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1、第三章晶体对称本讲稿第一页，共三十四页1、对称的概念对称的概念：物体相同部分有规律的重复。物体相同部分有规律的重复。n对称的条件：对称的条件：物体或图形有相同部分；物体或图形有相同部分；这些这些 相同相同部分有规律地重复。部分有规律地重复。不对称的图形不对称的图形蝴蝶、花冠和建筑物的对称蝴蝶、花冠和建筑物的对称一、对称的概念及晶体对称的特点一、对称的概念及晶体对称的特点本讲稿第二页，共三十四页2 2、晶体对称的特点、晶体对称的特点 n晶晶体体是是具具有有对对称称性性的的，晶晶体体外外形形的的对对称称表表现现为为相相同同的的晶晶面面、晶晶棱棱和和角角顶顶作作有有规规律律的的重重复复，这这是是晶体
2、的宏观对称晶体的宏观对称。n晶体的对称与其它物体的对称不同，晶体的对称与其它物体的对称不同，晶体的对晶体的对称是由内部的格子构造规律所决定的。称是由内部的格子构造规律所决定的。本讲稿第三页，共三十四页晶体的对称有如下的特点晶体的对称有如下的特点：n 所所有有晶晶体体都都具具对对称称性性。一一切切晶晶体体都都具具格格子子构构造造，而而格格子子构构造造本本身身就就是是内内部质点在三维空间周期性重复排列的体现（微观对称）。部质点在三维空间周期性重复排列的体现（微观对称）。n 晶晶体体的的对对称称是是有有限限的的（遵遵循循“晶晶体体对对称称定定律律”）。晶晶体体对对称称严严格格受受格格子子构构造造规规
3、律律的的控控制制，只只有有符符合合格格子子构构造造规规律律的的对对称称才才能能在在晶晶体体上上出现。出现。n 由由于于晶晶体体的的对对称称取取决决于于格格子子构构造造，故故晶晶体体对对称称不不仅仅表表现现在在外外形形上，同时也表现在光学、力学、热学、电学性质等物理性质上。上，同时也表现在光学、力学、热学、电学性质等物理性质上。基基于于以以上上特特点点，所所以以晶晶体体的的对对称称性性是是晶晶体体的的最最重重要要特特征征，也也可可以以把把它它作为作为晶体分类的最好依据晶体分类的最好依据。本讲稿第四页，共三十四页n对称操作对称操作：是指欲使物体或图形中相同部是指欲使物体或图形中相同部分重复出现的操
4、作。分重复出现的操作。n对称要素对称要素：在进行对称操作时所凭借的几在进行对称操作时所凭借的几何要素（点、线、面）。何要素（点、线、面）。二、晶体的对称要素和对称操作二、晶体的对称要素和对称操作本讲稿第五页，共三十四页晶体外形上可能存在的对称要素晶体外形上可能存在的对称要素：1 1、对称面（、对称面（、对称面（、对称面（P P）2 2、对称轴（、对称轴（、对称轴（、对称轴（L Ln n）3 3、对称中心（、对称中心（、对称中心（、对称中心（C C）4、旋转反伸轴（、旋转反伸轴（Lin n）5 5、旋转反映轴（、旋转反映轴（、旋转反映轴（、旋转反映轴（L Ls sn n）本讲稿第六页，共三十四页
5、1、对称面对称面（P）对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的假想平面。假想平面。相应对称操作：对一个平面的反映。相应对称操作：对一个平面的反映。ADEBP1P2AE1DEBP本讲稿第七页，共三十四页对称面在晶体中可能存在的位置：对称面在晶体中可能存在的位置：垂直并平分晶面；垂直并平分晶面；垂直晶棱并通过它的中心；垂直晶棱并通过它的中心；包含晶棱并平分晶面夹角。包含晶棱并平分晶面夹角。n晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面，最多可晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面，最多可达达9 9个。对称面的描述方法为个。对称面的描述方法为3P
6、3P、9P9P等。等。立方体的九个对称面立方体的九个对称面本讲稿第八页，共三十四页对称面的投影对称面的投影 对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球面的交线对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球面的交线为一大圆。为一大圆。通常不将对称面转化为点，而是直接投影成一条弧通常不将对称面转化为点，而是直接投影成一条弧线或直线。线或直线。作图时对称面用实线表示。作图时对称面用实线表示。n倾斜倾斜P投影为以基圆直径为投影为以基圆直径为弦的大圆弧弦的大圆弧n水平水平P投影为基圆投影为基圆n直立直立P投影为基圆直径投影为基圆直径本讲稿第九页，共三十四页立方体的九个对称面极射赤平投影图立方
7、体的九个对称面极射赤平投影图示示 例例本讲稿第十页，共三十四页2、对称轴对称轴（Ln）n对对称称轴轴是是通通过过晶晶体体中中心心的的一一根根假假想想直直线线，晶晶体体围围绕绕此此直直线线旋旋转转一一定定角角度度后后，相相同同的的晶晶面面、晶棱、角顶能重复出现。晶棱、角顶能重复出现。n相应的对称操作：围绕一根直线的旋转。相应的对称操作：围绕一根直线的旋转。n旋旋转转一一周周，晶晶体体的的相相同同部部分分重重复复的的次次数数称称为为轴轴次次（n）；重重复复时时所所旋旋转转的的最最小小角角度度称称为为基基转角（转角（）；）；n=360。本讲稿第十一页，共三十四页n晶体外形上可能出现的对称轴有晶体外形
