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1、奇偶性第1课时奇偶性的概念【学习目标】1 .了解函数奇偶性的定义2掌握判断和证明函数奇偶性的方法3应用函数的奇 偶性解决简单的求值问题.【导语】古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.“大家知道，我国的建 筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感 觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是表达的淋漓尽致，今天我 们来探究数学中的对称美.一、函数奇偶性的概念问题1观察以下函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？54 3 01 T提示 这两个函数图象都关于y轴对称.问题2如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y
2、轴对称”呢？不妨取自变量的一些 特殊值，观察下表相应函数值的情况. -3-210123 於)=/ 9410149 g(x) = 2-x 1012101 提示 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.问题3观察函数式幻=X和8任）=1的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你 能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.0y提示可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.图为图补充后的图象，易知人1)43).n综合运用.於)=以3 +区2是定义在口一 ,3上的奇函数，那么。+人等于()11 - 2 -D.1 - 2C1 - 41 - 4 -A答案B解析 Vy(x
3、) = ar3+/?x2是定义在-1,3上的奇函数，定义域关于原点对称，即41 + 34=0,解得那么函数)=* +加%再由奇函数的定义得4一%)=一於)，一卜+ /?/= Qx3 + /?X2,/.Z?=0,那么b x是有理数，.函数式幻=曰不工田将是()0, x是无理数A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案B解析假设X是有理数，那么一X也是有理数，7/(x)=Ax)=l；假设X是无理数，那么一元也是无理数，：.fi-x)=fix)=0.，函数)是偶函数.13.(多项选择)对于定义在R上的函数大处，那么以下判断正确的选项是()A.假设函数/U)满足八-2)=人2),
4、那么犬)是偶函数B.假设函数X)满足八一2)差/(2),那么/U)不是偶函数C.假设函数“X)满足12)/(1),那么穴x)是R上的单调增函数D.假设函数应。满足人2)11),那么/U)不是R上的单调减函数答案BD解析 A选项，假设人幻=成P一4),那么八-2) = 0,2)=0,故4-2)=黄2),又危)的定义域为R,关于原点对称，且/(x)=x(x)24 = 一忒必-4)=一4工),所以r)为奇函数，故A 错误；B选项，依据偶函数的定义知，假设凡x)为偶函数，那么|一%)=加)那么可知满足12)差/(2)的 函数必然不是偶函数，故B正确；C选项，假设火=/,那么火2)=4,41)=1,故人
5、2)式1),但函数於)=必在(一8, 0)上为减函 数，在(0,+8)上为增函数，故C错误；D选项，因为21,42)人1),所以人工)不是R上的单调减函数，故D正确.14.定义域为a 4,2。-2的奇函数x) = 2 023R 5x + Z? + 2,那么/()+人。)的值为答案0解析 因为奇函数的图象关于原点对称，所以 q4+2。一2=0,所以=2,因为函数人x)是奇函数，所以,*0)=0,即/?+2=0,故/?=2,所以 X6Z)+=X2)+X - 2)=42) 五2)=0.工拓广探究/+x+1215 .函数yu)= 0+，假设式。)=?那么八一。)=Y2 y-|_ 1V-解析根据题意，段
6、）=，4=1+*T，X I JLX -1 1X而a)=H-是奇函数，故-)=1 + (一d) = 1 -h(a) 2-1 +/?()2 4=2 氏 a)2 -=.函数r)对一切实数x, y都有/U+y)=/U)+y)，求证：,x)是奇函数；(2)假设八-3) = 4,试用。表示式12).证明由加+y)=/U)+心)，令y = 一%得40)=/(幻+/(一，令 x=y=。得/(0)=贺0),所以/0)=。所以7U)+A一=0，即人-x)=/(x), 故X)是奇函数.(2)解由(1)知府)为奇函数.所以3)=一八3)=0所以/3)=一. 又人 12)=五6)+次 6)=身(3) + 3)=例 3)
