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1、第四章第四章 功率谱估计功率谱估计1谱估计的基本任务是根据有限个观测数谱估计的基本任务是根据有限个观测数据，估计平稳随机过程的功率谱密度。据，估计平稳随机过程的功率谱密度。谱：频谱，功率谱谱：频谱，功率谱对于我们所研究的信号，随机平稳信号，对于我们所研究的信号，随机平稳信号，功率谱功率谱 24.1 引言引言时钟时钟,日历日历:经验谱经验谱棱镜分解一束光棱镜分解一束光:光谱光谱每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法，每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法，具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近似实际过程的模型；其次利用观测数据或自相关函似实际
2、过程的模型；其次利用观测数据或自相关函数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。3维纳维纳辛钦定理辛钦定理 4 功率谱的另一种定义功率谱的另一种定义5当信号具有遍历性时当信号具有遍历性时6辞海辞海谱(1)按照事务的类别或系统编成的表册，年谱按照事务的类别或系统编成的表册，年谱(2)供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、脸谱脸谱(3)曲线：乐谱曲线：乐谱(4)按歌词作曲，曲谱按歌词作曲，曲谱(5)大致的依据、打算：心里有谱大致的依据、打算：心里有谱,做事没谱做事没谱(6)左右、大约：三十元之谱左右、大约：三十元之谱7
3、复复杂杂振振动动用用谱谱线线表表示示时时，代代表表各各振振动动的的频频率率和和振振幅幅的的一一系系列列直直线线，谱谱线线数数反反映映了了该该复复杂杂振振动动所所包包含含的的谐谐振振动动的的个个数数，各各谱谱线线的的长长短。短。谱线谱线8考考虑虑到到 是是观观测测数数据据，是是随随机机变变量，取量，取统计统计平均平均9二、谱估计方法的概述二、谱估计方法的概述1011频率分辩率低，这是由于有限个观测数据频率分辩率低，这是由于有限个观测数据加窗截断的影响。加窗截断的影响。主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊，主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊，频率分辩率低。频率分辩率低。旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影
4、响弱信旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信号。号。经典谱估计的缺点经典谱估计的缺点12估计质量比经典谱估计质量有很大提高，估计质量比经典谱估计质量有很大提高，需要针对不同的信号，选择合适的模型，但需要针对不同的信号，选择合适的模型，但目前尚未有任何理论来指导模型的选择。一目前尚未有任何理论来指导模型的选择。一般来说，般来说，AR模型适合有谱峰的信号，模型适合有谱峰的信号，MA模模型适合有波谷的信号。型适合有波谷的信号。现代谱估计现代谱估计134.2 经典谱估计经典谱估计14一、一、BT法法151.1958年，年，B
5、lackman和和Tukey提出，在提出，在1965年年FFT算法出现之前，算法出现之前，BT法一直是法一直是最常用的方法。最常用的方法。2.理论基础：维纳理论基础：维纳辛钦定理辛钦定理3.自相关函数的估计自相关函数的估计 功率谱的估功率谱的估计计16根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数的估计优于无偏自相关函数的估的估计优于无偏自相关函数的估 计计17实际上，根据有限个观测数据来估计自实际上，根据有限个观测数据来估计自相关函数的，假设信号为相关函数的，假设信号为 ，进入自相关，进入自相关函数估计的为函数估计的为 ，估计估计得到得自相关函数得到得自相关函数
6、 ，则，则 181920 是由于截断数据而产生的，为了减是由于截断数据而产生的，为了减少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行平滑处理。平滑处理。设平滑窗为设平滑窗为 .21功率谱功率谱22设设 的持续时间为的持续时间为 ，需，需要注意的是，考虑到功率的非负性，要注意的是，考虑到功率的非负性，在选择在选择窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非负值。负值。23误差分析误差分析24可以看出，方差小可以看出，方差小 M小小偏移小偏移小 M大主瓣窄，频率分辩率高大主瓣窄，频率分辩率高通常取数据长度的通常取数据长度的 i.e.25
7、二周期图法二周期图法26忽略求统计平均运算忽略求统计平均运算 1.原理：原理：用用DFT计算功率谱计算功率谱272.与与BT法的关系法的关系281.周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计等价等价2.序列后面加零，序列后面加零，FFT谱线变密，频率分辨谱线变密，频率分辨率并没有提高。率并没有提高。293.周期图谱估计的周期图谱估计的性能分析性能分析30(1)均值均值31其中，其中，BT法谱估计法谱估计32由由(1)式可知式可知 因此，周期图是有偏估计因此，周期图是有偏估计当当 时，时，其频谱趋近于，其频谱趋近于 函数，周期图的估计属于渐近无偏估计函数，周期图的估
