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1、第二节第二节 定积分的基本性质定积分的基本性质性质1证明设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在a,b上可积.推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即性质2证明 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.利用定积分的几何意义，可分别求出例1解性质4性质5推论1性质6(估值定理)证明 曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.性质6的几何意义：例2解性质7(定积
2、分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有 即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.性质7的几何意义：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),t为时间，则 表示该地、该日的平均气温.如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),(a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .