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1、第五章第五章 一元一次方程一元一次方程 初中数学（北师大版）初中数学（北师大版）七年级 上册第五章一元一次方程知识点一知识点一一元一次方程的有关概念一元一次方程的有关概念1.方程的定义含有未知数的等式叫做方程.方程是表达数量之间相等关系的“天平”,因此,方程首先是等式,但它又是特殊的等式,是含有未知数的等式.2.方程的解使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,判断一个数是不是方程的解,可以将这个数代入方程验证,只要左、右两边的值相等就是该方程的解.3.一元一次方程例例1下列各式是一元一次方程的是(只填序号).(1)S=ab;(2)x-y=0;(3)x=0;(4)=1;(5)3-1=
2、2;(6)4y-5=1;(7)2x2+2x+1=0;(8)x+2.解析解析(5)中不含未知数,所以不是一元一次方程;(7)中未知数的最高次数是2,所以不是一元一次方程;(1)与(2)中含有的未知数不是一个,也不是一元一次方程;(8)虽然形式上字母的个数是一个,但它不是等式,所以也不是一元一次方程;(4)中分母中含有未知数,不是一元一次方程;只有(3)、(6)符合一元一次方程的概念,所以它们是一元一次方程.答案答案(3)(6)例例2检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解.(1)3x-1=2(x+1)-4(x=-1);(2)-1=3(x-2).解析解析(1)当x=-1时,3x-1=3(-1)-1
3、=-4,2(x+1)-4=2(-1)+1-4=-4,此时等号左右两边相等,故x=-1是方程3x-1=2(x+1)-4的解.(2)当x=时,-1=-2,3(x-2)=-5,此时等号左右两边不相等,故x=不是方程-1=3(x-2)的解.知识点二知识点二根据实际问题列方程根据实际问题列方程根据实际问题列简易方程的步骤(1)设未知数:一般问什么设什么,有时也可根据题意间接设未知数;(2)找关系:找到能够反映应用题全部含义的相等关系;(3)列方程:分析题目中已知量和未知量之间的关系,列出相关代数式,用相关代数式代替等式左右两边,就可以列出方程.例例3在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多数是13岁,就
4、问同学们:“我今年45岁,几年后你们的年龄是我年龄的三分之一?你们能列出方程吗?”解析解析设x年后,同学们的年龄是张老师年龄的,易知x年后,张老师(45+x)岁,同学们(13+x)岁,根据题意,可列出方程:13+x=(45+x).知识点三知识点三等式的基本性质等式的基本性质特别提醒特别提醒(1)在“等式两边都加上(或减去)同一个整式,所得结果仍是等式”中,整式可以是单项式也可以是多项式.(2)在运用等式的基本性质2进行等式变形时,除数不能等于0.例如:若a=b,则=是错误的;反过来,若=,则a=b是正确的.例例4根据等式的基本性质填空.(1)如果x=5,那么x=,根据;(2)如果x-2=-3,
5、那么x=,根据.解析解析(1)根据等式的基本性质2,等式两边同乘2,得x=10.(2)根据等式的基本性质1,两边同加上2,得x=-1.答案答案(1)10;等式的基本性质2;(2)-1;等式的基本性质1题型一根据一元一次方程的定义求字母的值例例1已知(2-k)x|k-1|-21=3是关于x的一元一次方程,求k的值.解析解析因为(2-k)x|k-1|-21=3是关于x的一元一次方程,所以|k-1|=1且2-k0.由|k-1|=1,得k-1=1或k-1=-1,解得k=2或k=0.由2-k0,得k2.综上,k=0.点拨点拨在一元一次方程中,如果未知数的指数或系数中含有某个字母,那么根据一元一次方程中未
6、知数的指数等于1或未知数的系数不等于0可以求得这个字母的值或取值范围.题型二根据一元一次方程的解求值例例2已知关于x的方程3a-x=+3的解是x=4,求a2-2a的值.分析由方程的解的意义可知x=4必使方程左右两边相等,可把x=4代入方程3a-x=+3,得到关于a的方程,从而求出a的值,进而求得a2-2a的值.解析解析把x=4代入方程3a-x=+3,得3a-4=+3,即3a-4=5,解得a=3.当a=3时,a2-2a=32-23=3.点拨点拨已知方程的解,求待定字母的值的方法:根据方程的解的定义把方程的解代入方程,得到一个关于字母的方程,再解这个关于字母的方程,从而求出字母的值.易错点一对一元