8、上可能出现的对称轴有L1（无实际意义）（无实际意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别为相应的基转角分别为360、180、120、90、60。n L2、L3、L4和和L6的作图符号分别为的作图符号分别为 、。n轴次高于轴次高于2的对称轴称为的对称轴称为高次轴高次轴。本讲稿第十二页，共三十四页晶体中对称轴举例晶体中对称轴举例横截面形状横截面形状横截面形状横截面形状本讲稿第十三页，共三十四页n垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。即不能成为晶体结构。晶
9、晶体体对对称称定定律律：在在晶晶体体中中不不可可能能存存在在五五次次及及高高于于六六次次的的对称轴。对称轴。因为不符合空间格子规律。因为不符合空间格子规律。本讲稿第十四页，共三十四页n对称轴在晶体中可能出露的位置：对称轴在晶体中可能出露的位置：通过晶面的中心；通过晶面的中心；通过晶棱的中点；通过晶棱的中点；通过角顶。通过角顶。n在一个晶体中，除在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有一或外，可以无、也可有一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个。多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个。n表示方法为表示方法为3L4、4L3、6L2等等。本讲稿第十五页，共三十四页对称轴的投影对称轴的投影 l直
10、立对称轴投影点位于基圆中心直立对称轴投影点位于基圆中心l水平对称轴投影点位于基圆上水平对称轴投影点位于基圆上l倾斜对称轴投影点位于基圆内倾斜对称轴投影点位于基圆内n对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影球的直径。球的直径。本讲稿第十六页，共三十四页n图中可见，立方体的图中可见，立方体的L L4 4、L L3 3和和L L2 2分别是四、三和两个分别是四、三和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称面投影的交点上。对称面的交线，其赤平投影点落于对称面投影的交点上。立方体的对称要素及其赤平投影立方体的对称要素及其赤平投影本讲稿第十七页，共三十四页3、对称
11、中心对称中心（C）n对称中心：对称中心：是晶体内部的一个假想点，通过该点作任意直是晶体内部的一个假想点，通过该点作任意直线，则在该直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找线，则在该直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。到对应点。n相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。本讲稿第十八页，共三十四页v对称中心以字母对称中心以字母C表示，图示符号为表示，图示符号为“o”或或“C”表示。表示。v晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心，若晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体的几何中心。有只能有一个，而且必定位于晶体的
12、几何中心。v晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必然两晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必然两两反向平行而且相等两反向平行而且相等。用它可以作为判断晶体有。用它可以作为判断晶体有无对称中心的依据。无对称中心的依据。本讲稿第十九页，共三十四页4、旋转反伸轴旋转反伸轴（Lin）n旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等部分重复。反伸，才能使晶体上的相等部分重复。n相应的对称操作：围绕一根直线的旋转和对此相应的对称操作：围绕一根直线的旋转和对此直线上一
13、个点反伸的复合操作。直线上一个点反伸的复合操作。本讲稿第二十页，共三十四页 例：具有例：具有Li4的四方四面体的四方四面体 Ca本讲稿第二十一页，共三十四页q旋转反伸轴以旋转反伸轴以Lin表示，轴次表示，轴次n可为可为1、2、3、4、6。相。相应的基转角分别为应的基转角分别为360、180、120、90、60。q除除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可用其它简单的对称要外，其余各种旋转反伸轴都可用其它简单的对称要素或它们的组合来代替：素或它们的组合来代替：Li1C；Li2P；Li3L3C；Li6 L3P q应用时，只考虑应用时，只考虑Li4和和Li6。图示符号分别为图示符号分别为“”和和“”。本讲
14、稿第二十二页，共三十四页5、旋转反映轴旋转反映轴（Lsn）n也也是是一一根根假假想想的的直直线线，相相应应的的操操作作为为旋旋转转加加反反映映的的复复合合操操作作。图图形形围围绕绕它它旋旋转转一一定定角角度度后后，并并对对垂垂直直它它的的一一个个平平面面进进行行反反映，可使图形的相等部分重复。映，可使图形的相等部分重复。旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：Ls1PLi2；Ls2CLi1；Ls3 L3P Li6；Ls4Li4；Ls6 L3C Li3 本讲稿第二十三页，共三十四页q综上所述，在晶体的外部形态上可能综上所述，在晶体的外部形态上可能存在而且具
