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1、第三节向量的内积与施密特正交化过程本讲稿第一页，共二十三页一一.向量的内积与施密特正交化过程向量的内积与施密特正交化过程引言：在几何空引言：在几何空间间，我，我们们学学过过向量的向量的长长两向量夹角的概念，并由此定义两向量两向量夹角的概念，并由此定义两向量的数量积的数量积利用坐利用坐标标分分别别有下面有下面计计算公式：算公式：设设，（设则则设设本讲稿第二页，共二十三页为了今后应用的需要，将这些概念为了今后应用的需要，将这些概念及公式推广到及公式推广到n维向量。维向量。1.向量的内向量的内积积定定义义1 n维维向量空向量空间间中任两个向量中任两个向量的内的内积积定定义为义为本讲稿第三页，共二十三
2、页并称定义了内积的向量空间为欧氏空间并称定义了内积的向量空间为欧氏空间内内积积具有下列性具有下列性质质：（交（交换换性）性）;k为为数数（性质（性质(2)，(3)称单线性）称单线性）（当且当且仅仅当当。以上以上证证明留明留给读给读者。者。本讲稿第四页，共二十三页定定义义2 设设，称向量称向量的的长长度。度。长长度度为为1的向量称的向量称单单位向量。位向量。，即，即为为一一单单位向量。称将位向量。称将单单位化。位化。设设本讲稿第五页，共二十三页向量的向量的长长度有下列性度有下列性质质：。当且当且仅仅当当；(2).齐齐次性：次性：；(3).三角不等式：三角不等式：以上性以上性质证质证明留明留给读给
3、读者。者。证证略略。(1).非负性：非负性：(4).柯西不等式：柯西不等式：本讲稿第六页，共二十三页由柯西不等式得由柯西不等式得：由此可定由此可定义义两非零向量的两非零向量的夹夹角：角：；或本讲稿第七页，共二十三页对对于两非零向量于两非零向量当当时时，称两向量正交。，称两向量正交。这这里里显显然等价于然等价于又零向量与任何向量看作是正交的，且又零向量与任何向量看作是正交的，且中只要有一个中只要有一个为为零向量，必有零向量，必有因此可利用内因此可利用内积积定定义义两向量正交。两向量正交。称称正交，正交，记记。定义定义3 若若本讲稿第八页，共二十三页因此可利用内因此可利用内积积定定义义两向量正交。
4、两向量正交。定定义义4 设设向量向量组组为为两两正交的非零向量，两两正交的非零向量，称其称其为为正交向量正交向量组组。本讲稿第九页，共二十三页如果正交向量如果正交向量组组中。每个向量中。每个向量还还是是单单位向量位向量量量则则称其称其为标为标准正交向量准正交向量组组或正交或正交规规范向范向量量组组。如它。如它们还们还是向量空是向量空间间的基底的基底则则分分别别称称其其为为正交基或正交基或标标准（准（规规范）正交基。即正交范）正交基。即正交规规范范组组（基）（基）满满足足本讲稿第十页，共二十三页定理定理1 设设为为正交向量正交向量组组，则则是是线线性无关的。性无关的。例例1 求与向量求与向量都正
5、交的向量集。都正交的向量集。都正交的向量都正交的向量为为由由得得齐齐次次线线性方程性方程组组解：设与解：设与本讲稿第十一页，共二十三页即为与即为与解得解得都正交的向量集都正交的向量集本讲稿第十二页，共二十三页2.施密特正交化方法施密特正交化方法是是线线性无关的向量性无关的向量组组，寻寻找一个找一个标标准正交向量准正交向量组组使其与使其与等价。等价。，设设其作法分两步其作法分两步(1).正交化，令正交化，令本讲稿第十三页，共二十三页，本讲稿第十四页，共二十三页是正交规范向量组，且是正交规范向量组，且等价。上述过程称等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化（施密特）正交化过程。（方法）过程。
6、（方法）仍与仍与显然显然(2).单位化（规范化）：取单位化（规范化）：取本讲稿第十五页，共二十三页例例2 设设用用Schmidt正交化正交化过过程将其化程将其化为标为标准正交准正交组组。解：取解：取本讲稿第十六页，共二十三页单单位化得位化得本讲稿第十七页，共二十三页3.正交矩正交矩阵阵与正交与正交变换变换定定义义5方方阵阵A满满足足则则称称A为正交矩阵。由定义不难得到：为正交矩阵。由定义不难得到：A为为正交矩正交矩阵阵。本讲稿第十八页，共二十三页令令由上式不由上式不难难得到：得到：A为正交矩阵为正交矩阵即即A的行（列）向量是两两正交的的行（列）向量是两两正交的单单位向量位向量的正交的正交规规范
7、基）范基）即是即是本讲稿第十九页，共二十三页例例3令令验证验证A为正交矩阵为正交矩阵解：因列向量解：因列向量组为组为两两正交两两正交的的单单位向量，故位向量，故为为正交矩正交矩阵阵。本讲稿第二十页，共二十三页定定义义6 设设则则称称线线性性变换变换是正交是正交变换变换。是正交是正交变换变换。例例4 证明线性变换证明线性变换解：线性变换的矩阵为解：线性变换的矩阵为本讲稿第二十一页，共二十三页其行（列）向量是两两正交的单位向量其行（列）向量是两两正交的单位向量故为正交矩阵，故上述线性变换是正交故为正交矩阵，故上述线性变换是正交变换。上述线性变换代表平面上的一个变换。上述线性变换代表平面上的一个坐标
8、旋转，因此平面上的坐标旋转变换坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换是正交变换是正交变换 下面介绍正交变换的性质：下面介绍正交变换的性质：1）.设设为一正交变换，则为一正交变换，则即正交变换保持向量长度不变。即正交变换保持向量长度不变。2）设）设为一正交变换，对任意为一正交变换，对任意本讲稿第二十二页，共二十三页则则有有即正交即正交变换变换下向量内下向量内积积不不变变。由于正交。由于正交变换变换保持向量保持向量长长度、内度、内积积不不变变，因而保，因而保持两向量持两向量夹夹角及正交性不角及正交性不变变，因此施以，因此施以正交正交变换变换后后图图形的几何形状不形的几何形状不变变，因此，因此可利用正交可利用正交变换变换研究研究图图形的几何性形的几何性质质。本讲稿第二十三页，共二十三页