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1、第八章第八章 复合材料细观力学基础复合材料细观力学基础 8-1 8-1 引言引言 l复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不复合材料至少由两种材料构成，微观性质是不均匀的。均匀的。l前几章中复合材料前几章中复合材料“模量模量”和和“强度强度”的含义是什么？的含义是什么？l平均值，等效平均值，等效均匀材料均匀材料l复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀复合材料细观力学就是在研究如何用一个均匀材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。材料的响应来代替非均匀复合材料的平均响应。l复合材料的结构分析涉及两个尺度：复合材料的结构分析涉及两个尺度：宏观的，平宏观的，平均意义的量均意义的量微观的，涉及微观
2、的，涉及组分属性和微组分属性和微结构分布结构分布模量、强度模量、强度组分的含量、组分的含量、形状、结合形状、结合状态等状态等细观力学建细观力学建立二者之间立二者之间的关联的关联8-2 8-2 有效模量理论有效模量理论 一、有效模量理论一、有效模量理论1、宏观均匀、代表性体积单元、宏观均匀、代表性体积单元复复合合材材料料中中的的增增强强体体的的几几何何分分布布可可以以是是规规则则的的（如如图图），也也可可以是不规则的。以是不规则的。总总体体来来看看，复复合合材材料料是是宏宏观观均均匀匀的的，因因此此研研究究其其某某些些性性能能时时，只只须须取取其其一一代代表表性性体体积积单单元元（represe
3、ntative volume element）来来研研究究即即可可代表总体，见图。代表总体，见图。RVE的要求：的要求：1、RVE的的尺尺寸寸纤纤维维直径；直径；3、RVE的的纤纤维维体体积积分分数数=复复合合材材料料的的纤纤维维体体积积分数。分数。纤维体积分数：纤维体积分数：纤维总体积；纤维总体积；复合材料体积复合材料体积注意：注意：只只有有当当所所讨讨论论问问题题的的最最小小尺尺寸寸远远大大于于代代表表性性体体积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。二、复合材料的应力、应变及有效模量（复合材料）（复合材料）（均匀等效体）（均匀等效体）按体积平均，定义
4、复合材料的应力、应变为：按体积平均，定义复合材料的应力、应变为：平均应力平均应力平均应变平均应变则等效体的本构方程（即应力则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：应变关系）为：定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，总体模量）总体模量）三、有效模量理论1、边界条件、边界条件：（：（不能随意！不能随意！）均匀应变边界条件：均匀应变边界条件：均匀应力边界条件：均匀应力边界条件：2、可证明的两个特性：、可证明的两个特性：在给定均匀应变边界下，有：在给定均匀应变边界下，有：在给定均匀应力边界下，有：在给定均匀应力边界下，有：证明可见复合材料力学（周履等）证明可见复
5、合材料力学（周履等）P223。3、有效模量理论、有效模量理论1）给定均匀应变边界条件）给定均匀应变边界条件而而其中其中为复合材料的有效模量。为复合材料的有效模量。其应变能为：其应变能为：此时，复合材料的应变能也为：此时，复合材料的应变能也为：2）给定均匀应力边界条件）给定均匀应力边界条件而而则由则由，只需求得，只需求得，即可求得，即可求得3）有效模量的严格理论解）有效模量的严格理论解 只只有有按按上上述述两两种种均均匀匀边边界界条条件件算算得得的的有有效效弹弹性性模模量量一一致致，并并可可由由RVE的的解解向向邻邻近近单单元元连连续续拓拓展展到到整整体体时时，所所得得的的有有效效弹弹性性模模量