8、计属于渐近无偏估计33（2）方差）方差34假设假设x(n)是实的、零均值、正态白噪声信号，是实的、零均值、正态白噪声信号，方差为方差为 ，则功率谱为常数，则功率谱为常数 。令令 N为数据长度为数据长度35这里假设信号是实的白噪声信号，周期这里假设信号是实的白噪声信号，周期图估计是无偏估计图估计是无偏估计。36要计算周期图的均方值，先计算要计算周期图的均方值，先计算 3738394041当当N时时周期图是非一致估计周期图是非一致估计42上面的推导是以上面的推导是以 为依据进行为依据进行推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。43若若 ，k，l均为整数，
9、则均为整数，则44当当 且且k+l不是不是N的整数倍时的整数倍时,以以 的整数倍为频率间距的周期图是的整数倍为频率间距的周期图是不相关的不相关的 协方差为零的功率谱样本之间的间协方差为零的功率谱样本之间的间距距，周期图的起伏增快。，周期图的起伏增快。4546BT法和周期图法的主要优点法和周期图法的主要优点n计算量小计算量小n功率谱估计值正比于正弦波的功率功率谱估计值正比于正弦波的功率n是一种良好的实用模型是一种良好的实用模型47主要缺点主要缺点:n弱信号被强信号的旁瓣淹没弱信号被强信号的旁瓣淹没n频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的特征或信噪比无关特
10、征或信噪比无关n出现旁瓣，使谱失真出现旁瓣，使谱失真n需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统计特性计特性n某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负值值48经典谱估计不可能获得良好的谱估计经典谱估计不可能获得良好的谱估计1.m，参与求和项数，参与求和项数，平均效果，平均效果，m=N-1，只有一项。，只有一项。滞后量以较大的是不可靠滞后量以较大的是不可靠的，估计方差大。的，估计方差大。49经典谱估计不可能获得良好的谱估计经典谱估计不可能获得良好的谱估计2.周期图法用到了周期图法用到了m=0N-1的全部相关函数的全部相
11、关函数的估计值的估计值 方差较大，方差较大，BT法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量MN-1来去掉那些不可靠的相关函数估计来去掉那些不可靠的相关函数估计值，但值，但 M ,将将FT的求和范围缩短，变换的求和范围缩短，变换式本身的近似程度式本身的近似程度。50三三.经典谱估计方法的改进经典谱估计方法的改进511.窗口处理法：（窗口处理法：（FFT出现以前）选择适当出现以前）选择适当的窗函数作为加权平均。的窗函数作为加权平均。2.平均周期图法：数据分段平均周期图法：数据分段 求出各段的求出各段的平均周期图平均周期图 取平均取平均3.Welch法：改进的法：改进的
12、Bartlett法法521.平均周期图平均周期图n分分L组，每组有组，每组有M个数据，个数据，n第第 组：组：5354三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分辨三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分辨率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率分率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率分辨率换取方差的减小。辨率换取方差的减小。信号的功率谱信号的功率谱55如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，因此，在一般情况下，估计方差的减小少于因此，在一般情况下，估计方差的减小少于 。当当 ，功率谱越平
13、滑。，功率谱越平滑。估计的偏移量与方差是一对矛盾。偏移大小反估计的偏移量与方差是一对矛盾。偏移大小反映的是频率分辨率。映的是频率分辨率。当当N确定，确定，方差减小，频率分辨，方差减小，频率分辨率降低。率降低。56方差减小有明显效果方差减小有明显效果572.窗函数法窗函数法58选择一个适当的窗函数选择一个适当的窗函数 与周期图卷与周期图卷积，平滑周期图。积，平滑周期图。59由于由于 的长度的长度M数据长度数据长度N，因此，因此窗函数平滑周期图相当于加了一个短的截断窗函数平滑周期图相当于加了一个短的截断窗，使得频率分布率降低，偏移量上升，换窗，使得频率分布率降低，偏移量上升，换取方差的减小。取方差
14、的减小。603.修正周期图法修正周期图法（Welch法）法）61（1）选择适当的窗函数，在计算各组周期）选择适当的窗函数，在计算各组周期图之前加进去。图之前加进去。优点：无论什么样的窗函数，均可使优点：无论什么样的窗函数，均可使 Welch法对法对Bartlett法做了两方面的修正法做了两方面的修正62归一化因子归一化因子632）在分组时，可使各组数据有重叠。方差）在分组时，可使各组数据有重叠。方差 重叠最高可达重叠最高可达50。64小结小结周期图法直接对有限长序列的观测值进周期图法直接对有限长序列的观测值进行行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。谱，再取模平方，忽略了集合平均。谱估计的结果仍时一个随机变量。估计的结果仍时一个随机变量。缺点：缺点：不是一致估计，方差较大不是一致估计，方差较大 。增加序列长度并不能改善估计效果。增加序列长度并不能改善估计效果。65自相关函数法自相关函数法 1.随机序列值随机序列值 自相关函数自相关函数2.PSD2.隐含的存在一个矩形窗，缺点与周期图法类似。隐含的存在一个矩形窗，缺点与周期图法类似。66