7、一次方程的定义理解不透彻例例1下列方程:x+2y=3;+2x=5;=y+1;x=1;x2+5=2;x-2=0,是一元一次方程的是(填序号).错解错解正解正解错因分析错因分析选是因为忽略了定义中的“整式方程”,丢掉是因为只把“x=1”看做了方程的解.易错点二利用等式的基本性质2时,忽略除数不为0的条件例例2下列说法中,正确的个数是()若mx=my,则mx-my=0;若mx=my,则x=y;若mx=my,则mx+my=2my;若x=y,则mx=my.A.1B.2C.3D.4错解错解D正解正解C错因分析错因分析容易认为m是非零的数而错误地以为是正确的,从而错选D.其实没有限制m,当m=0时,不能由m
8、x=my得到x=y.知识点一知识点一一元一次方程的有关概念一元一次方程的有关概念1.下列式子是一元一次方程的是()A.x+3=y+2B.x+3=3-xC.=1D.x2-1=0答案答案B选项A,含有两个未知数,不是一元一次方程;选项B,符合一元一次方程的定义;选项C,分母中含有未知数,不是一元一次方程;选项D,未知数的次数是2,不是一元一次方程.故选B.2.如果方程(m-1)x+2=0是关于x的一元一次方程,那么m的取值范围是()A.m0B.m1C.m=-1D.m=0答案答案B一元一次方程中未知数的系数不能为零.3.下列方程中的解是的方程是()A.6x+1=1B.7x-1=x-1C.2x=D.5
9、x=x+2答案答案C当x=时,只有C选项的方程左、右两边的值相等,故选C.知识点二知识点二根据实际问题列方程根据实际问题列方程4.吴颖买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是()A.x+5(12-x)=48B.x+5(x-12)=48C.x+12(x-5)=48D.5x+(12-x)=48答案答案A因为用了1元的纸币x张,所以用了5元的纸币(12-x)张,故可列方程为x+5(12-x)=48.故选A.5.张明的妈妈今年44岁,她的年龄比张明年龄的3倍还大2岁,设张明今年x岁,则可列方程为.答案答案3x+2=44解析解析根据
10、题意得张明年龄的3倍+2=妈妈的年龄.故填3x+2=44.知识点三知识点三等式的基本性质等式的基本性质6.下列等式变形错误的是()A.若x-1=3,则x=4B.若x+1=x,则x+1=2xC.若x=y,则x-3=y-3D.若a=b,则3a=3b答案答案BB项中x+1=x,根据等式的基本性质2,两边同乘2,可得x+2=2x,故B选项错误,故选B.7.(1)如果-=,那么x=,根据;(2)如果-2x=2y,那么x=,根据;(3)如果x=4,那么x=,根据;(4)如果x=3x+2,那么x-=2,根据.答案答案(1)-2y;等式的基本性质2,两边同时乘-10(2)-y;等式的基本性质2,两边同时除以-
11、2(3)6;等式的基本性质2,两边同时乘(4)3x;等式的基本性质1,两边同时减去3x1.下列式子是一元一次方程的有()x=3;x+y=6;x2+3x=1;=-2;x=;2x-3;x-7=10.A.3个B.4个个C.5个D.6个答案答案A根据一元一次方程的定义知是一元一次方程,故选A.2.下列方程中,解是x=2的方程是()A.x=2B.-x+=0C.3x+6=0D.5-3x=1答案答案B将x=2代入各选项,只有B选项两边相等,故x=2是-x+=0的解,故选B.3.根据下列条件可列出一元一次方程的是()A.a与1的和的3倍B.甲数的2倍与乙数的3倍的和C.a与b差的20%D.一个数的3倍是5答案
12、答案DD选项,设这个数为x,则3x=5.4.下列变形符合等式的基本性质的是()A.如果2x-3=-7,那么2x=7-3B.如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2C.如果-2x=5,那么x=5+2D.如果-x=1,那么x=-3答案答案D将-x=1的两边同乘-3,得(-3)=(-3)1,即x=-3.5.根据下列题干设未知数列方程,并判断它是不是一元一次方程.(1)从60cm的木条上截去2段同样长的木条,还剩下10cm长的木条,截下的每段木条的长为多少厘米?(2)小红对小敏说:“我是6月份出生的,我的年龄的2倍加上10,正好是我出生的那个月的总天数,你猜我几岁?”解析解析(1)设截下的每段木条的
