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1、第三章电势电磁学1本讲稿第一页，共五十四页 3-1 静电场的保守性静电场的保守性一、静电场力作的功一、静电场力作的功 1、点电荷、点电荷 q 对对q0的功的功rbra结论：结论：单个点电荷的电场力对单个点电荷的电场力对 q0 所作的功所作的功与路径与路径无关无关，仅与，仅与 q0 的始末位置有关。的始末位置有关。本讲稿第二页，共五十四页2、点电荷系的电场力的功、点电荷系的电场力的功 在点电荷系在点电荷系 q1,q2,qn 电场中电场中结论：结论：电场力作功与路径无关，静电力是电场力作功与路径无关，静电力是保守保守力力，静电场是，静电场是保守场保守场。因为每一项都与路径无关因为每一项都与路径无关
2、,所以总电场力作所以总电场力作的功也与路径无关。的功也与路径无关。本讲稿第三页，共五十四页二、静电场环路定理二、静电场环路定理pQL1L2 在点电荷在点电荷q的电场中，将的电场中，将 q0 从从 P点沿闭合路点沿闭合路径经径经Q在回到在回到P点时，电场力所作的功为：点时，电场力所作的功为：静电场环路定理：静电场环路定理：场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。本讲稿第四页，共五十四页 静电场的环路定理说明静电场的环路定理说明静电场为保守场，静电场为保守场，静电场的电场线不能闭合。静电场的电场线不能闭合。即：对任何静电场，电场强的即：对任何静电场，电场强的线积分都
3、只取决于起点和终点的位置，而与线积分都只取决于起点和终点的位置，而与连接起点和终点间的路径无关。连接起点和终点间的路径无关。思考思考电场线平行但不均匀分布是否可能？电场线平行但不均匀分布是否可能？静电场的静电场的线？线？本讲稿第五页，共五十四页3-2 3-2 电势和电势差电势和电势差一、电势能一、电势能将将 q0 从从 ab 电场力作功：电场力作功：力学重力作功和势能的关系：力学重力作功和势能的关系：电场力作功导致电势能的变化有类似关系：电场力作功导致电势能的变化有类似关系：表述为：保守力作功等于势能增量的负值。表述为：保守力作功等于势能增量的负值。静电场中电场力所作的功等于电势能增量的负静电
4、场中电场力所作的功等于电势能增量的负值。值。本讲稿第六页，共五十四页 即点电荷在静电场中某点的电势能等于将电荷即点电荷在静电场中某点的电势能等于将电荷由该点移到电势能零点由该点移到电势能零点电场力所作的功。电场力所作的功。讨论：讨论：1.电势能是相对量电势能是相对量-相对势能零点的选择。相对势能零点的选择。若电荷分布在有限处，选无穷远处为势能零点：若电荷分布在有限处，选无穷远处为势能零点：例：在点电荷例：在点电荷q的电场中，的电场中，q0 处于处于a点的电势能点的电势能本讲稿第七页，共五十四页2.电势能是系统量电势能是系统量-属于属于q和和 q0共同占有。共同占有。3.电势能是代数量电势能是代
5、数量-电场力作功的正负决定电场力作功的正负决定 电势能的正负。电势能的正负。二、二、电势和电势差电势和电势差1.电势电势由电势能表达式由电势能表达式 比值与比值与 q0无关，仅决定无关，仅决定P点在场中位置，能反点在场中位置，能反映场的性质，可用来描述电场。映场的性质，可用来描述电场。本讲稿第八页，共五十四页P点的电势点的电势电势定义：电势定义：P点的电势等于单位正电荷在该处的点的电势等于单位正电荷在该处的 电势能。电势能。或者：或者：P点的电势等于把单位正电荷从该处移至点的电势等于把单位正电荷从该处移至 电势零点电场力所作的功。电势零点电场力所作的功。讨论：讨论：(1)电势是相对量电势是相对
