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1、第2章 计算机控制系统的理论基础2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.2 线性连续系统线性连续系统2.3 线性离散系统线性离散系统2.4连续控制系统的分析与设计连续控制系统的分析与设计 1/9/20232.1控制系统的数学模型v控制系统的数学模型：描述系统内部各控制系统的数学模型：描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。变量之间关系的数学表达式。v在静态条件下在静态条件下(变量的各阶导数为零变量的各阶导数为零)静态模型静态模型v在动态过程中在动态过程中,各变量关系用微分方程表各变量关系用微分方程表示示动态模型动态模型1/9/2023控制系统的动态数学模型v线性微分方程的系数是常数线性
2、微分方程的系数是常数线性定常线性定常系统系统v线性微分方程的系数是时间的函数线性微分方程的系数是时间的函数线线性时变系统性时变系统v微分方程微分方程连续时间系统连续时间系统v差分方程差分方程离散时间系统离散时间系统v偏微分方程偏微分方程控制系统中含有分布参数控制系统中含有分布参数v非线性微分方程非线性微分方程非线性系统非线性系统1/9/2023控制系统的数学模型的建立v分析法建模分析法建模依据物理或化学规律。依据物理或化学规律。v实验法建模实验法建模加入一定输入信号求取加入一定输入信号求取输出响应。输出响应。v系统的简化系统的简化忽略一些比较次要的物忽略一些比较次要的物理因素（如系统中存在的分
3、布参数、变理因素（如系统中存在的分布参数、变参数及非线性因素等），或根据系统不参数及非线性因素等），或根据系统不同的工作范围，或不同的研究内容而得同的工作范围，或不同的研究内容而得到不同的简化数学模型。到不同的简化数学模型。1/9/20232.2 线性连续系统v拉氏变换定义拉氏变换定义v几个常用函数的拉氏变换几个常用函数的拉氏变换v常用的拉氏变换法则常用的拉氏变换法则v拉氏反变换拉氏反变换v传递函数传递函数1/9/2023拉氏变换定义v利用拉氏变换，可将线性常微分方程转利用拉氏变换，可将线性常微分方程转换为代数方程，简化求解。换为代数方程，简化求解。v利用拉氏变换，可以得到系统在复数域利用拉氏
4、变换，可以得到系统在复数域的数学模型。的数学模型。v运用拉氏变换，可求解系统的线性常微运用拉氏变换，可求解系统的线性常微分方程分方程1/9/2023拉氏变换对因果因果1/9/2023常用的拉氏变换法则线性微分积分时移频移1/9/2023常用的拉氏变换法则尺度变换终值定理卷积定理初值定理1/9/2023拉氏反变换v用拉氏变换和反变换求解线性常微分方用拉氏变换和反变换求解线性常微分方程：程：对微分方程进行拉氏变换对微分方程进行拉氏变换作因变量的拉氏变换，求出微分方程的时间解。作因变量的拉氏变换，求出微分方程的时间解。1/9/2023传递函数v系统的传递函数是在初始条件为零时系系统的传递函数是在初始
5、条件为零时系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。换之比。nm1/9/2023传递函数的性质描述线性定常系统，复变量描述线性定常系统，复变量s的有理真分式的有理真分式(mn)只取决于系统和元件的结构（内在固有特性），只取决于系统和元件的结构（内在固有特性），与外作用（输入量）的形式无关与外作用（输入量）的形式无关既可无量纲，也可有量纲，视输入输出量而定既可无量纲，也可有量纲，视输入输出量而定不能表明系统的物理结构和特性，物理性质不不能表明系统的物理结构和特性，物理性质不同的系统可以有相同的传递函数同的系统可以有相同的传递函数零点极点分布图也可表征系统动态性
6、能零点极点分布图也可表征系统动态性能根根轨迹法轨迹法 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应1/9/2023典型环节的传递函数典型环节的传递函数Ke-s比例环节惯性环节（一阶）振荡环节（二阶）积分环节 延时环节1/9/20232.3 线性离散系统v信号变换信号变换vz变换变换v差分方程和脉冲传递函数差分方程和脉冲传递函数1/9/2023信号变换v1.模拟量到数字量的转换模拟量到数字量的转换 采样定理采样定理v2.信号的恢复信号的恢复 零阶保持器恢复信号零阶保持器恢复信号 一阶保持器恢复信号一阶保持器恢复信号采采样样器器模模/数数计算机计算机对象对象模模/数数1
