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1、（第（第3 3课时）课时）勾股定理证明方法汇总勾股定理证明方法汇总勾股定理证明方法汇总勾股定理证明方法汇总 课前自主探究活动课前自主探究活动课前自主探究活动课前自主探究活动方法种方法种类类及及历历史背史背景景验证验证定理的具体定理的具体过过程程知知识识运用及思想方运用及思想方法法探究报告探究报告探究报告探究报告具体的做法是：具体的做法是：具体的做法是：具体的做法是：请请请请各各各各个个个个学学学学习习习习小小小小组组组组从从从从网网网网络络络络或或或或书书书书籍籍籍籍上上上上，尽尽尽尽可可可可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法能多地寻找和了解验证勾股定理的方法能多地寻找和了解验证勾股定理的方法
2、能多地寻找和了解验证勾股定理的方法.验证过程的分析与欣赏验证过程的分析与欣赏验证过程的分析与欣赏验证过程的分析与欣赏 第第第第一一一一种种种种类类类类型型型型：以以以以赵赵赵赵爽爽爽爽的的的的“弦弦弦弦图图图图”为为为为代代代代表表表表，用用用用几几几几何何何何图图图图形形形形的的的的截截截截、割割割割、拼拼拼拼、补补补补，来来来来证证证证明明明明代代代代数数数数式式式式之之之之间间间间的的的的恒恒恒恒等关系等关系等关系等关系;第第第第二二二二种种种种类类类类型型型型：以以以以欧欧欧欧几几几几里里里里得得得得的的的的证证证证明明明明方方方方法法法法为为为为代代代代表表表表，运运运运用欧氏几何的
3、基本定理进行证明用欧氏几何的基本定理进行证明用欧氏几何的基本定理进行证明用欧氏几何的基本定理进行证明;第第第第三三三三种种种种类类类类型型型型：以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，“无字证明无字证明无字证明无字证明”.问题思考问题思考问题思考问题思考 运用了哪些数学知识？运用了哪些数学知识？运用了哪些数学知识？运用了哪些数学知识？体现了哪些数学思想方法？体现了哪些数学思想方法？体现了哪些数学思想方法？体现了哪些数学思想方法？这这这这种种种种方方方方法法法法与与与与其其其其他他他他方方方方法法法法比比比比较较较较，有有有有什什什什
4、么么么么共同点和不同点？共同点和不同点？共同点和不同点？共同点和不同点？对某一验证方法对某一验证方法对某一验证方法对某一验证方法三种类型：三种类型：第第第第一一一一种种种种类类类类型型型型：以以以以赵赵赵赵爽爽爽爽的的的的“弦弦弦弦图图图图”为为为为代代代代表表表表，用用用用几几几几何何何何图图图图形形形形的的的的截截截截、割割割割、拼拼拼拼、补补补补，来来来来证证证证明明明明代代代代数数数数式式式式之之之之间间间间的的的的恒恒恒恒等等等等关关关关系系系系。体体体体现现现现了了了了以以以以形形形形证证证证数数数数、形形形形数统一、代数和几何的紧密结合数统一、代数和几何的紧密结合数统一、代数和几
5、何的紧密结合数统一、代数和几何的紧密结合 .第第第第二二二二种种种种类类类类型型型型：以以以以欧欧欧欧几几几几里里里里得得得得的的的的证证证证明明明明方方方方法法法法为为为为代代代代表表表表，运运运运用用用用欧欧欧欧氏氏氏氏几几几几何何何何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义.第第第第三三三三种种种种类类类类型型型型：以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，证证证证明明明明不不不不需需需需用用用
6、用任任任任何何何何数数数数学学学学符符符符号号号号和和和和文文文文字字字字，更更更更不不不不需需需需进进进进行行行行运运运运算算算算，隐隐隐隐含含含含在在在在图图图图中中中中的的的的勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理便便便便清清清清晰晰晰晰地地地地呈呈呈呈现现现现，整整整整个个个个证证证证明明明明单单单单靠靠靠靠移移移移动动动动几几几几块块块块图图图图形形形形而而而而得得得得出出出出，被被被被称称称称为为为为“无无无无字字字字证证证证明明明明”.方方方方法法法法一一一一:三三三三国国国国时时时时期期期期吴吴吴吴国国国国数数数数学学学学家家家家赵赵赵赵爽爽爽爽在在在在为为为为周周周周髀髀髀髀算算算
7、算经经经经作作作作注注注注解解解解时时时时，创创创创制制制制了了了了一一一一幅幅幅幅“勾勾勾勾股股股股圆圆圆圆方方方方图图图图”，也也也也称称称称为为为为“弦弦弦弦图图图图”，这是我国对勾股定理最早的证明这是我国对勾股定理最早的证明这是我国对勾股定理最早的证明这是我国对勾股定理最早的证明.2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的是经过艺术处理的“弦图弦图”，标志着中国古代数学成就，标志着中国古代数学成就.第一种类型：第一种类型：第一种类型：第一种类型：cb a由面积计算由面积计算,得得展开展开,得得化简化简