6、量才才是是严严格的理论解。格的理论解。则则只只有有满满足足上上述述条条件件的的复复合合材材料料的的宏宏观观弹弹性性模模量量才才能能通通过过体体积积平平均均应应力力、应应变变进进行行计计算算；或按应变能计算。或按应变能计算。一、长纤维复合材料8-3 有效模量的材料力学半经验解法 （一）纵向有效模量（一）纵向有效模量采用平面假设，在采用平面假设，在P力作用下，对力作用下，对RVE有：有：（下标（下标f、m表示纤维和基体）表示纤维和基体）所以有所以有而而利用利用称为纵向有效模量的混合律。称为纵向有效模量的混合律。（二）纵向泊松比（二）纵向泊松比RVE的纵向应变关系式：的纵向应变关系式：两边同时除以两
7、边同时除以，可得：，可得：（三）纵横（面内）剪切模量（三）纵横（面内）剪切模量在在剪剪应应力力作作用用下下，RVE的的剪剪应变有如下关系：应变有如下关系：以以代入上式，代入上式，并假设有并假设有，可得：，可得：（倒数混合律）（倒数混合律）（四）横向有效模量（四）横向有效模量设设而由平均值关系有：而由平均值关系有：（倒数混合律）（倒数混合律）可通过可通过和和的计算公式可反算的计算公式可反算和和。（五）（五）Halpin-Tsai方程方程 单单向向纤纤维维增增强强的的单单层层的的五五个个有有效效模模量量分分别由下式计算：别由下式计算：（M表示表示）其中：其中：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于：纤
8、维增强效果的一种度量参数，依赖于 相几何和载荷条件。相几何和载荷条件。*对矩形（对矩形（ab）截面纤维，）截面纤维，对圆截面纤维，方形排列，中等对圆截面纤维，方形排列，中等值时，值时，另另外外，*式式还还可可以以用用于于沿沿直直线线排排列列的的短短纤纤维维增增强单层的纵向和横向有效模量的计算：强单层的纵向和横向有效模量的计算：计算计算E1时，取：时，取：计算计算E2时，取：时，取：二、短纤维复合材料（一）单向短纤维复合材料（一）单向短纤维复合材料只讨论纵向和横向模量（只讨论纵向和横向模量（）。）。1、修正复合法则（修正混合定律）、修正复合法则（修正混合定律）其中其中表示纤维长度有效因子。表示纤
9、维长度有效因子。其中其中为基体剪切模量，为基体剪切模量，为纤维半经，为纤维半经，R为为纤维间距，纤维间距，l为纤维长度，为纤维长度，R与纤维的排列方式和与纤维的排列方式和有关。有关。2、Halpin-Tsai方程方程此时，对此时，对 L取：取：对对 T取：取：上式表明上式表明与纤维长比与纤维长比无关，可见单向无关，可见单向短纤维复合材料的横向模量与连续纤维复合短纤维复合材料的横向模量与连续纤维复合材料的相同。材料的相同。（二）随机分布短纤维复合材料（二）随机分布短纤维复合材料1、修正混合律：、修正混合律：2、基于、基于halpin-Tsai的经验公式：的经验公式：即为位向因子，在即为位向因子，
10、在0.3750.5之间，材料之间，材料为面内各向同性。为面内各向同性。8-4 有效模量的其他力学模型解 一、复合圆柱模型a）复合圆柱族模型）复合圆柱族模型b）求）求和和 c）求）求d）求）求 可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力可在复合圆柱模型上施加不同的均匀应力边界条件，利用弹性力学方法进行求解而得到边界条件，利用弹性力学方法进行求解而得到有效模量，结果为：有效模量，结果为：1、2、3、（平面应变体积模量）（平面应变体积模量）4、5、可由三相模型求得：可由三相模型求得：利利用用在在r处处施施加加纯纯剪剪均均匀匀应应力力边边界界条条件件下下，两两者者（a）和和（b）的的应应变变能相等来确定能相
11、等来确定。具体见复合材料力学（周履等）具体见复合材料力学（周履等）P250-256！二、Eshelby夹杂模型1、Eshelby等效夹杂理论等效夹杂理论Pij D-异质夹杂异质夹杂同质等效夹杂同质等效夹杂：特征应变：特征应变 设设整整个个系系统统在在无无穷穷远远边边界界处处受受均均匀匀应应力力边边界条件，如没有夹杂界条件，如没有夹杂，则，则D内的应力应变为内的应力应变为 而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引起的扰动应力和扰动应变，即：起的扰动应力和扰动应变，即：则夹杂中的应力场可表示为则夹杂中的应力场可表示为其中，其中，称为等效特征应变。称为等效特征应变。由