13、长为xcm,由题意得60-2x=10,是一元一次方程.(2)设小红的年龄为x岁,由题意得2x+10=30,是一元一次方程.1.若(m-2)x|2m-3|=6是一元一次方程,则m等于()A.1B.2C.1或2D.任意数答案答案A根据一元一次方程的概念可知,m-20,2m-3=1或-1,解得m=1.2.若x=1是方程2x-a=0的解,则2a=()A.1B.-1C.4D.-4答案答案C将x=1代入方程得21-a=0,即2-a=0,所以a=2,所以2a=4.故选C.3.如图5-1-1,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2kg的砝码,此时天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是()图5-1-1A.1k
14、gB.2kgC.3kgD.4kg答案答案D由天平平衡得2kg+半块砖的质量=一块砖的质量.设半块砖的质量为mkg,则2+m=2m=m+m.由等式的基本性质1,得2=m,即m=2,故一块砖的质量是4kg.故选D.4.根据下列问题,设未知数并列出方程.(1)小丽从出版社邮购3本一样的书,包括邮费的总价为37.5元,如果每本书的邮费是2元,那么每本书的价格是多少元?(2)春运期间,汽车票价上浮20%,小明从南京去上海的票价是84元,求原来的票价;(3)有A、B两袋大米,A袋大米重50千克,它的比B袋的70%少8千克,B袋有多少千克大米?解析解析(1)设每本书的价格是x元,则3x+32=37.5.(2
15、)设原来的票价为x元,则x+20%x=84.(3)设B袋有x千克大米,则50+8=70%x.1.下列根据等式的基本性质变形正确的有()若a=b,则ac=bc;若ac=bc,则a=b;若a=b,则=;若=,则a=b;若a=b,则=.A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案C根据等式的基本性质2,在等式a=b的两边同时乘c,等式仍成立,正确;当c=0时,a=b不一定成立,错误;当c=0时,此变形错误;根据等式的基本性质2,等式=的两边同时乘c,等式仍成立,正确;因为c2+10,所以在等式a=b的两边同时除以c2+1,等式仍成立,正确.故选C.2.已知由-x=6可得x=-24,下列变形方法:方程两边
16、同乘-;方程两边同乘-4;方程两边同除以-;方程两边同除以-4.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案B因为1;(-4)=1,且6(-4)=-24;=1,且6=-24;41,所以正确,错误.3.关于x的方程(k+1)x2+kx-2=0是一元一次方程,则k=,方程的解是.答案答案-1;-2解析解析由方程(k+1)x2+kx-2=0是一元一次方程得二次项系数k+1=0,即k=-1,代入方程得-x-2=0,即x=-2.4.若x=4是方程2x-4=4x+a的解,求a2+a的值.解析解析将x=4代入方程2x-4=4x+a,得24-4=44+a,解得a=-12.当a=-12时,a2+a=
17、(-12)2+(-12)=48-=46.选择题1.(2018山西农大附中第三次月考,2,)下列四个式子中,是一元一次方程的是()A.x-2y=0B.+1=0C.x2+x=5D.=3答案答案DA选项中含有两个未知数,B选项中等式的左边不是整式,C选项中x的最高次数是2,因此A、B、C选项中的方程均不是一元一次方程.2.(2018河北保定莲池期末,8,)方程(a-2)x|a|-1+3=0是关于x的一元一次方程,则a=()A.2B.-2C.1D.2答案答案B由一元一次方程的定义得|a|-1=1且a-20,解得a=2且a2,所以a=-2.3.(2017山东滕州期末,7,)如果x=y,a为有理数,那么下
18、列等式不一定成立的是()A.1-y=1-xB.x2=y2C.=D.ax=ay答案答案C由等式的基本性质知A选项成立.由等式的基本性质2得B、D选项成立.因为没有a0的条件,故C选项不一定成立.1.(2018河南郑州实验学校第二次月考,6,)下列方程的解是x=2的是()A.4x+8=0B.-x+=0C.x=2D.1-3x=5答案答案B将x=2代入各选项验证等式左右两边是否相等.2.(2017陕西西安莲湖期末,15,)若x=2是方程ax+3bx-10=0的解,则3a+9b的值为.答案答案15解析解析将x=2代入方程ax+3bx-10=0,得2a+6b-10=0,即2a+6b=10,两边同除以2得a
19、+3b=5.则3a+9b=3(a+3b)=35=15.3.(2017辽宁葫芦岛建昌二中月考,21,)用方程描述下列实际问题中各数量之间的相等关系.(1)七年级某班为希望工程共捐款159元,比平均每人捐3元多24元.这个班的学生有多少人?(2)某市出租车的收费标准是:起步价为8元,路程3千米内(含3千米)按起步价收费,超过3千米后,每千米加收2元,某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元.求甲、乙两地的路程.解析解析(1)设这个班的学生有x人,根据题意可列方程为3x+24=159.(2)因为16元8元,所以甲、乙两地的路程大于3千米.设甲、乙两地的路程为x千米.根据题意可列方程为8+2(x-3)=1