6、量-相对于电势零点的选择。相对于电势零点的选择。(2)电势是代数量电势是代数量-与场源电荷及电势零点的选与场源电荷及电势零点的选 择有关。择有关。(3)电荷电荷 q在场中在场中a点的电势能为：点的电势能为：Wa=q a本讲稿第九页，共五十四页 2.电势差电势差 a-b 称做称做a 和和b两点间的电势差两点间的电势差.或电压或电压U12。电压电压 U12=1-2讨论：讨论：1.电势差是一个绝对量，与电势零点的选择无关。电势差是一个绝对量，与电势零点的选择无关。2.电势差与电场力的功的关系：电势差与电场力的功的关系：本讲稿第十页，共五十四页 3-3 电势叠加原理电势叠加原理1.点电荷电场的电势点电
7、荷电场的电势距点电荷距点电荷 q 为为 r 处的处的 P 点的电势点的电势:2.点电荷系电场的电势点电荷系电场的电势电势叠加原理：电势叠加原理：点电荷系电场的电势等于各点点电荷系电场的电势等于各点 电荷单独存在时在该点的电势的代数和。电荷单独存在时在该点的电势的代数和。prq本讲稿第十一页，共五十四页电势的求法：电势的求法：1、点电荷的电势、点电荷的电势 +电势叠加原理电势叠加原理电荷离散分布电荷离散分布 电荷连续分布电荷连续分布dq=dldq=dsdq=dv本讲稿第十二页，共五十四页2、电势的定义式、电势的定义式此方法适用：电场分布具有对称性的带电体。此方法适用：电场分布具有对称性的带电体。
8、选取合适的坐标系和电势零点；选取合适的坐标系和电势零点；电荷分布在有限区域，选取无穷远处为电势零电荷分布在有限区域，选取无穷远处为电势零 点；电荷分布无限大区域，选取有限处为电点；电荷分布无限大区域，选取有限处为电 势能零点；势能零点；确定积分上下限，不同区域要确定积分上下限，不同区域要分段分段积分。积分。解题应注意：解题应注意：本讲稿第十三页，共五十四页解解 以电偶极子轴线中心为坐标原点，以电偶极子轴线中心为坐标原点，P-q+qr-r+例例1 设无限远处电势为零，求证在电偶极子产生设无限远处电势为零，求证在电偶极子产生的电场中任意一点的电势为的电场中任意一点的电势为 其中其中 为电偶极子轴线
9、中心到为电偶极子轴线中心到 P点的矢量。点的矢量。例例1 设无限远处电势为零，求证在电偶极子产生设无限远处电势为零，求证在电偶极子产生的电场中任意一点的电势为的电场中任意一点的电势为 其中其中 为电偶极子轴线中心到为电偶极子轴线中心到 P点的矢量。点的矢量。本讲稿第十四页，共五十四页例例2 求均匀带电球面的电场中的电势分布。求均匀带电球面的电场中的电势分布。已知球壳半径为已知球壳半径为R，带电带电+q。R+q解解:根据高斯定律求得：根据高斯定律求得：以以无穷远处无穷远处为电势零点，为电势零点，ORr=常量常量1/r 本讲稿第十五页，共五十四页例例3 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知求均匀带
10、电圆环轴线上的电势分布。已知 环的半径为环的半径为R，带电量为带电量为q。Xdqp方法：方法：点电荷的电势点电荷的电势 +电势电势 叠加原理，叠加原理，本讲稿第十六页，共五十四页例例4 求无限长均匀带电直线的电场中的电势求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布分布.已知电荷线密度为已知电荷线密度为。解解:无限长均匀带电直线的电场强度为：无限长均匀带电直线的电场强度为：Pr 若以若以无穷远处无穷远处为电势零点为电势零点结论结论:当电荷的分布为无限大时当电荷的分布为无限大时,电势零点电势零点不能不能再再 选选在无限远处在无限远处,而要选在而要选在有限有限处。处。本讲稿第十七页，共五十四页当电荷的分