7、, 所以/12)=4。.【知识梳理】 偶函数的定义：一般地，设函数火工)的定义域为/,如果都有一九/,且基一x) = /U), 那么函数x)就叫做偶函数.奇函数的定义：一般地，设函数x)的定义域为/,如果都有一九/,且x)=一/U), 那么函数x)就叫做奇函数.注意点： 函数的奇偶性是函数的整体性质.先判断定义域是否关于原点对称，如果都有一即便定义域关于原点对称， 还需判断人一幻与/31的关系，假设八一x)=x),那么函数是偶函数，假设八一x)=/U),那么函数是 奇函数，假设式一x)W/(x),那么函数为非奇非偶函数.偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称.假设奇函数在原点处有意义，
8、那么必有0)=0.(5)假设人x)=/U),且八-x)=/U),那么./U)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只 有一类，即/U)=0, xeD,。是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数.二、函数奇偶性的判断例1判断以下函数的奇偶性.(l)/(x)=-|xh(2VU)=#21 -yj-x2；x (3)Xx)=- 4 1(4yu)=x/解(1)函数“r)的定义域为R,关于原点对称，又八-x)= -1%l=|x|=/U),，八%)为偶 函数.(2)函数式幻的定义域为 1,1,关于原点对称，且於)=0,又|一x) = 一应/次一x)=r), .A%)既是奇函数又是偶函数.(3)函数x
9、)的定义域为x|xWl,不关于原点对称，.7/U)是非奇非偶函数.(4)函数/U)的定义域为HxWO, V Vxexk0,都有一x4rW0,且4 一%)=_%_且4 一%)=_%_=一危),；幻是奇函数.反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：心的图象关 于原点对称)1/U)为奇函数)-关于)，轴对称)为偶函数) 跟踪训练1判断以下函数的奇偶性.(iW)=p*/V(2)/(x)=x2(x2+2).解(i)/u)=：的定义域为(一8, o)u(o, +),:氏 一%) = _：= fix),孙)=:是奇函数.(2)/0)=2。2 + 2)的定义域为 R.v/-x)=,，,*%)
10、=/(12+2)是偶函数.三、奇、偶函数的图象及应用例2函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，且当xWO时，犬尤)=尤2+2.现已画出函数次幻 在y轴左侧的图象，如下图.请补全函数y=/U)的图象；(2)根据图象写出函数y=/(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使yu)o的x的取值集合.解(1)由题意作出函数图象如图.(2)由图可知,单调递增区间为(一1,0), (1, +).(3)由图可知，使4工)0的x的取值集合为3 212,且xW0.延伸探究 假设将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答此题？解(1)由题意作出函数图象如下图.(2)由图可知，单调递增区间为(一1,1
11、).(3)由图可知，使./U)0的x的取值集合为x|2x2.反思感悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题 依据：奇函数。图象关于原点对称，偶函数。图象关于y轴对称.求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比拟大小及解不等式问题.跟踪训练2定义在-3, 1口口,3上的函数式幻是奇函数，其局部图象如下图.O,-3-2-1 01 2 3x请在坐标系中补全函数r)的图象； 比拟/与/(3)的大小.解(1)由于“X)是奇函数，那么其图象关于原点对称，其图象如下图.(2)观察图象,知43)勺(1).四、利用函数的奇偶性求值例3 (1)假设函数/00=。/+区+34+/2是偶函数，定义域为伍一1,2例，
12、那么=， h= 答案;0解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以。1 = 2d解得Q=g.又函数段)=+ 法+b+l为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0.(2)函数+假设4-3) = 3,那么式3)=.答案7解析令g(X)=N办5 +笈3 + ”，那么g(X)是奇函数，3)=g(-3)+2=g(3)+2,又笊一3)=3,，g(3)=5.又#3)=g(3)+2,/(3)=5+2=7.反思感悟利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：假设解析式含参数，那么根据五一九)=-/U)或八一应=/口)列式，比拟系数利用待定 系数法求解；假设定义域含参数，那么根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和
13、为o求参数. (2)求函数值：利用八一%)=/(x)或八一x)=x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于 求值.跟踪训练3 (1)函数次工)=/+(2m)x+根2+2为偶函数，那么根的值是()A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案C(2)设函数7u)=a+D，+)为奇函数,那么。=.答案T解析因为0)为奇函数，所以/(X)= /(x),(x+1)(x+a)(x+ 1)(xH-6z)即7,xx显然 xWO,整理得文(。+1)4+。=/+(+l)x+”，故 q+1=0,得 =1.课堂小结-.知识清单：函数奇偶性的概念.奇函数、偶函数的图象特征.1 .方法归纳：特值法、数形结合法.2 .常见误
14、区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.随堂演练.函数y=x）, xe1, c“（a1）是奇函数，那么。等于（）A. -1B. 0C. 1D.无法确定答案C解析奇函数的定义域关于原点对称，/.6Z1=0,即。=1.2 .以下图象表示的函数中具有奇偶性的是（）答案B解析 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C, D中的图象表示的函数 的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示 的函数是偶函数.3 .（多项选择）以下函数是奇函数的是（）A. y=x（x0）B. y=3x2C y=D. y=x|x|答案CD解析 利用奇函数的定义，首先定义域关于原点
15、对称，排除选项A；又奇函数需满足八一x）=/（x）,排除选项B.4 .函数y=/U）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，那么方程x）=0的所有实根之和是答案0解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称， 因此，四个交点中，有两个在无轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的 和为0.口基础巩固课时对点练1. y=/(x), %(一，。)，F(x)=/(x)+/(-x),那么/(幻是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案B解析 F(x)=,一x) +x) = F(x),又。)关于原点对称，F(x)是偶函数.2 .假设/U)
16、=313 + 5x+q1为R上的奇函数，那么q的值为()A. 0 B. -1 C. 1 D. 2答案C解析7(幻为R上的奇函数, 旭)=0,得。=1.3 .假设函数於)满足= 1,那么./U)的图象的对称轴是(A. x轴C.直线y=x答案BB. y轴D.不能确定解析 以芸=1=火幻=/(幻，次为偶函数，其图象的对称轴为y轴.4.如图，给出奇函数y=x)的局部图象，那么人一2)+八一1)的值为()B. 2B. 2A. 一2C. 1D. 0答案A解析 /-2)+X-l)=-X2)-/l)3 12-2./U)是R上的奇函数，且当X。时，.仆)=2工一个，假设人2)+./(0)=1,那么,八一3)等于
17、()A. -4 B. -3 C. -2 D. 1答案A解析因为於)是R上的奇函数，所以40)=0,又因为12)+八0)=1,所以人2)=4?=1,解得。=6, 所以/U) = 2x_,(x0),所以43)=-/(3)=一(6=45 .(多项选择)以下函数中为奇函数的是()A. /(x)=x3B. /x)=x5C J(x)=x+/D. J(x)=(答案ABC解析 选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且|-x)=-/(x),由奇函数的定义可 知选ABC.6 .设偶函数式犬)的定义域为 5,5,假设当x0,5时，“X)的图象如下图，那么不等式火尢)0 的解集是.答案 x| 5Wx2 或 2xW
18、5解析 因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式x)vO的解集.因为当九0,5时,危)0的解集为R2令W5,所以当x 5,0时，0的解集为R 5Wx-2.所以人幻0时丁加)的图象如下图，那么危) 的值域是.答案3, -1)U(1,3解析 因为当0工3时，函数单调递增，由图象可知1勺(x)0,x0,x),关于原点对称,当 x0 时，-x0,那么八 一X)=( 一幻2 - ( 一X)=/+x = /(x);当 x0,那么 枚X)= (X)2 + ( x) = x2 x=/x),所以7U)是偶函数.9 .(1)如图，给出奇函数y=x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出式3)的值;(2)如图，给出偶函数y=/U)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比拟11)与13)的大小. 解(1)奇函数y=7(x)在y轴左侧图象上任一点P(一心次一x)关于原点的对称点为P (x, /(x), 图为图补充后的图象，易知人3)=2.(2)偶函数y=/(x)在y轴左侧图象上任一点P(%,八x)关于y轴的对称点为P (x, /x),