同同，观观测测误误差差可可分分为为系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差两类。两类。（1 1）系统误差）系统误差在一定的观测条件下进行一系列在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。称为系统误差。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大系统误差具有积累性，对测量结果影
3、响很大。二测量误差的分类在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：法有：在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响削弱系统误差的影响。找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正统误差的改正。将系统误差限制在允许范围内将系统误差限制在允许范围内。二测量误差的分类(2)(2)偶然误差偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。测时，符号
4、和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。产生偶然误差的原因往往是产生偶然误差的原因往往是不固定的不固定的和和难以控制难以控制的。的。系统误差系统误差能够加以改正，而能够加以改正，而偶然误差是不可避免偶然误差是不可避免的，的，并且是消并且是消除不了的除不了的。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。差个数越多，规律性越明显。三偶然误差的特性在测量工作中，观测的对象如长度在测量工作中，观测
5、的对象如长度 角度和高差等，称为角度和高差等，称为观测观测量量。任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值，任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值，称为该量的称为该量的“真值真值”。测量所获得的数值称为测量所获得的数值称为观测值观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为表现为观测值观测值与其与其真实值真实值(简称为简称为真值真值)之间的差异，这种差异称为之间的差异，这种差异称为 真误差真误差，简称误差。，简称误差。i i=L=Li i-X-X式中式中i i就是观测误差，通常称为就是观测误差，
6、通常称为 真误差，简称误差。真误差，简称误差。几个概念几个概念三偶然误差的特性例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值值180三偶然误差的特性以误差大小为以误差大小为横坐标，以频率横坐标，以频率k/n与区间与区间d的比的比值为纵坐标，值为纵坐标，绘制绘制成成频率直方图频率直方图该组误差的分布表现出如下规律：该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现
7、的个数和频率相近，最频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最大误差不超过大误差不超过24。可以设想，当误差个数可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间同时又无限缩小误差区间d，各，各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。其函数式为：其函数式为：三偶然误差的特性统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。不超过一定的限值。(范
8、围范围)特性特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。现的频率小。(绝对值大小绝对值大小)特性特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号符号)特性特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即即(抵偿性抵偿性)52衡量精度的指标一精度精度：是指对某一个量的多次观测中，误差分布精度：是指对某一个量的多次观测中，误差分布的的密集密集或或离散离散程度。程度。在相同观测条件下，在相同观测条件下，对某一量所进行的一对某一
9、量所进行的一组观测，虽然它们的组观测，虽然它们的真实误差不相等，但真实误差不相等，但都对应于同一误差分都对应于同一误差分布，故这些观测值误布，故这些观测值误差是相等的。差是相等的。52衡量精度的指标二二 衡量精度的指标衡量精度的指标1 中误差（标准差）中误差（标准差）设在相同的观测条件下，对某量进行设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复次重复观测，其观测值为观测，其观测值为l1，l2、，ln，相应的真误，相应的真误差为差为1，2，n。则观测值的中误差。则观测值的中误差m为：为：真误差的平方和，真误差的平方和，1 中误差（标准差）中误差（标准差）例例5-1 5-1 设设有有1 1、2 2两两组
