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1、第三章投影变换改1本讲稿第一页，共二十六页一、问题的提出一、问题的提出 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置当直线或平面相对于投影面处于特殊位置(平行或垂直平行或垂直)时，时，可以方便地求出线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。可以方便地求出线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。当直线或平面相对于投影面处于不利于解题的位置时，怎么办？当直线或平面相对于投影面处于不利于解题的位置时，怎么办？变换投影面法变换投影面法(换换 面面 法法)：将几何元素与投影面的相对位置变换成将几何元素与投影面的相对位置变换成处于有利于处于有利于解题位置的方法称为投影变换。解题位置的方法称为投影变换。解决方法：变换投影
2、面。解决方法：变换投影面。2本讲稿第二页，共二十六页VHXABabab 老投影体系老投影体系V/H新投影面新投影面V1新投影体系新投影体系V1/HX1新轴新轴老轴老轴a1b1新投影新投影被替换被替换的投影的投影被保留被保留的投影的投影被保留被保留的投影面的投影面被替换被替换的投影面的投影面 3本讲稿第三页，共二十六页VHAB a b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解最有利的解 题位置。题位置。2.新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以构
3、成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b14本讲稿第四页，共二十六页VHA a a axX 更换一次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a，a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.5本讲稿第五页，共二十六页ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1=a ax 点的新投影到新投影轴的距离等
4、于被代替的投影点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。到原投影轴的距离。axa 一般规律：一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。于新投影轴。.6本讲稿第六页，共二十六页 XVHaa ax更换更换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作由点的不变投影向新投影轴作垂线垂线，并在，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。替的投影到原投影轴的距离。aa X1P1H a1axax1ax1更换更换V面
5、面a1作图规律：作图规律：.7本讲稿第七页，共二十六页 更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1，P1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:P1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面P2，P2 P1，得到新投影体系，得到新投影体系:X2 P1 P2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 8本讲稿第八页，共二十六页ax2 a aXVH 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2=aax1a1 axax1 .9本讲稿第九页，共
6、二十六页VHAB a b ab四、换面法的六个基本问题四、换面法的六个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空间分析空间分析：不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。a b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a1b1与与ab平行。平行。.换H面行吗？10本讲稿第十页，共二十六页2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用功用:可用于求点与直线可用于求点与直线,两直线
7、间的距离等。两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。投影。VHXABababX1H1a1b1X1H1Va1 b1XVHabab11本讲稿第十一页，共二十六页a1b1VH a aXB b bA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 P2P1X2.与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；
8、一次换面把直线变成投影面平行线；一般位置直线变换为投影面垂直线一般位置直线变换为投影面垂直线12本讲稿第十二页，共二十六页例例 1 已知等腰三角已知等腰三角形形ABC的底边的底边为为AB，试用，试用换面法求出等换面法求出等腰三角形腰三角形ABC的正面投影。的正面投影。abXVHcabX1HV1b1c1a1cee113本讲稿第十三页，共二十六页功用：可求解平面与投影面的倾角，功用：可求解平面与投影面的倾角，点与平面的距离，点与平面的距离，两平行面间的距离等。两平行面间的距离等。4.把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面问题的关键：在平面上
9、作一条投影面平行线平行线，新轴新轴必必须须垂直垂直与该平行线与该平行线反映实长的那个投影反映实长的那个投影。14本讲稿第十四页，共二十六页 一般位置直线变换成一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次投影面垂直线，需经几次变换？变换？a b c abcdVHABCDX d 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析：在平面内在平面内取一条投影取一条投影面平行线面平行线，经一次换面，经一次换面后变换成新投影面的垂后变换成新投影面的垂
10、直线，则该平面变成新直线，则该平面变成新投影面的垂直面。投影面的垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？思考：思考：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！15本讲稿第十五页，共二十六页 a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程：在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。d1a1 d1c1 反映平面对哪个反映平面
11、对哪个投影面的夹角？投影面的夹角？.16本讲稿第十六页，共二十六页 5.将投影面的垂直面变成投影面的平行面将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用：功用：一次换面后可求解一次换面后可求解平面实形、形心、平面实形、形心、两直线交角等两直线交角等 问题的关键：问题的关键：新投影轴必新投影轴必须须平行于该平行于该平面的积聚平面的积聚性投影。性投影。HVbacV1ABCbaa1c1b1X1c17本讲稿第十七页，共二十六页a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。二次换面，再变换成
12、新投影面的平行面。X2P1P26.把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab a c b XVHc作作 图：图：AB是水是水平线平线空间分析：空间分析：a2c2b2c1X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行18本讲稿第十八页，共二十六页例例 3 已知直线已知直线AB与与 CDE平面平行，且相距平面平行，且相距20mm，求直线，求直线AB的的水平投影。水平投影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1e1 d1ba20mm19本讲稿第十九页，共二十六页1、求直线实长和与投影面的倾角、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的
13、平行线。将直线变换成投影面的平行线。2、求平面实形和形心、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。将平面变换成投影面的平行面。3、求平面与投影面的倾角求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。将平面变换成投影面的垂直面。4、求距离求距离（1）点与直线之间）点与直线之间 a 将直线变换成投影面垂直线。将直线变换成投影面垂直线。b 将点与直线组成的平面变换成投影将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行面。面的平行面。五、换面法的应用五、换面法的应用20本讲稿第二十页，共二十六页（2）点与平面之间点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。将平面变换成投影面垂直面。（3）两平行线之间两平行
14、线之间 将两直线变换成投影面垂直线。将两直线变换成投影面垂直线。（4）两平行平面之间两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。将两平面变换成投影面垂直面。5、求夹角、求夹角（1）两直线之间）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2）两平面之间两平面之间 将将两两平平面面变变换换成成投投影影面面的的垂垂直直面面，即即应应将将两两平平面面的的交线变换成投影面的垂直线。交线变换成投影面的垂直线。21本讲稿第二十一页，共二十六页b1 距离距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足D
15、。c c b a abXVH 如下图：当直线如下图：当直线AB垂直垂直于投影面时，于投影面时，CD平行于投平行于投影面，其投影反映实长。影面，其投影反映实长。APBDCca b d作图作图:求求C点到直线点到直线AB的距离，就的距离，就是求垂线是求垂线CD的实长。的实长。空间及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.如何确定如何确定d1点的位置？点的位置？22本讲稿第二十二页，共二十六页b a abcdc 例例2：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN，且且AB为水平线，求为水平线，求CD及及M
16、N的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MNn m 当直线当直线AB垂直于投影垂直于投影面时，面时，MN平行于投影面，平行于投影面，这时它的投影这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：作图：请注意各点的投影如请注意各点的投影如何返回？何返回？求求m点是难点点是难点。.23本讲稿第二十三页，共二十六页空间及投影分析空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其投影的夹角都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（才反映实大（60），因此需将），因此需将AB与与C点
17、所确定的平面变换成投影点所确定的平面变换成投影面平行面。面平行面。例例3:过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求上，求等边三角形的投影。等边三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.24本讲稿第二十四页，共二十六页P2P1X2H P1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a
18、2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空间及投影分析空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。两交线之间的夹角。在投影图中在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。.25本讲稿第二十五页，共二十六页换面法的四个基本问题：换面法的四个基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线26本讲稿第二十六页，共二十六页