8、,得得aabbcc方方方方法法法法二二二二:美美美美国国国国第第第第二二二二十十十十任任任任总总总总统统统统伽伽伽伽菲菲菲菲尔尔尔尔德德德德的的的的证证证证法法法法，被被被被称称称称为为为为“总总总总统证法统证法统证法统证法”.如如如如图图图图，梯梯梯梯形形形形由由由由三三三三个个个个直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形组组组组合合合合而而而而成成成成，利利利利用用用用面面面面积积积积公公公公式式式式，列列列列出出出出代代代代数数数数关关关关系系系系式式式式,得得得得化简化简化简化简,得得得得第一种类型：第一种类型：第一种类型：第一种类型：据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传
9、是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。将将将将4 4个个个个全全全全等等等等的的的的直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形拼拼拼拼成成成成边边边边长长长长为为为为(a(ab)b)的的的的正正正正方方方方形形形形ABCDABCD，使使使使中中中中间间间间留留留留下下下下边边边边长长长长c c的的的的一一一一个个个个正正正正方方方方形形形形洞洞洞洞画画画画出出出出正正正正方方方方形形形形ABCDABCD移移移移动动动动三三三三角角角角形形形形至至至至图图图图2 2所所所所示示示示的的的的位位位位置置置
10、置中中中中，于于于于是是是是留留留留下下下下了了了了边边边边长长长长分分分分别别别别为为为为a a与与与与b b的的的的两两两两个个个个正正正正方方方方形形形形洞洞洞洞则则则则图图图图1 1和和和和图图图图2 2中中中中的的的的白白白白色色色色部部部部分分分分面面面面积积积积必必必必定定定定相相相相等，所以等，所以等，所以等，所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2图图1图图2方法三方法三方法三方法三第一种类型：第一种类型：第一种类型：第一种类型：第第第第二二二二种种种种类类类类型型型型：以以以以欧欧欧欧几几几几里里里里得得得得的的的的证证证证明明明明方方方方法法法法为为为为代代代代表表表
11、表，运运运运用用用用欧欧欧欧氏氏氏氏几几几几何何何何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。如图，过如图，过如图，过如图，过 A A 点画一直线点画一直线点画一直线点画一直线 AL AL 使其垂直于使其垂直于使其垂直于使其垂直于 DEDE，并交并交并交并交 DE DE 于于于于 L L，交交交交 BC BC 于于于于 MM。通过证通过证通过证通过证明明明明BCFBCFBDABDA，利用三利用三利用三利用三角形面积与长方形面积的关角形面积与长方形面积的关
12、角形面积与长方形面积的关角形面积与长方形面积的关系，得到正方形系，得到正方形系，得到正方形系，得到正方形ABFGABFG与矩与矩与矩与矩形形形形BDLMBDLM等积，同理正方形等积，同理正方形等积，同理正方形等积，同理正方形ACKHACKH与与与与 矩形矩形矩形矩形MLECMLEC也等积，也等积，也等积，也等积，于是推得于是推得于是推得于是推得第第第第二二二二种种种种类类类类型型型型：以以以以欧欧欧欧几几几几里里里里得得得得的的的的证证证证明明明明方方方方法法法法为为为为代代代代表表表表，运运运运用用用用欧欧欧欧氏氏氏氏几几几几何何何何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进
13、行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。第第第第三三三三种种种种类类类类型型型型：以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，证证证证明明明明不不不不需需需需用用用用任任任任何何何何数数数数学学学学符符符符号号号号和和和和文文文文字字字字，更更更更不不不不需需需需进进进进行行行行运运运运算算算算，隐隐隐隐含含含含在在在在图图图图中中中中的的的的勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理便便便便清清清清晰晰晰晰地地地地呈呈呈呈现现现现，整整整整个个个个证证证证明明
14、明明单单单单靠靠靠靠移移移移动动动动几几几几块块块块图图图图形形形形而而而而得得得得出出出出，被被被被称称称称为为为为“无无无无字字字字证证证证明明明明”。约公元约公元263年，三国时代魏国的数学家年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍刘徽为古籍九章算术九章算术作注释时，用作注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股定理。证明了勾股定理。abc无字证明无字证明无字证明无字证明第第第第三三三三种种种种类类类类型型型型：以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，证证证证明明明明不不不不需需需需用用用用任任任任何何何何数数数数学学学学符符符符