10、观测值组观测值，各，各组组均均为为等精度等精度观测观测，它，它们们的的真真误误差分差分别为别为：甲甲组组：+4+4，-2-2，00，-4-4，+3+3；乙乙组组：+6+6，-5-5，00，+1+1，-1-1；试计试计算算1 1、2 2两两组组各自的各自的观测观测精度。精度。解解 1、2两组观测值的中误差为：两组观测值的中误差为：m1=3.0m2=3.5比较比较m1和和m2可知，可知，1组的观测精度比组的观测精度比2组高。组高。中误差所代中误差所代表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次的观测精度。的观测精度。2 平均误差平均误差在相同的观
11、测条件下，一组独立的真误差为1、23、n那么平均误差为当观测次数有限时计算例计算例5-1的平均误差的平均误差1=2.62=2.6我国一般采用中误差作为评判精度的指标（3）容许误差（限差）容许误差（限差）在实际应用的测量规范中，在实际应用的测量规范中，常以常以2倍倍或或3倍倍中误差作为中误差作为偶然误差的容许值，偶然误差的容许值，即即容容=22m或或容容=33m如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。在一定条件下，偶然误差绝对值不应超过的限值称称为为容许误差，也称为限差
12、或极限误差容许误差，也称为限差或极限误差（4）相对误差）相对误差上式中当上式中当m为中误差时，为中误差时，K称为称为相对中误差相对中误差。相对误差相对误差K是误差是误差m的绝对值与观测值的绝对值与观测值D大小的比值大小的比值：中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出观测值的精度。例如丈量两段距离，观测值的精度。例如丈量两段距离，D1100m，m11cm和和D2300m，m21cm，虽然两者中误差相等，虽然两者中误差相等，m1m2，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这时应采用，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这
13、时应采用相对中误差相对中误差K来作为衡量精度的标准。来作为衡量精度的标准。K1=1/10000;k2=1/3000上面例相对误差为：5-3算术平均值及其中误差一算术平均值（与真值的关系）设对某未知量进行n次等精度观测，其观测值分别为l1，l2，ln,则其算术平均值为算术平均值x作为该未知量的最可靠的数值，又称最或然值。算术平均值比这组内任一观测值都更为接近真值。(1)设观测量的真值为设观测量的真值为X，观测值为，观测值为li（i=1，2，3n)，则观测值的真误差为：则观测值的真误差为：将各式两边相加，并除以将各式两边相加，并除以n，得，得将将(1)式代入上式，并移项，得式代入上式，并移项，得根
14、据偶然误差的特性，当观测次数根据偶然误差的特性，当观测次数n无限增大时，则有无限增大时，则有那么同时可得那么同时可得由上式可知，由上式可知，当观测次数当观测次数n无限增大时，算无限增大时，算术平均值趋近于真值术平均值趋近于真值。但在实际测量工作中，。但在实际测量工作中，观测次数总是有限的，因此，算术平均值较观观测次数总是有限的，因此，算术平均值较观测值更接近于真值。我们测值更接近于真值。我们将最接近于真值的算将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值术平均值称为最或然值或最可靠值。二、观测值改正数二、观测值改正数(定义、特性）定义、特性）观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测量的算术平
15、均值与观测值之差，称为观测值改正数，用观测值改正数，用v表示。当观测次数为表示。当观测次数为n时，有时，有 将上面各式两边相加，得将上面各式两边相加，得观测值改正数的重要特性，即对于等精度观测，观观测值改正数的重要特性，即对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。测值改正数的总和为零。又因又因三、三、由观测值改正数计算观测值中误差由观测值改正数计算观测值中误差计算中误差时，需要知道观测值的真误差，计算中误差时，需要知道观测值的真误差，但在测量中，我们常常无法求得观测值的但在测量中，我们常常无法求得观测值的真误差。一般用观测值改正数来计算观测真误差。一般用观测值改正数来计算观测值的中误差。值的中误
16、差。真误差：真误差：观测值改正数：观测值改正数：真误差与观测值改正数的定义为：真误差与观测值改正数的定义为：以上两式相加，可得各式两边同时平方并相加，得各式两边同时平方并相加，得因令两边再除以两边再除以n关键求因因所以所以故故=为真误差，所以为真误差，所以由于由于也具有偶然误差的特性。当也具有偶然误差的特性。当n时，则有时，则有所以所以带入前式因此即因为故这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式算术平均值的中误差算术平均值的中误差例例 某一段距离共丈量了六次，结果为：某一段距离共丈量了六次，结果为：148.643m,148.590m,148.61
17、0m,148.624m,148.654m,148.647m，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。相对误差。解：测测次次观测值观测值/m观测值观测值改正改正数数v/m mvv1148.643152252148.5903814443148.610183244148.6244165148.654266766148.64719361平均平均值值148.6283046观测中误差观测中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差相对误差相对误差第四节第四节 误差传播律误差传播律在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得，在测量工作中，有些未知量往