11、布为无限大时当电荷的分布为无限大时,应选择有限处为电势零点。应选择有限处为电势零点。选选P0点为电势零点，点为电势零点，P点的电势为：点的电势为：PP0Pr0r 本讲稿第十八页，共五十四页例例5 求半径为求半径为R、电荷体密度为电荷体密度为 的均匀带电无的均匀带电无 限长圆柱体的限长圆柱体的 和和 分布。分布。RO解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性rL1.圆柱体内的圆柱体内的E分布分布本讲稿第十九页，共五十四页2.圆柱体外的圆柱体外的E分布分布ROrL3、圆柱体内的、圆柱体内的 分布分布选轴选轴0为电势零点：为电势零点：本讲稿第二十页，共五十四页ROP4、圆柱体外的、圆柱体外的 分
12、布分布本讲稿第二十一页，共五十四页 电势计算方法总结电势计算方法总结一、场强分布已知一、场强分布已知注意：注意：必须取好电势零点必须取好电势零点分段积分分段积分积分是从积分是从场点到电势零点场点到电势零点（或从（或从 电势零点到场点）的电势零点到场点）的线线积分积分常用情形常用情形：当场源带电体为球状、当场源带电体为球状、“无限长无限长”柱状、柱状、“无限大无限大”平板时，常常平板时，常常先用高斯定理求场强，先用高斯定理求场强，再用上述方法求电势。再用上述方法求电势。本讲稿第二十二页，共五十四页二、场强分布未知且不易求出二、场强分布未知且不易求出用叠加原理求电势用叠加原理求电势令令点电荷点电荷
13、点电荷系点电荷系任一带电体任一带电体本讲稿第二十三页，共五十四页作业：电磁学第作业：电磁学第3章章P 87-2、3、6、7本讲稿第二十四页，共五十四页回顾回顾1、静电场的性质、静电场的性质2、电势的定义、电势的定义3、电势的计算、电势的计算（1）点电荷的电势）点电荷的电势 +电势叠加原理电势叠加原理（2）电势的定义式）电势的定义式本讲稿第二十五页，共五十四页例例6 求厚度为求厚度为d、体密度为体密度为（0）的无限的无限 大的带电平板的场强和电势分布。大的带电平板的场强和电势分布。d r解：带电板以板的中央平面为对称面，解：带电板以板的中央平面为对称面，距对称面相等处场强大小相等，方距对称面相等
14、处场强大小相等，方 向垂直板向外。向垂直板向外。1.板内的场强分布板内的场强分布本讲稿第二十六页，共五十四页2、板外的场强分布、板外的场强分布d r3、板内的、板内的 分布分布对无限长平板，选中央平面为电势零点：对无限长平板，选中央平面为电势零点：本讲稿第二十七页，共五十四页4、板外的、板外的 分布分布d p本讲稿第二十八页，共五十四页例例 7 一锥顶角为一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别的圆台，上下底面半径分别为为 R1 和和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密在它的侧面上均匀带电，电荷面密度度 ,求顶点求顶点 O的电势。的电势。解解:x 处取一小圆台，其到处取一小圆台，其到 O 点的母线
15、长为点的母线长为 r，小圆台的侧面积为：小圆台的侧面积为：小圆台带电荷为小圆台带电荷为:R1R2OxrxX小圆台在小圆台在 O点的电势为点的电势为:R1R2本讲稿第二十九页，共五十四页圆台在圆台在 O点的电势点的电势小圆台在小圆台在 O点的电势为点的电势为:本讲稿第三十页，共五十四页例例8 两个均匀带电同心球壳，半径分别为两个均匀带电同心球壳，半径分别为Ra、Rb,带带电量分别为电量分别为Qa、Qb,求三个区域的电势分布求三个区域的电势分布解解 一个球壳内外的电势分布为：一个球壳内外的电势分布为：根据电势叠加原理：根据电势叠加原理：RaRbQaQbIIIIIIR0Q本讲稿第三十一页，共五十四页
