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1、第三章 控制系统数学模型n上次课简单回顾：matlab基础n主要内容动态过程微分方程描述Laplace变换传递函数、零极点模型、状态空间模型之间的相互转换模型连接（串联-并联-反馈）3.0 引言 1）系统-模型-仿真：先有数学模型，然后才能进行仿真；2）线性定常系统：线性系统、系数不随时间变化；3）模型：传递函数、状态空间、零极点增益模型 3.1 动态过程微分方程描述 1）给定一个实际的控制对象，我们往往需要通过机械、电学、力学等专业领域知识建立该系统的数学模型，首先得到的就是一个微分方程。2）针对线性定常系统而言，得到的是常系数的线性微分方程。3）如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进
2、行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。4）微分方程是控制系统模型的基础。3.1 动态过程微分方程描述 例子电路图如下：R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压。1）建立该电路的微分方程式；2）求0t15s时，i(t)，vo(t)的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。3.1 动态过程微分方程描述 例子 建立系统微分方程的思路：1）确定电路的输入和输出量；输入：Vs，输出：vo2）列出原始的微分方程式；3）消去中间变量。3.1 动态过程微分方程描述 例子 代码：ch3_exam1.m,rlcsys.m
3、note:ode45：4/5阶龙格-库塔法，后续课程会介绍到。3.2 Laplace变换问题：1）Laplace变换的定义？2）为什么要进行Lapalce变换？3）如何通过Laplace变换构建传递函数？4）在matlab中，Laplace变换如何实现？3.2 Laplace变换答案：1）Laplace变换的定义？2）为什么要进行Lapalce变换？3）如何通过Laplace变换构建传递函数？4）在matlab中，Laplace变换如何实现？符号计算，“laplace”指令3.3 动态过程的传递函数描述问题：输入u-输出y之间的关系用微分方程表达如下，求对应的系统传递函数。3.3 动态过程的传
4、递函数描述 传递函数的matlab表达：系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示：num=b0,b1,bm den=a0,a1,an注意：它们都是按s的降幂进行排列的。传递函数：将式子在零初始条件下，两边同时进行拉氏变换，则有连续系统的传递函数如下：3.3 动态过程的传递函数描述例子：某系统的微分方程表达如下，用matlab求其传递函数。代码：num=1 4 8;den=1 11 0 10;g=tf(num,den);零极点模型:分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。K为系统增益
5、 zi为零点 pj为极点3.3 动态过程的传递函数描述在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=k函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。3.3 动态过程的传递函数描述例子：已知系统的传递函数，求其分子分母多项式，并绘制零极点图。3.3 动态过程的传递函数描述代码：ch3_exam2.mNote:tf2zp、pzmap的用法；n控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。n函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。
6、n向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。nb,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。3.3 动态过程的传递函数描述练习：部分分式展开3.3 动态过程的传递函数描述练习：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den)p=0.0000+2.0000i -1.0000k=2r=0.0000+0.2500i -2.0000结果表达式：3.3 动态过程的传递函数描述 1）状态空间表达式=状态方程+输出方程。又称为动态方程。2）note：与传递函数
7、相比，状态空间揭示了系统内部状态对系统性能的影响。3）在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示，对应的指令是：ss（A,B,C,D）。3.4 状态空间举例：系统为一个两输入两输出系统A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;B=4 6;2 4;2 2;1 0;C=0 0 2 1;8 0 2 2;D=zeros(2,2);G=ss(A,B,C,D);n在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。n模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf：状态空间模型转换为
8、传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型一、模型的转换3.5 模型转换与连接用法举例：1）已知系统状态空间模型为：求传递函数以及零极点模型。A=0 1;-1-2;B=0;1;C=1,3;D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2;den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z=-4.5616 p=-1 k
9、=1 -0.4384 -12）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：求状态空间表达式。num=0 0-2;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A=-6 -11 -6 B=1 C=0 0 -2 D=0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 3）系统的零极点增益模型：求传递函数。z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num=0 0 6 18 den=1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a=-1.0000 0 0 b=1 2.0000-7.000
10、0-3.1623 1 0 3.1623 0 0 c=0 0 1.8974 d=0 n注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。4）已知部分分式：求传递函数。r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num=2 0 9 1den=1 1 4 41、并联：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)n并联连接两个状态空间系统。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)n将并联连接的传递函数进行相加。二、模型的连接3.5 模型转换
11、与连接1、并联：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)ninp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,un依次编号为1,2,n；out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。n若inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与
12、系统2的第一个输入连接。二、模型的连接3.5 模型转换与连接2、串联：series格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)串联连接两个状态空间系统。a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连接。num,den=series(num1,den1,num2,den2)将串联连接的传递函数进行相乘。3.5 模型转换与连接3、反馈：feedback格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)n将两个
13、系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)n系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign=-1。总系统的输入/输出数等同于系统1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)n部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入，系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。num,den
14、=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)n可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。4、闭环：cloop（单位反馈）格式：ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign)n通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。当sign=1时采用正反馈；当sign=-1时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)n表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs，以此构成闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈
15、，形成负反馈时应在inputs中采用负值。numc,denc=cloop(num,den,sign)n表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。举例应用：1）系统1为：系统2为：（exp3_2.m）n求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。2）exp3_3.m系统1、系统2方程如下所示。求部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，y11与y21连接。本章小结n在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。n对于控制系统，有不同的分类，在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统n系统的描述有不同的方法：微分方程；传递函数；零极点增益模式；部分分式展开；状态空间模型等。n系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。n模型之间可以进行连接，要求掌握常用的模型连接命令：串联、并联、反馈及闭环。