18、往不能直接测得，而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计算出来。算出来。由于独立观测值存在误差，导致其函数由于独立观测值存在误差，导致其函数也必然存在误差，也必然存在误差，这种关系称为这种关系称为误差传播误差传播。阐述。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播律。律称为误差传播律。一、线性函数的中误差一、线性函数的中误差设线性函数设线性函数 (观测值计算结果）观测值计算结果）设独立直接观测值设独立直接观测值x、y相应的中误差为相应的中误差为mx、my，函数函数Z的中误差为的中误差为mZ。当
19、观测值。当观测值x、y中分别含有真中分别含有真误差误差x、y时，函数时，函数Z产生真误差产生真误差z，即，即式中式中 k1、k2常数；常数；x、y独立直接观测值。独立直接观测值。上面两式相减上面两式相减设对设对x、y 各独立观测了各独立观测了n次，则有次，则有取上式两端平方和，并除以取上式两端平方和，并除以n，得，得从偶然误差的特性可知，当从偶然误差的特性可知，当n时，时，趋近于零。趋近于零。上式可变为上式可变为根据中误差的定义，得根据中误差的定义，得或或根据上面的推导方法，可求得根据上面的推导方法，可求得Z的中误差为的中误差为当当Z是一组观测值是一组观测值x1、x2、xn的线性函的线性函数时
20、，即数时，即由上式可推知和差函数与倍数函数的中误差。由上式可推知和差函数与倍数函数的中误差。（1）对于和差函数）对于和差函数Zxy，有，有如果如果mx=mym，则，则当当Z是是n个独立观测值的代数和时，即个独立观测值的代数和时，即可推得可推得（2）对于倍数函数）对于倍数函数Zkx，有，有如果如果m1m2mnm，则，则例例1 设对某量进行了设对某量进行了n次等精度观测，其观测值次等精度观测，其观测值分别为分别为l1、l2、ln，每一观测值的中误差为，每一观测值的中误差为m，算术平均值为，算术平均值为L，求算术平均值的中误差，求算术平均值的中误差M。解解 算术平均值为算术平均值为算术平均值中误差算
21、术平均值中误差例例2 在在1：500的地形图上测量两点间的距离，图的地形图上测量两点间的距离，图上的距离上的距离d42.3mm，在地形图上量距误差，在地形图上量距误差md0.2mm，求实地距离及，求实地距离及md。解解二、非线性函数的中误差二、非线性函数的中误差设非线性函数为设非线性函数为式中式中 x1，x2，xn独立直接观测值；独立直接观测值；Z未知量。未知量。设设x1，x2，xn为独立直接观测值，中误差分别为为独立直接观测值，中误差分别为m1，m2，mn，函数，函数Z的中误差为的中误差为mZ。如果。如果x1，x2，xn包含有真误差包含有真误差x1，x2，xn，则函，则函数数Z也产生真误差也
22、产生真误差Z。上式用泰勒级数展开成线性函数的形式，再对线性函数上式用泰勒级数展开成线性函数的形式，再对线性函数取全微分，可得取全微分，可得由于真误差均很小，用其近似地代替上式中的由于真误差均很小，用其近似地代替上式中的dZ、dx1、dx2、dxn，可得真误差关系式，可得真误差关系式是函数对各独立观测值是函数对各独立观测值xi的偏导数的偏导数因此，函数因此，函数Z的中误差为的中误差为例例1 在地面上有一矩形在地面上有一矩形ABCD，AB40.38 m0.03 m，BC33.42 m0.02 m，求面积及其中误差。，求面积及其中误差。解解 设设ABa40.38 m，ma0.03 m，BCb33.4
23、2 m，mb0.02m面积的中误差为面积的中误差为面积计算如下：面积计算如下：对函数式求其偏导数得对函数式求其偏导数得例例2 如图，测得如图，测得AB的垂直角为的垂直角为30000030，平距，平距AC为为D200.00m0.05 m，求，求A、B两点间高差两点间高差h及其中误及其中误差差mh。解解 A、B两点间高差为两点间高差为ABChD200m30对函数式求其偏导数得对函数式求其偏导数得 高差的中误差为高差的中误差为例3：水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中误差解普通水准测量每站测得高差水准尺刻划误差)。若以3倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。(包
24、括照准误差，气泡居中误差及则每站观测高差的中误差为：观测n站所得高差以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许误差为：高差闭合差为已知值(无误差)。则闭合差的中误差为：作业1测量距离A、B和C、D。往测结果分别为258.598m和138.745m，返测结果分别为258.547m和138.778m。分别计算往返较差、相对误差，并比较精度。2测得一正方形的边长a86.25m0.04m。试求正方形的面积及其相对误差。3在1：25000地形图上量得一圆形地物的直径为d31.3mm0.3mm。试求该地物占地面积及其中误差。4一个三角形，测得边长a150.50m0.05m，测得A64241，B35102。计算边长b和c及其中误差、相对中误差。