15、号号号号和和和和文文文文字字字字，更更更更不不不不需需需需进进进进行行行行运运运运算算算算，隐隐隐隐含含含含在在在在图图图图中中中中的的的的勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理便便便便清清清清晰晰晰晰地地地地呈呈呈呈现现现现，整整整整个个个个证证证证明明明明单单单单靠靠靠靠移移移移动动动动几几几几块块块块图图图图形形形形而而而而得得得得出出出出，被被被被称称称称为为为为“无无无无字字字字证证证证明明明明”。做做做做法法法法是是是是将将将将一一一一条条条条垂垂垂垂直直直直线线线线和和和和一一一一条条条条水水水水平平平平线线线线，将将将将较较较较大大大大直直直直角角角角边边边边的的的的正正正正方方方方
16、形形形形分分分分成成成成 4 4 4 4 分分分分。之之之之后后后后依依依依照照照照图图图图中中中中的的的的颜颜颜颜色色色色,将将将将两两两两个个个个直直直直角角角角边边边边的的的的正正正正方方方方形形形形填填填填入入入入斜斜斜斜边边边边正正正正方方方方形形形形之之之之中，便可完成定理的证明。中，便可完成定理的证明。中，便可完成定理的证明。中，便可完成定理的证明。单击图片打开单击图片打开第第第第三三三三种种种种类类类类型型型型：在在在在印印印印度度度度、在在在在阿阿阿阿拉拉拉拉伯伯伯伯世世世世界界界界和和和和欧欧欧欧洲洲洲洲出出出出现现现现的一种拼图证明的一种拼图证明的一种拼图证明的一种拼图证
17、明abcABCDEFO方方方方法法法法三三三三:意意意意大大大大利利利利文文文文艺艺艺艺复复复复兴兴兴兴时时时时代代代代的的的的著著著著名名名名画画画画家家家家达达达达芬芬芬芬奇奇奇奇对对对对勾勾勾勾股股股股定理进行了研究。定理进行了研究。定理进行了研究。定理进行了研究。第三种类型：第三种类型：第三种类型：第三种类型：AaBCbDEFOABCDEF五巧板的制五巧板的制作作ABCEDFGHIabc 尝试拼图尝试拼图尝试拼图尝试拼图,验证勾股定理验证勾股定理验证勾股定理验证勾股定理bcaabc这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结这种证
18、明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。合的思想方法。合的思想方法。合的思想方法。bc利用利用利用利用五巧板五巧板五巧板五巧板拼图拼图拼图拼图验证验证验证验证勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理:练习提升练习提升练习提升练习提升2.2.2.一个直角三角形的斜边为一个直角三角形的斜边为一个直角三角形的斜边为一个直角三角形的斜边为一个直角三角形的斜边为一个直角三角形的斜边为20cm,20cm,20cm,且两直角边且两直角边且两直角边且两直角边且两直角边且两直角边长度比为长度比为长度比为长度比为长度比为长度比为3:43:43:4，求两直
19、角边的长。，求两直角边的长。，求两直角边的长。，求两直角边的长。，求两直角边的长。，求两直角边的长。1.1.1.议一议议一议议一议议一议议一议议一议:观察下图观察下图观察下图观察下图观察下图观察下图,用数格子的方法判断图中用数格子的方法判断图中用数格子的方法判断图中用数格子的方法判断图中用数格子的方法判断图中用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足三角形的三边长是否满足三角形的三边长是否满足三角形的三边长是否满足三角形的三边长是否满足三角形的三边长是否满足a a a2 22+b+b+b2 22=c=c=c2 22 勾股定理的文化价值勾股定理的文化价值勾股定理的文化价值勾股定理的文化价值(1
20、)(1)(1)(1)勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。(2)(2)(2)(2)勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙有文明的宇宙有文明的宇宙有文明的宇宙“人人人人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人外星人外星人外星人”联系的信号。联系的信号。联系的信号。联系的
21、信号。(3)(3)(3)(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。(4)(4)(4)(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。程序树立了一个范式。程序树立了一个范式。程序树立了一个范式。小结反思小结反思小结反思小结反思我最大的收获；我最大的收获；我表现较好的方面；我表
22、现较好的方面；我学会了哪些知识；我学会了哪些知识；我还有哪些疑惑我还有哪些疑惑学生反思：学生反思：（1 1 1 1）写写写写数数数数学学学学日日日日记记记记并并并并发发发发挥挥挥挥你你你你的的的的聪聪聪聪明明明明才才才才智智智智，去去去去探探探探索索索索勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理、去去去去研研研研究究究究勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理，你你你你又又又又有有有有什什什什么么么么新新新新的的的的发发发发现现现现？（2 2 2 2）尝尝尝尝试试试试利利利利用用用用意意意意大大大大利利利利著著著著名名名名画画画画家家家家达达达达芬奇的方法验证勾股定理？芬奇的方法验证勾股定理？芬奇的方法验证勾股定理？芬奇的方法验证勾股定理？课题拓展课题拓展课题拓展课题拓展