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1、1.1.若若若若在在在在解析解析解析解析,复习复习复习复习留数的留数的留数的留数的 算法算法算法算法特别特别特别特别2.2.若若若若在在在在解析解析解析解析,为为为为的的的的一级一级一级一级零点零点零点零点,则则则则2应用留数计算实积分应用留数计算实积分1其中其中其中其中的的的的有理有理函数函数函数函数,与与与与是关于是关于是关于是关于1.1.计算定积分计算定积分计算定积分计算定积分令令令令则则则则在在在在内的内的内的内的孤立孤立孤立孤立奇点为奇点为奇点为奇点为设设设设z z1 1,z z2 2,z zn n2例例例例1.1.计算定积分计算定积分计算定积分计算定积分解解解解令令令令则则则则在在
2、在在内的奇点为内的奇点为内的奇点为内的奇点为或或或或原式原式原式原式=3例例例例2.2.计算计算计算计算解解解解令令令令则则则则在在在在内内内内的奇点为的奇点为的奇点为的奇点为原式原式原式原式=42.2.z z1 1,z z2 2,z zn n设设设设与与与与为为为为 互质互质互质互质 多项式，多项式，多项式，多项式，的次数的次数的次数的次数 比比比比的次数的次数的次数的次数 至少至少至少至少高二次高二次高二次高二次在实轴上在实轴上在实轴上在实轴上 没有没有没有没有零点。零点。零点。零点。在在在在上上上上半平面内半平面内半平面内半平面内 的所有的所有的所有的所有零点零点零点零点为为为为广义积分
3、广义积分广义积分广义积分证明证明证明证明设设设设C CR R是是是是C CR R等式右边等式右边等式右边等式右边半径半径半径半径R R等式左边等式左边等式左边等式左边上半圆周：上半圆周：上半圆周：上半圆周：两部分之和两部分之和两部分之和两部分之和 不变不变不变不变是常数是常数是常数是常数,增加后增加后增加后增加后,且且且且C CR R包含包含包含包含 z z1 1,z z2 2,z zn n结论正确结论正确结论正确结论正确记记记记5例例例例3.3.计算计算计算计算解解解解在在在在上半上半平面内平面内平面内平面内 的奇点的奇点的奇点的奇点原式原式原式原式=6例例例例4 4解解解解 原式原式原式原
4、式=二级二级二级二级极点极点极点极点在上半平面内在上半平面内在上半平面内在上半平面内的奇点的奇点的奇点的奇点练习练习练习练习二级二级二级二级极点极点极点极点在上半平面内在上半平面内在上半平面内在上半平面内的奇点的奇点的奇点的奇点7例例例例5.5.计算计算计算计算解解解解在上半平面内在上半平面内在上半平面内在上半平面内 的所有的所有的所有的所有孤立孤立孤立孤立奇点为奇点为奇点为奇点为83.3.z z1 1,z z2 2,z zn n设设设设与与与与为为为为 互质互质互质互质 多项式，多项式，多项式，多项式，的次数的次数的次数的次数 比比比比的次数的次数的次数的次数 至少至少至少至少高一次高一次高
5、一次高一次在实轴上在实轴上在实轴上在实轴上 没有没有没有没有零点。零点。零点。零点。在在在在上上上上半平面内半平面内半平面内半平面内 的所有的所有的所有的所有零点零点零点零点为为为为广义积分广义积分广义积分广义积分上式左边上式左边上式左边上式左边=是奇函数是奇函数是奇函数是奇函数是偶函数是偶函数是偶函数是偶函数记记记记9例例例例5.12.5.12.解解解解原式原式原式原式=即即即即故故故故10例例例例6.6.计算计算计算计算在上半平面内在上半平面内在上半平面内在上半平面内解解解解的的的的孤立孤立孤立孤立奇点为奇点为奇点为奇点为特别若特别若特别若特别若则可以得到则可以得到则可以得到则可以得到11例例例例7 7计算计算计算计算解解解解在上半平面内在上半平面内在上半平面内在上半平面内的的的的孤立孤立孤立孤立奇点为奇点为奇点为奇点为12练习练习练习练习计算计算计算计算解解解解在上半平面内在上半平面内在上半平面内在上半平面内的的的的孤立孤立孤立孤立奇点奇点奇点奇点13解解解解例例例例8 8在在在在的奇点为的奇点为的奇点为的奇点为内内内内令令令令则则则则原式原式原式原式=14