16、 一、等势面一、等势面 性质：性质：1)等势面与电力线垂直；等势面与电力线垂直；2)沿电力线方向电势逐点沿电力线方向电势逐点3)降低；降低；3-4 电势梯度电势梯度定义：定义：电场中电势相等的电场中电势相等的点组成的面。点组成的面。场强与电势的积分关系：场强与电势的积分关系：场强与电势的微分关系如何？场强与电势的微分关系如何？3)等势面密集处场强大。等势面密集处场强大。本讲稿第三十二页，共五十四页本讲稿第三十三页，共五十四页二、二、E与与U的微分关系的微分关系-电势梯度电势梯度A,B是两个靠得很近的等势面是两个靠得很近的等势面梯度梯度物理量物理量(标量标量)的空间变化率。的空间变化率。1.电势
17、梯度电势的空间变化率电势梯度电势的空间变化率PQAB 若积分沿若积分沿 PQ 联线方向，即联线方向，即n方向，且认方向，且认为连线上各点的为连线上各点的 E 与与 P 点的相同，点的相同，本讲稿第三十四页，共五十四页PQAB+d F 若积分沿若积分沿 PF 联线方向，且认为联线方向，且认为连线上各点的连线上各点的 E 与与 P 点的相同，点的相同，上式表明：场强沿上式表明：场强沿r方向的分量等于电势沿此方向方向的分量等于电势沿此方向的空间变化率的负值。的空间变化率的负值。电势沿场强方向变化率最大本讲稿第三十五页，共五十四页定义：定义：电势变化率的最大值电势变化率的最大值d/dl为电势梯度。为电
18、势梯度。性质：性质：电势梯度是矢量，其方向沿该点电势升电势梯度是矢量，其方向沿该点电势升 高最快的方向。高最快的方向。PQAB+d F 本讲稿第三十六页，共五十四页上式表明：电场中某点的上式表明：电场中某点的场强等于该点电势梯场强等于该点电势梯 度的度的负值负值。负号表示场强方向沿电势降落的方负号表示场强方向沿电势降落的方向。向。2.场强与电势梯度的关系场强与电势梯度的关系3.利用电势梯度求场强利用电势梯度求场强方法方法（1）先求）先求=d (标量积分较容易）标量积分较容易）（2）再由）再由=-grad 求求 （微分比积分容易）微分比积分容易）本讲稿第三十七页，共五十四页例题例题 求均匀带电园
19、环在轴线上的场强分布。求均匀带电园环在轴线上的场强分布。PdqORxxr先求电势分布：先求电势分布：求场强：由对称性分析知场强方向沿轴线求场强：由对称性分析知场强方向沿轴线本讲稿第三十八页，共五十四页3-5 3-5 电荷在外电场中的静电势能电荷在外电场中的静电势能 电荷电荷q0在静电场中从在静电场中从P1点移至点移至P2时时,它的电势能它的电势能的减少就等于电场力所做的功的减少就等于电场力所做的功.即一个电荷在静电场中某点的电势能等于它的电量与即一个电荷在静电场中某点的电势能等于它的电量与电场中该点电势的乘积电场中该点电势的乘积.在电势零点处在电势零点处,电荷的电势能为零电荷的电势能为零W=q
20、0=0.本讲稿第三十九页，共五十四页 3-6 3-6 电荷系的静电能（互能）电荷系的静电能（互能）一、点电荷之间相互作用能一、点电荷之间相互作用能.两点电荷（两点电荷（q1 q2）相互作用能相互作用能在在q1的外电场中，把的外电场中，把q2从无限远移至从无限远移至r12处，外力所作的功为：处，外力所作的功为：本讲稿第四十页，共五十四页.三个点电荷组成系统三个点电荷组成系统.个点电荷系统个点电荷系统二、电荷连续分布静电能二、电荷连续分布静电能线带电线带电面带电面带电体带电体带电本讲稿第四十一页，共五十四页例例1 如图，如图，N点有正电荷点有正电荷Q，M点有点有Q，今将试今将试验电荷验电荷q。从从