12、由Eshelby的的研研究究得得出出扰扰动动应应变变和和特特征征应应变变的关系为：的关系为：其其中中四四阶阶张张量量Sijkl称称为为Eshelby张张量量，仅仅与与基基体体的的材材料料性性能能和和夹夹杂杂物物的的形形状状和和尺尺寸寸有有关关。如如果果夹夹杂杂物物的的形形状状为为椭椭球球，则则夹夹杂杂内内的的应应变变和和应应力力场场是是均均匀匀的的。关关键键在在于于如如何何求求得得特特征征应应变变的的值。利用等效夹杂理论有：值。利用等效夹杂理论有：（*）将将（*）代代入入该该式式则则可可求求得得特特征征应应变变，进进而求得夹杂内外的弹性场。而求得夹杂内外的弹性场。2、单向短纤维复合材料的弹性性
13、能预测、单向短纤维复合材料的弹性性能预测2a1322b 设沿设沿1方向作用均匀应力方向作用均匀应力求求和和因为材料内部有：因为材料内部有：表示平均值。表示平均值。只需求得材料内的平均应变只需求得材料内的平均应变即可求得该材料的有效模量。即可求得该材料的有效模量。由由Eshelby夹杂理论可得：夹杂理论可得：其中其中f为纤维体积分数；为纤维体积分数；即特征应变。即特征应变。对椭圆形夹杂，对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明已经证明在夹杂内部在夹杂内部是均匀的，而在夹杂以外为零，且有：是均匀的，而在夹杂以外为零，且有：其中其中为为Eshelby张量；张量；为因夹杂的出现而为因夹杂的出现而形成的干扰
14、应变；形成的干扰应变；为无限远处的均匀应变；为无限远处的均匀应变；为基体材料的弹性张量；为基体材料的弹性张量；为夹杂的弹性张量。为夹杂的弹性张量。联解上式可得到联解上式可得到。由此可得：由此可得：若求出若求出，则：，则：1321322、斜向纤维情况：、斜向纤维情况：先在先在坐标系下求得：坐标系下求得：（方法同前）（方法同前）然后利用坐标变换求得然后利用坐标变换求得（为（为角的函数）角的函数）仍利用仍利用和和求求有有效效模模量量，注注意意此此时时的的模模量量为为角的函数。角的函数。3、随机分布短纤维复合材料：、随机分布短纤维复合材料：对不同的对不同的角，按前述方法求得其角，按前述方法求得其然后对
15、其求对于然后对其求对于得平均值：得平均值：在在作用下可求得作用下可求得和和，进而求得，进而求得和和。最后可得：。最后可得：注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。注意：上述计算均未计及纤维之间的互相作用。由前面的分析可知由前面的分析可知 三、数值计算方法（有限元法）三、数值计算方法（有限元法）；而；而该积分的值可由该积分的值可由FEM进行数值计算，即有：进行数值计算，即有：p为离散的单元号，为离散的单元号，n为单元总数。为单元总数。只需求出了只需求出了和和，即可得：，即可得：对对复复合合材材料料有有效效性性能能的的计计算算均均需需要要建建立立一一定定的的体积代表性单元，如：体积代表性单元，如
16、：单向短纤维复合材料的理想化模型单向短纤维复合材料的理想化模型三维代表性体积单元三维代表性体积单元 所所有有的的计计算算都都是是基基于于上上述述代代表表性性体体积积单单元元。对对随随机机分分布布短短纤纤维维复复合合材材料料的的处处理理方方法法与与前前一一致。致。不同的方法得到的结果不同，见下表。不同的方法得到的结果不同，见下表。复合材料复合材料Vf混合律混合律H-T方程方程夹杂理论夹杂理论FEM测测量量-Al2O3f/Al-5.5Mg-Al2O3f/Al-5.5Zn-Al2O3f/Al-12Si0101520010152001020-8593102-8593102-85102-768084-7