7、/9/2023z变换称为 的z变换1/9/2023z变换v几个常用的几个常用的z变换变换vZ变换的基本定理变换的基本定理 线性定理线性定理 平移定理平移定理 复平移定理复平移定理 初值定理初值定理 终值定理终值定理vZ反变换反变换 长除法长除法 部分分式展开法部分分式展开法1/9/2023差分方程和脉冲传递函数v输入是离散序列及其时移函数输入是离散序列及其时移函数v输出是离散序列及其时移函数输出是离散序列及其时移函数v系统模型是输入输出的线性组合系统模型是输入输出的线性组合1/9/2023脉冲传递函数v脉冲传递函数是指离散系统中的传递函数。脉冲传递函数是指离散系统中的传递函数。v在离散系统中，
8、当初始条件为零时，系统输出在离散系统中，当初始条件为零时，系统输出信号的信号的Z变化与输入信号的变化与输入信号的Z变换之比。变换之比。v脉冲传递函数的求法：脉冲传递函数的求法：由差分方程求由差分方程求 由传递函数由传递函数G(s)求求1/9/20232.4连续控制系统的分析与设计 v2.4.1 系统响应指标与输入信号系统响应指标与输入信号控制系统的性能指标控制系统的性能指标典型的的输入信号典型的的输入信号v2.4.2 时域分析法时域分析法v2.4.3 频率响应分析法频率响应分析法1/9/2023控制系统的性能指标v控制系统的基本要求控制系统的基本要求v二阶系统的瞬态响应指标二阶系统的瞬态响应指
9、标v控制系统性能指标控制系统性能指标1/9/2023控制系统的基本要求控制系统的基本要求对反馈控制系统的基本要求有三项：对反馈控制系统的基本要求有三项：稳定性、暂态稳定性、暂态(或动态或动态)性能、稳态性能、稳态性能。性能。闭环系闭环系统稳定统稳定是前提是前提r(t)=1(t)tc(t)01/9/2023暂态性能：平稳、振荡幅度小暂态性能：平稳、振荡幅度小“稳稳”过渡过程的时间短过渡过程的时间短“快快”稳态性能：系统的稳态误差小稳态性能：系统的稳态误差小“准准”闭环系统稳定是前提闭环系统稳定是前提0r(t)=1(t)c(t)t1/9/20231,上升时间上升时间tr2,调整时间调整时间ts3,
10、超调量超调量%快速性快速性平稳性平稳性研究动态响应的方法(1)数值解(2)高价近似一二阶理想动态响应v动态品质指标动态品质指标1/9/2023二阶系统的瞬态响应指标上升时间上升时间 tr峰值时间峰值时间 tp最大超调量最大超调量 Mp调整时间调整时间 ts延迟时间延迟时间 td振荡次数振荡次数1/9/2023控制系统性能指标v实际控制系统的阶跃响应往往具有衰减振荡的实际控制系统的阶跃响应往往具有衰减振荡的性质，可与欠阻尼的二阶系统的阶跃响应相比性质，可与欠阻尼的二阶系统的阶跃响应相比拟。拟。v可用二阶欠阻尼系统单位阶跃响应曲线来定义可用二阶欠阻尼系统单位阶跃响应曲线来定义瞬态响应指标。瞬态响应
11、指标。v上升时间上升时间 ：对于欠阻尼系统，响应曲线从：对于欠阻尼系统，响应曲线从0上升到稳态值的上升到稳态值的100所需的时间，对于过阻所需的时间，对于过阻尼系统，则把响应曲线从稳态值的尼系统，则把响应曲线从稳态值的10上升到上升到90所需的时间称为上升时间。所需的时间称为上升时间。1/9/2023控制系统性能指标v峰值时间峰值时间 ：响应曲线达到第一个峰值：响应曲线达到第一个峰值所需的时间；所需的时间；v最大超调量最大超调量 ：相应曲线的最大值与稳：相应曲线的最大值与稳态值之差；态值之差；v调整时间调整时间 ：在响应曲线的稳态值线上，：在响应曲线的稳态值线上，用稳态值的某一百分数（用稳态值
12、的某一百分数（5%或或2)作为作为一个允许误差带，响应曲线达到并一直一个允许误差带，响应曲线达到并一直保持在这一允许范围内所需的时间。保持在这一允许范围内所需的时间。1/9/2023控制系统的综合指标v积分型指标积分型指标误差平方积分误差平方积分时间乘误差平方积分时间乘误差平方积分加权二次型性能指标加权二次型性能指标v末值型指标末值型指标v复合型指标复合型指标1/9/2023典型的的输入信号v阶跃信号阶跃信号v斜坡信号斜坡信号v加速度信号加速度信号v脉冲信号脉冲信号1/9/2023阶跃信号1/9/2023斜坡信号1/9/2023加速度信号1/9/2023脉冲信号v单位脉冲函数拉氏变换单位脉冲函