21、o点沿点沿ocDp移至无穷远，设无穷远处移至无穷远，设无穷远处为势能零点。求电场力所作功及这对点电荷相距为势能零点。求电场力所作功及这对点电荷相距2L时具有的电势能时具有的电势能.解解 电场力作功为电场力作功为p本讲稿第四十二页，共五十四页另一种方法另一种方法这对点电荷相距这对点电荷相距2L时具有的电势能时具有的电势能本讲稿第四十三页，共五十四页例例2 均匀带电球体，半径为均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为电荷体密度为，试求此带电球的静电能。试求此带电球的静电能。R 解：这是一个连续分布带电体的静电能分布问题。解：这是一个连续分布带电体的静电能分布问题。由高斯定律可求得场强分布：由高斯定律可
22、求得场强分布：本讲稿第四十四页，共五十四页选无穷远处为电势零点，球内选无穷远处为电势零点，球内r处的电势为：处的电势为：球的静电能为：球的静电能为：本讲稿第四十五页，共五十四页例题例题3 半径为半径为R的均匀球面，带电量为的均匀球面，带电量为Q,沿矢径方向上沿矢径方向上有一均匀带电细线，细线近端离球心距离为有一均匀带电细线，细线近端离球心距离为r。，。，已知已知、L,设球与线互不影响。求细线所受球面电荷的电场力和设球与线互不影响。求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能。细线在该电场中的电势能。XdxF方向沿方向沿x 轴正向轴正向本讲稿第四十六页，共五十四页Xdx电荷元在带电球面电场
23、中的电势能为电荷元在带电球面电场中的电势能为整个导线在带电球面电场中的电势能为整个导线在带电球面电场中的电势能为本讲稿第四十七页，共五十四页解解:电偶极子受电场力力矩为电偶极子受电场力力矩为FF 例例 6 一电偶极子的电矩为一电偶极子的电矩为 ,放在场强为放在场强为 的的匀强电场中匀强电场中,与与 之间夹角为之间夹角为 .若将此偶极若将此偶极子绕通过其中心且垂直于子绕通过其中心且垂直于 与与 组成的平面的组成的平面的轴转过轴转过 180 o，外力需做功多少？外力需做功多少？用同样大小的外力矩用同样大小的外力矩克服电场力矩做功：克服电场力矩做功：本讲稿第四十八页，共五十四页3.7 静电场的能量静
24、电场的能量电场能量密度电场能量密度在电场存在的空间在电场存在的空间V中，静电场能（中，静电场能（静电静电能能）：）：本讲稿第四十九页，共五十四页真空中静电场小结提纲真空中静电场小结提纲一一.线索（基本定律、定理）：线索（基本定律、定理）：还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。本讲稿第五十页，共五十四页从受力从受力的角度的角度描述描述 电电 场场从功能从功能的角度的角度描述描述定定量量描描述述力力能能形形象象描描述述电场线电场线等势面等势面 P1）相互垂直）相互垂直2）电场线密）电场线密 等势面也密等势面也密E二二.基本物理量之间的关系：基本物理量之间的关系：本讲稿第五十一页，共五十四页三三.求场的方法：求场的方法：本讲稿第五十二页，共五十四页四四.几种典型电荷分布的场强和电势：几种典型电荷分布的场强和电势：（自己总结）（自己总结）点电荷；点电荷；均匀带电薄球壳；均匀带电薄球壳；均匀带电大平板；均匀带电大平板；均匀带电长直线；均匀带电长直线；均匀带电长圆筒。均匀带电长圆筒。本讲稿第五十三页，共五十四页作业：电磁学第作业：电磁学第3章章P889、11、21本讲稿第五十四页，共五十四页