17、68084-7684-788388-788388-7888-81.487.793.9-81.487.793.9-81.493.97078.180.285.289.894.297.27078.987.489.294.895.67073.675.080.68-5 8-5 复合材料强度的细观力学分析复合材料强度的细观力学分析8-5-1 8-5-1 长纤维复合材料的强度材料力学分析长纤维复合材料的强度材料力学分析1、纵向拉伸强度X由图由图a所示模型的平衡，复合材料的应力所示模型的平衡，复合材料的应力与与纤维和基体应力的关系为：纤维和基体应力的关系为：当复合材料的破坏由纤维控制，即纤维达到其当复合材料的
18、破坏由纤维控制，即纤维达到其破坏应变破坏应变（对应的应力为（对应的应力为）时，复合）时，复合材料达到应力极限值为：材料达到应力极限值为：（*）但当纤维破坏后（但当纤维破坏后（时），基体将承担全时），基体将承担全部载荷，此时复合材料的极限应力为：部载荷，此时复合材料的极限应力为：由图由图c可见：可见：1、当、当时，时，复合材料强度由基体控制复合材料强度由基体控制2、当、当时，时，复合材料强度由纤维控制复合材料强度由纤维控制3、当、当时，时，说说明明复复合合材材料料强强度度低低于于基基体体本本身身强强度度，纤纤维未增强。维未增强。4、当、当时，时，说说明明复复合合材材料料强强度度高高于于基基体体本
19、本身身强强度度，纤维增强。纤维增强。一般来说很小，工程中常用的一般来说很小，工程中常用的均大于均大于，复合材料的强度总由纤维控制。复合材料的强度总由纤维控制。二、纵向压缩强度压缩时可能的破坏形式：压缩时可能的破坏形式：因纤维屈曲而导致破坏；因纤维屈曲而导致破坏；因横向界面拉裂而破坏；因横向界面拉裂而破坏；基体和基体和/或纤维剪切破坏；或纤维剪切破坏；纤维与基体压坏；纤维与基体压坏；纤维弯坏等等；纤维弯坏等等；下面只介绍根据纤维屈曲理论得到的结果：下面只介绍根据纤维屈曲理论得到的结果：两种模型：两种模型：a）横横向向型型（拉拉压压型型）：“异异向向”屈屈 曲，基体横向受拉压作用；曲，基体横向受拉
20、压作用；b）剪切型：）剪切型：“同相同相”屈曲，基体受剪切作用。屈曲，基体受剪切作用。（1）横向型）横向型可求得：可求得：其其中中：l为为纤纤维维长长度度，h为为纤纤维维直直径径，2c为为纤纤维维间距，间距，m为屈曲时的半波数目。为屈曲时的半波数目。由由于于m为为一一很很大大的的数数，可可对对上上式式进进行行连连续续函函数数求解最小值，可得：求解最小值，可得：其中，其中，最后有：最后有：其中其中。若。若，则上式可变为，则上式可变为（2）剪切型：）剪切型：同理可得：同理可得：为半波长（为半波长（h）,后一项可略去。后一项可略去。三、横向拉伸强度理论计算可得：理论计算可得：其中其中，且应力集中系数
21、，且应力集中系数Kmy为：为：当当等于等于和和中较小者时，中较小者时，（和和中较小者）中较小者）四、横向压缩强度其破坏原因为基体剪切破坏，经验公式为：其破坏原因为基体剪切破坏，经验公式为：五、面内剪切强度面内剪切破坏由基体和界面剪切所致，与面内剪切破坏由基体和界面剪切所致，与类似，有：类似，有：（和和的较小者）的较小者）8-5-28-5-2短纤维复合材料强度的细观力学分析短纤维复合材料强度的细观力学分析一、单向短纤维复合材料一般采用修正混合律公式进行研究。一般采用修正混合律公式进行研究。对长纤维复合材料应力有：对长纤维复合材料应力有：对短纤维复合材料，由于必须计及纤维端部对短纤维复合材料，由于
22、必须计及纤维端部效应，所以上式应写为：效应，所以上式应写为：其中其中（需要知道纤维中的（需要知道纤维中的应力分布）应力分布）由由COX提出的剪切滞后理论，通过图提出的剪切滞后理论，通过图b的平衡有：的平衡有：若若 在在z方向为一常数方向为一常数则则则纤维的应力则纤维的应力沿沿z方向是方向是线性分布的线性分布的将能达到最大纤维应力的最小纤维长度定义为将能达到最大纤维应力的最小纤维长度定义为载荷传递长度载荷传递长度（d：纤维直径）：纤维直径）上式中上式中短纤维最大纤维应力发生在纤维长度中点处短纤维最大纤维应力发生在纤维长度中点处 当当时：时：则则（临界载荷传递长度）（临界载荷传递长度）其中：其中：
