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1、 2.9 2.9函数模型及其应用函数模型及其应用教教材材研研读读3.3.解函数应用题的步骤解函数应用题的步骤(四步八字四步八字)1.1.几种常见的函数模型几种常见的函数模型2.2.三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质考考点点突突破破考点一考点一 函数模型的选择函数模型的选择考点二考点二 函数模型应用函数模型应用考点三考点三 构建数模型解决实际问题构建数模型解决实际问题1 1.几种常见的函数模型几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a0)反比例函数模型f(x)=(k为常数且k0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,
2、c为常数,且a0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,且a0)教材研读教材研读2.2.三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行取决于值值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxxax3.3.解函数应用题的步骤解函数应用题的步
3、骤(四步八字四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:4.解函数应用题的关键是建立数学模型,要顺利地建立数学模型,重点要过好三关:(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数量关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,用已有数学知识进
4、行检验,从而认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.1.有一组实验数据,如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是(C)A.v=log2tB.v=2t-2C.v=D.v=2t-2解析解析采用排除法.当t=4时,v=log2t=log24=2,但题表中的v值是7.5,相差很大,排除A;当t=4时,v=2t-2=24-2=14,与7.5相差太大,排除B;当t=4时,v=2t-2=24-2=6,与7.5相差也太大,排除D.故选C.2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次
5、上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B)A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析解析设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a1.1n元,又经历n次跌停后的价格为a1.1n(1-10%)n=a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99na元0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,问:它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中飞行物?请说明理由
6、.解析解析(1)在y=kx-(1+k2)x2(k0)中,令y=0,得kx-(1+k2)x2=0.由实际意义和题设条件知x0,k0,解以上关于x的方程得x=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程是10千米.(2)因为a0,所以炮弹可以击中目标存在k0,得ka-(1+k2)a2=3.2成立关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,得解得0a6.所以当a不超过6千米时,炮弹可以击中飞行物.规律方法规律方法已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型,分清自变量与函数表达式的实际意义,注意单位名称,并注意相关量之间的关系.(2)根据实际问题的需求,研究函
7、数的单调性、最值等,从而得出实际问题的变化趋势和最优问题.(3)最后回归问题的结论.2-1某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为19kg.解析解析由图象可求得一次函数的解析式为y=30 x-570,令30 x-570=0,解得x=19.2-2(2018金华模拟)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,tmin后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析解析当t=8时,y=ae-8b=
8、a,e-8b=,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,ae-bt=a,则e-bt=(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.典例典例3(2017江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan=.构建函数模型解决实际
9、问题构建函数模型解决实际问题命题方向一一次函数与二次函数模型命题方向一一次函数与二次函数模型(1)若设计AB=18米,AD=6米,问:能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中取3)解析解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9.设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b=(舍).故太阳光线所在直线方程为y=-x+24,令x=30,得y=,即EG=1.5米
10、2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.解法一:设太阳光线所在直线方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-r(舍),故太阳光线所在直线方程为y=-x+h+2r,令x=30,得y=2r+h-,由y,得h25-2r,所以S=2rh+r2=2rh+r22r(25-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250250,当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐标为(30,2.
11、5),设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y-=-(x-30),即3x+4y-100=0.由直线l1与半圆H相切,得r=.而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-1000,即r=-,从而h=25-2r.S=2rh+r2=2r(25-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250250,当且仅当r=10时取等号,所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.方法指导方法指导一次函数与二次函数模型问题的解决方法(1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升或直线下降,构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解
12、.(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.对二次函数模型,一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决.注意注意:在解决一次函数、二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.3-1如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15m,AC=25m,BCM=30,则tan的最大值是.(仰角为直线AP与平面ABC所成角)解析解析过点P作PNBC于N,连接AN,则PAN=,如图.设PN=xm,由BCM=30,得CN=xm.
13、在直角ABC中,AB=15m,AC=25m,则BC=20m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-40 x+625,故tan2=.当=时,tan2取最大值,即当x=时,tan取最大值.典例典例4国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为(C)A.2800元B.3000元C.3800元D.3818元命题方向二分段函数模型命题方向二分段函数模型解析解析由题意知,纳税额y(元)与稿费x(元)之间
14、的函数关系式为y=令0.14(x-800)=420,解得x=3800,令0.112x=420,得x=3750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.方法指导方法指导分段函数模型问题的两点注意(1)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得出最大值、最小值.3-2经市场调查,某旅游城市在过去的一个月(30天)内,日旅游人数f(t)(单位:万人)与时间t(单位:天)近似满足函数关系f(t)=4+,人均消费g(t)(单位:元)与时间t近似满足函数关系g(t)=115-|t-15
15、|,则该城市在过去一个月内旅游日收益的最小值为万元.解析解析设该城市在过去一个月内旅游日收益为(t)(单位:万元),由题意知,(t)=(tN*),当1t15时,(t)=(t+100)=4+40142+401=441,当且仅当t=,即t=5时取等号;当15t30时,(t)=(130-t)=519+,此时(t)单调递减,所以当t=30时,(t)取得最小值,又0且b1)或y=alogb(cx+d)(b0且b1)的函数模型之后,通常利用指数函数或对数函数的性质及图象来处理.3-3我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量
16、的大小可由如下公式计算:=10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的(C)A.倍B.10倍C.10倍D.ln解析解析由=10lg得I=I01,所以I1=I0107,I2=I0106,所以=10,所以70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的10倍,故选C.典例典例6(2019镇海中学月考)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子商品需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x;在年产量不小于8万件时,W(x)
17、=6x+-38.每件商品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)命题方向四函数命题方向四函数y=x+(a0)模型模型(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?解析解析(1)因为每件商品售价为5元,所以x万件商品销售收入为5x万元.依题意得,当0 x8时,L(x)=5x-3=-x2+4x-3;当x8时,L(x)=5x-3=35-.所以L(x)=(2)当0 x8时,L(x)=-(x-6)2+9,当x=6时,L(x)取得最大值,L(6)=9.当x8时,L(x)=35-35-2=35-20=15.当且仅当x=,即x=10时,L(x)取得最大值15.因为915,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.方法技巧方法技巧应用对勾函数模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=“相加”而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有时则是将所列函数关系式转化为含“ax+”的形式.(3)利用模型f(x)=ax+求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时的条件.