20、6.一、选择题1.(2017甘肃兰州中考,1,)已知2x=3y(y0),则下列结论成立的是()A.=B.=C.=D.=答案答案A在等式左右两边同时除以2y(y0),可得=,故选A.2.(2016辽宁大连中考,3,)方程2x+3=7的解是()A.x=5B.x=4C.x=3.5D.x=2答案答案D利用等式的基本性质1.两边同减去3得2x=4,再利用等式的基本性质2.两边同除以2得x=2.二、填空题3.(2015四川甘孜州中考,22,)已知关于x的方程3a-x=+3的解为2,则代数式a2-2a+1的值是.答案答案1解析解析因为关于x的方程3a-x=+3的解为2,所以3a-2=+3,即3a=6,两边同
21、除以3,得a=2,所以a2-2a+1=4-4+1=1.1.(2017浙江杭州中考改编,5,)有三个数x,y,c,下列说法正确的是()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则=D.若=,则2x=3y答案答案B当c0时,A不成立;无论c取何值,B都成立;当c=0时,C不成立;若=,则3x=2y,故D不成立.此题选B.2.(2014云南曲靖中考,4,)某工厂采取节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电量减少2000度,全年用电15万度,如果设上半年每月平均用电x度,则所列方程正确的是()A.6x+6(x-2000)=150000B.6x+6(x+2000)=150
22、000C.6x+6(x-2000)=15D.6x+6(x+2000)=15答案答案A上半年每月平均用电x度,那么下半年每月平均用电(x-2000)度,由题意得6x+6(x-2000)=150000,故选A.1.某通讯公司推出两种手机付费方式:甲种方式不交月租费,每通话1分钟付费0.15元;乙种方式需交18元月租费,每通话1分钟付费0.10元.两种方式不足1分钟均按1分钟计算.(1)如果一个月通话x分钟,那么用甲种方式应付话费多少元?用乙种方式应付话费多少元?(2)如果求一个月通话多少分钟时两种方式的费用相同,可以列出一个怎样的方程?它是一元一次方程吗?解析解析(1)甲种方式应付话费0.15x元
23、,乙种方式应付话费(18+0.10 x)元.(2)0.15x=18+0.10 x,是一元一次方程.2.a、b、c三个物体的质量关系如图5-1-2所示:图5-1-2回答下列问题:(1)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重?(2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?解析解析(1)根据题图知2a=3b,2b=3c.则a=b,b=c,进而有a=c,因为ccc,所以abc,所以a、b、c三个物体就单个而言,a最重.(2)由(1)知a=c,即4a=9c,所以若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,则天平两边至少应该分别放4个
24、物体a和9个物体c.小明设计了一个问题,分三步完成:(1)已知关于x的一元一次方程(a-2)x|a|-1+8=0,求a的值,并在数轴上标注a与x2对应的点,分别记作A、B;(2)在(1)的条件下,在数轴上另有一点C对应的数为y,C与A的距离是C与B的距离的5倍,且C在A、B两点之间,求y的值;(3)请结合(1)(2)提供的条件和图,在图中的9个方格内填上恰当的数,使每一行、每一列、每条斜对角线上的三个数的和都相等.x2ya图图解析解析(1)由一元一次方程的定义得,|a|-1=1,a-20,所以a=-2,则关于x的一元一次方程为-4x+8=0,两边同时加上4x,得8=4x,再两边同时除以4,得x=2,则x2=4,故A表示的数为-2,B表示的数为4.在数轴上表示如图所示:(2)依题意有y-(-2)=5(4-y),即y+2=20-5y,由等式的基本性质得y=3.(3)设最下面一行中间位置的数为m,则最下面一行的和为m+1,则由斜对角线上的数的和及每列数的和为m+1,可得最上面一行方格内的数从左到右依次为m-1,-3,m-6,如图a.依题意有m-1-3+m-6=m+1,即2m-10=m+1,得m=11.完成方格如图b所示.m-1-3m-643m-210-35-149311-2图a图b