23、为载荷传递长度。为载荷传递长度。临界载荷传递长度是载荷传递长度的最大值。临界载荷传递长度是载荷传递长度的最大值。又因为又因为 当当时，纤维中的应力时，纤维中的应力，则纤维，则纤维不会破坏，复合材料的破坏由基体控制，不会破坏，复合材料的破坏由基体控制，其强度其强度可近似写为：可近似写为：（）而当而当时，时，复合材料破坏由，复合材料破坏由纤维控制，则强度为：纤维控制，则强度为：（）若若，则，则此即为长纤维复合材料的强度公式。此即为长纤维复合材料的强度公式。与长纤维类似，与长纤维类似，仍有两个临界值仍有两个临界值和和 ：其中其中可见短纤维复合材料的可见短纤维复合材料的和和值均要高于值均要高于长纤维复
24、合材料的值。长纤维复合材料的值。二、随机分布短纤维复合材料的强度模型1、纤维长度随机分布的单向短纤维复合材料、纤维长度随机分布的单向短纤维复合材料此时此时既可以大于既可以大于，又可以小于，又可以小于，若，若为一随机变量，满足为一随机变量，满足的分布密度函数，则的分布密度函数，则复合材料的强度公式为：复合材料的强度公式为：2、纤维位向随机分布的短纤维复合材料、纤维位向随机分布的短纤维复合材料1）修正混合律：）修正混合律：即为因纤维位向随机分布而造成强度降低的即为因纤维位向随机分布而造成强度降低的因子称为位向因子，其值为因子称为位向因子，其值为0.350.5，若同时考，若同时考虑长度的随机性，则有
25、：虑长度的随机性，则有：注意上面分析中均认为注意上面分析中均认为与与相等。相等。2）统计积分法）统计积分法由由Tsai-Hill判判据据可可得得单单向向短短纤纤维维复复合合材材料料的的偏偏轴拉伸强度为：轴拉伸强度为：其中：其中：为纵向拉伸强度，等于为纵向拉伸强度，等于为横向拉伸强度，等于为横向拉伸强度，等于 为剪切破坏强度，等于为剪切破坏强度，等于为界面，基体的剪切强度，为界面，基体的剪切强度，为界面的为界面的抗拉强度。抗拉强度。引入纤维位向的分布密度函数引入纤维位向的分布密度函数，则，则即：即：8-6 8-6 单层板热、湿胀系数的预测单层板热、湿胀系数的预测一、纵向热胀系数的确定1、平衡方程
26、：、平衡方程：a）代表性体积单元b）自由时变形c）实际状态变形、即为因即为因起的纤维和基体应力。起的纤维和基体应力。而引而引 2、几何方程：、几何方程：（平面假设）（平面假设）3、物理方程：、物理方程：对单层板：对单层板：对纤维：对纤维：对基体：对基体：由上面各式可得：由上面各式可得：则则 (其实为其实为内的平均值，因为内的平均值，因为)a）代表性体积单元b）自由时变形c）实际状态变形为纤维与基体横向应变为纤维与基体横向应变 二、横向热膨胀系数二、横向热膨胀系数 2 2的确定的确定由前图有：由前图有：从细观上看：从细观上看：则有：则有：而：而：可由前节所得。可由前节所得。进而可得：进而可得：又
27、因为又因为所以有：所以有：三、纵向湿膨胀系数三、纵向湿膨胀系数 1 1的确定的确定 由由于于湿湿度度效效应应与与温温度度效效应应在在宏宏观观上上是是类类似似的，故可以仿照的，故可以仿照 1的推导求解的推导求解 1：平衡方程：平衡方程：几何方程：几何方程：物理方程：物理方程：对单层板：对单层板：对纤维：对纤维：对基体：对基体：吸水浓度吸水浓度C表示材料吸水分多少的质量指标：表示材料吸水分多少的质量指标：材料在干燥状态下的质量；材料在干燥状态下的质量；纤维，基体的质量。纤维，基体的质量。材料吸湿后，质量增加了材料吸湿后，质量增加了，若不计材料孔隙，若不计材料孔隙中的水量，则有：中的水量，则有：则在均匀吸湿情况下，有：则在均匀吸湿情况下，有：则有则有其中其中和和为纤维和基体的质量含量（为纤维和基体的质量含量（%）。）。进而进而式中式中为复合材料，纤维，基体的密度。为复合材料，纤维，基体的密度。综上述各式可得：综上述各式可得：又因为又因为因此因此最后可得：最后可得：四、纵向湿膨胀系数四、纵向湿膨胀系数 2 2的确定的确定推导与推导与 2相仿：相仿：从细观上看：从细观上看：式中式中 由前节给出。由前节给出。