15、有独立意义的对称要素只有存在而且具有独立意义的对称要素只有九种：九种：对称中心：对称中心：C对对 称称 面：面：P对对 称称 轴：轴：L1、L2、L3、L4、L6旋转反伸轴：旋转反伸轴：L4i、L6i本讲稿第二十四页，共三十四页n在结晶多面体中，可以有一个对称要素在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在，也可以有若干对称要素组合单独存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。一起共存。l对称要素的组合服从以下规律：对称要素的组合服从以下规律：三、对称要素的组合三、对称要素的组合本讲稿第二十五页，共三十四页1、定理一定理一：对称面的交线必为一对称轴，其基转角等对称面的交线必为一对称轴，其基转角等于
16、相邻两个对称面夹角的两倍。于相邻两个对称面夹角的两倍。推论推论：如果有一个对如果有一个对称面包含称面包含Ln，则必有，则必有n个对称面同时包含个对称面同时包含Ln。即：即：LnPLnnP本讲稿第二十六页，共三十四页2、定理二定理二：若有一个二次轴若有一个二次轴L2垂直于垂直于Ln，则必有则必有n个个L2垂直于垂直于Ln。即：即：LnL2Lnn L23、定理三定理三：若有一个若有一个P垂直于偶次对称轴垂直于偶次对称轴L2n，交点必，交点必为对称中心为对称中心C。即：即：L2nPL2nPC 推论推论：偶次对称轴和垂直于它的对称面以及对称中心三者偶次对称轴和垂直于它的对称面以及对称中心三者之中，任意
17、两者结合，必可导出第三者。之中，任意两者结合，必可导出第三者。若晶体存在对称中心，偶次对称轴的数目，必等于对若晶体存在对称中心，偶次对称轴的数目，必等于对称面数目，且各自都垂直于一个对称面。称面数目，且各自都垂直于一个对称面。本讲稿第二十七页，共三十四页4、定理四定理四：当当n为奇数时，为奇数时，LniL2或或LniP LninL2nP 当当n为偶数时，为偶数时，LniL2或或LniPLnin/2L2n/2P L3iL2或或L3iP L3i 3L2 3PL4iL2或或L4iP L4i 2L2 2P例例 如：如：本讲稿第二十八页，共三十四页1、定定义义：结结晶晶多多面面体体中中全全部部对对称称要
18、要素素的的组组合合，称称为为该该结晶多面体的对称型。结晶多面体的对称型。由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点（晶体几何中心），在进行对称操作时该点不移动，（晶体几何中心），在进行对称操作时该点不移动，所以对称型也称为所以对称型也称为点群点群。2、对称型的推导对称型的推导 根据结晶多面体中可能存在的对称要素及其组根据结晶多面体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的合规律，推导出晶体中可能出现的对称型共有对称型共有32种。种。四、对称型及其推导四、对称型及其推导本讲稿第二十九页，共三十四页名名称称原始式原始式倒转原倒转原始式始式中心
19、式中心式轴式轴式面式面式倒转倒转面式面式面轴式面轴式n=1L1CL2PL2PCn=2(L2)(L2PC)3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L4 PCL4 4L2L4 4PLi42L22PL4 4L25PCn=6L6Li6L6 PCL66L2L6 6PLi63L23PL6 6L27PC3 L2 4 L33 L2 4 L33PC3 L44 L36 L23 Li4 4L36P3 L44 L36 L29PC晶体的晶体的3232种对称型种对称型本讲稿第三十页，共三十四页晶体是根据其对称特点进行分类的，方法如下：晶体是根据其对称特点进行分类的，方法
20、如下：n1、首首先先，把把属属于于同同一一对对称称型型的的晶晶体体归归为为一一类类，称称为为晶晶类类。共共有有32个晶类个晶类。n2、根根据据对对称称型型中中有有无无高高次次轴轴及及高高次次轴轴的的多多少少，把把32个个对对称称型划分为低、中、高级三个晶族。型划分为低、中、高级三个晶族。低级晶族：无高次轴低级晶族：无高次轴 中级晶族：有且只有一个高次轴中级晶族：有且只有一个高次轴 高级晶族：有多个高次轴高级晶族：有多个高次轴n3、在在每每一一个个晶晶族族中中又又按按照照其其对对称称特特点点共共划划分分为为7个个晶晶系系，即即低低级级晶晶族族有有三三斜斜晶晶系系、单单斜斜晶晶系系和和斜斜方方晶晶
21、系系；中中级级晶晶族族有有四四方方晶晶系系、三三方方晶晶系系和和六六方方晶晶系系；高高级级晶晶族族只只有有一一个个晶晶系系，即即等轴晶系等轴晶系。五、晶体的分类五、晶体的分类晶体分类依据及分类体系见下表晶体分类依据及分类体系见下表本讲稿第三十一页，共三十四页32种对称型及晶体的分类表种对称型及晶体的分类表2/m2/m2/m*下有横线者为较常见的重要对称型下有横线者为较常见的重要对称型本讲稿第三十二页，共三十四页3 2/m*4/m2/m2/m简化为简化为4/mmm*续 表本讲稿第三十三页，共三十四页续 表4/m 3 2/m*6/m2/m2/m简化；*2/m 3 简化*(432)*单复六方双锥晶类偏方复十二面体本讲稿第三十四页，共三十四页