13、数拉氏变换 L(t)=1 1/9/20232.4.2 时域分析法v系统的阶跃响应分析系统的阶跃响应分析一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应v控制系统的稳定性控制系统的稳定性1/9/2023控制系统的稳定性v稳定性的概念稳定性的概念系统在受到外作用力后系统在受到外作用力后,偏离了正常工作点偏离了正常工作点,而当外作用力消失后而当外作用力消失后,系统能够回到原来的系统能够回到原来的工作点工作点,则称系统是稳定的则称系统是稳定的;否则系统就是不否则系统就是不稳定的稳定的.v线性系统稳定的充分必要条件是它的所线性系统稳定的充分必要
14、条件是它的所有特征根均为负实数有特征根均为负实数,或具有负实部或具有负实部.v线性定常系统的稳定性与输入信号和初线性定常系统的稳定性与输入信号和初始条件无关始条件无关,仅由系统的结构和参数决定仅由系统的结构和参数决定.1/9/2023控制系统的稳定性vRouth(劳斯劳斯)判据判据vS平面特征根的分布平面特征根的分布1/9/2023反馈控制系统的稳态误差根据终值定理，系统稳态偏差根据终值定理，系统稳态偏差G1(s)H(s)(s)Y(s)Xi(s)Xo(s)1/9/2023反馈控制系统的稳态误差v对于单位反馈控制系统，以开环传递函数对于单位反馈控制系统，以开环传递函数 G(s)来定义来定义0 型
15、系统型系统(=0)、I 型系统型系统(=1)、II型系统型系统(=2)G(s)(s)Y(s)Xi(s)Xo(s)1/9/2023反馈控制系统的稳态误差v单位反馈控制系统在单位阶跃输入时的稳态误差：单位反馈控制系统在单位阶跃输入时的稳态误差：对于对于0型系统型系统 ess=1/(1+K0)对于对于I型系统或高于型系统或高于 I 型的系统型的系统 ess=0 v单位反馈控制系统在单位斜坡输入时的稳态误差：单位反馈控制系统在单位斜坡输入时的稳态误差：对于对于 0型系统型系统 ess=对于对于 I 型系统型系统 ess=1/K1 对于对于II型系统或高于型系统或高于II型的系统型的系统 ess=01/
16、9/20232.4.3 频率响应分析法v频率响应的基本概念频率响应的基本概念v典型环节的频率特性典型环节的频率特性v开环系统的频率特性开环系统的频率特性v频率法分析系统的稳定性和性能指标频率法分析系统的稳定性和性能指标1/9/2023频率响应的基本概念v一般系统的频率特性函数形式一般系统的频率特性函数形式v实频特性实频特性 U()，虚频特性，虚频特性 V()v幅频特性幅频特性v相频特性相频特性1/9/2023典型环节的频率特性v系统的频率响应系统的频率响应G(j)是输入频率是输入频率 的复的复变函数，当变函数，当 从从0逐渐增长至逐渐增长至+时，时，G(j)矢量端点在复平面的轨迹矢量端点在复平
17、面的轨迹频率频率响应的极坐标图响应的极坐标图(Nyquist曲线曲线)。1/9/2023典型环节的频率特性v比例环节比例环节UKjV01/9/2023典型环节的频率特性v积分环节积分环节UjV0=01/9/2023典型环节的频率特性v微分环节微分环节UjV0=01/9/2023典型环节的频率特性v惯性环节惯性环节UjV0=01/9/2023典型环节的频率特性v二阶振荡环节二阶振荡环节UjV0=0=1=1=0.5=0.3nnn1/9/2023典型环节的频率特性v延迟环节延迟环节UjV0=011/9/2023典型环节的频率特性v0型系统曲线始于实轴有限值处型系统曲线始于实轴有限值处(K,j0)；I
18、型系统始于型系统始于-90o的无穷远处；的无穷远处；II型系统型系统始于始于-180o的无穷远处的无穷远处。1/9/2023典型环节的频率特性v大多数系统频率特性表达式的分母阶次高于大多数系统频率特性表达式的分母阶次高于分子，分子，Nyquist 曲线终于原点，曲线终于原点，而对于分母而对于分母分子阶次相等的系统，终于实轴的有限值处分子阶次相等的系统，终于实轴的有限值处。v加极点使系统相角滞后，加零点使系统相角加极点使系统相角滞后，加零点使系统相角超前。超前。1/9/2023典型环节的频率特性v令令 从从-增长到增长到0的的Nyquist曲线与曲线与 从从0增长到增长到+的的Nyquist曲线以实轴对称曲线以实轴对称。1/9/2023谢 谢!1/9/2023