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1、习题一一、选择题1 .质点沿轨道AB作曲线运动,速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质 点在C(A (B (C (D 答案:C解:加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有B, C符合;又由于是减速运动，所 以加速度的切向分量与速度方向相反，应选(C。2 .一质点沿x轴运动的规律是245x 11 =+(SI制。那么前三秒内它的口(A位移 和路程都是3m;(B位移和路程都是-3m ; (C位移是-3m，路程是3m ; (D位移是-3m，路程是 5m。答案:D解：3253t t xx=A=vvtg 000=+ 联立(3 (4 式得 000022cos sin 000v v v tg -=,s i n(
2、cos 02002e99+=tg v v所以，火车加速前后速度之比为2001021 sin cos sin cos 000000+=tg tg v v5. 一质点沿半径为01m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为342t +=仇0的单位为rad , t的单位为s。问t = 2s时质点的切向加速度法向加速度；。等于 rad时，质点的加速度和半径的夹角为450答案:24Rt; 2230.4m/s; 2.67rad。解:(1 212dtdt。3=, 2224d t dt 0a=; 24144n a R Rt 3=, 24a R Rt xa=ot = 2s 时,2230.4m/sn a =, 24
3、.8m/sa t=(2设t时a和半径夹角为45。,此时naa三即414424Rt Rt得31/6t.所以3( 242.67rad 11 &=+=三、计算题1 .一质点由静止开始做直线运动,初始加速度为0a，以后加速度均匀增加,每经过t秒增加0a，求经过t秒后质点的速度和位移。答案:2002a vatti=+;2300126a x a 11 t=+o由题意可知，角速度和时间的关系为0a a a t t=+根据直线运动加速度定义dva dt20000000( 2t t a a dvv v adt a t dt a 11 dt=二二+=+JJJot 二时刻,00v =所以 2002av a 11 t
4、=+又dxv dt二，所以 22300000001( 226t t a a dx x x dt vdt a 11 dt a 11 dt -=+=+J J J0t =时亥U,00x =所以 2300126a x a 11 t二十2.一质点以初速度0v作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为v n(1 n时,质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。答案:1In- O解:质点作一维运动。初始条件：0t40x=,0vv=。又由题意，质点的加速度可 表示为a kv =-6式中,k为大于零的常数。解法一:由加速度的定义有dva kv dt=-别离变量dvkdt v=-由初始条件a=时0=,有
5、OOvt v dv k dt v = J J 积分得Oe ( Ikt v v -=所以Oe kt dx v v dt=由初始条件Ot =时Ox =，积分得 00 e (le tkt kt v x v dt k-f上式可写为m (le (2kt x x -其中,0为质点所能行经的最大距离。联立式(1和式(2,得m 00(XX V V V =-故m 0(1 xvxv=-将 0v v n代入上式，得Hmxxn=-解法二:由加速度的定义，并作变量替换有dva vkv dx即dv kdx =-由初始条件Ox =时0丫丫=,有Vv dv k dx 二 J积分得0 (3v v kx =-7由上式得Ov vx
6、 ko故当Own二时, 01(1 (4v x k n又由dxv dt及式(3，有Odxdt v kx =-由初始条件Ot =时Ox =，积分得00Inv kx kt v -=-即(le kt v x k-可见,质点所能行经的最大距离为Omvxk故当0 v v n时，由式(4及上式得llmxxn3.在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以 速率v 0匀速收绳时,试求船的速率和加速度大小。为“2 +答案:xv 二;22解:建立如下图的坐标系。根据题意可得O-dlv dt二由上图可得v0/r7X船的速率00 x dx v v v dt =-=-船的加速度大小222200
7、33222(x x dvh h a v v dtx1 h =x = s 时，2203x h a v svW/J +,x v 二4.如图，一超音速歼击机在高空A时的水平速率为1940 km/h,沿近似于圆弧的 曲线俯冲到点B，其速率为2192 km/h,所经历的时间为3s，设圆弧AB的半径约为 3.5km，且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动,假设不计重力加速度 的影响，求：（1飞机在点B的加速度;（2飞机由点A到点B所经历的路程。答案：（12109msa-=，与法向成12.4角；(2ml722=s。解:(1因飞机作匀变速率运动，所以t a和a为常量t d d v a t,t tOdd
8、tB A v a t v v a t =JbAv v ,11940km h v -= A , 12192km h v -二 B 3s t =，3.5km r =，所以 2t 23.3m s B A v v a t二在点B的法向加速度22n 106m s B24dx t dt 二-，令 Odxdt二，得 2t二。即 2t =时 x 取极值而返回。所以：022302232032|15|21|5ttttSS S x x x x x x =+=+=-+-=_+-=3. 一质点的运动方程是cos sin r R ti R tj 33=+ , R、co为正常数。从t =/兀3到 t =2/兀3时间内(1该
9、质点的位移是口(A -2R i; (B 2R i; (C -2j；(D0o(2该质点经过的路程是口(A 2R;(BRtt; (C 0; (DR71(do 答案:B ; B。解:(1 122,11兀兀33=,21( ( 2r r t r t Ri A=-二；(2 At内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为兀R。或者：,x y dx dy v v dt dtM + J 在点B的总加速度大小2109m s a -= a 与法向之间夹角 t n arctan12.4a a 0= (2在时间t内矢径r 所转过的角度为212A 11。a=+飞机经过的路程为 2t 1 1722m 2 A s r v t a
10、t =+=5.如下图,一条宽度为d的小河,河水的流速随着离开河岸的距离成正比 地增加,靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为0v。现有一人以不变 的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨 迹。答案：2，即运动轨迹为抛物线。解:以河岸为参照系，建立如下图的直角坐标。根据二,OOx v Oy v u =o题意,初始条件为Ot二时,OOOx y又根据题意，当2dy W时，水流速度可表示为w v ky且当2dy0wvv=。故 02Vk d 二即2w v v y d对小船有x w dxv v dt二，y dy v u dt9利用前面各式及初始条件，对上两式分别积
11、分，得2Ouv x t d,y ut 二联立消去t，得2Ov x y ud上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。注意,上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当2dy时，水流速度应为2( w v k d y =-此时有2x w dxv v dt二，y dyv u dt二根据前半部的计算结果知,在河心，即2d y三吐2dt u=20024v v d d x ud以此为新的初始条件代入，积分2(tyw x t y dy dx v dt k d y u=Jdy 时 200022v dv vx y y u u ud+-可见小船运动轨迹仍为抛物线改错：一、选择题 4 解答：位置:，2sin 2cos
12、C C x y 1111 00=sin cos C C x y 11 00=;二、填空题4题1.图错：-110应为：错图：应为：=;应为:位置:，错图:2 .公式:220sin sin o v v v 001(3 应为:220sin sin o v v v 00-f(3三、填空题5题解答：角加速度符号未替换解：(1 212d t dt 0co=5 2224d t dt 00=; 24144n a R Rt co=, 24a R Rt 邛=。改为:2224dtdt9 a=, 24a R Rt ia=,21,11 v R S vdt R 07i=J4.一细直杆AB，竖直靠在墙壁上,B端沿水平方向以
13、速度v 滑离墙壁,那么当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度(A大小为/2v，方向与B端运动方向相同；咚+1;VCx + VCyI A(B大小为/2v，方向与A端运动方向相同;(C大小为/2v ,方向沿杆身方向;(D大小为/(2cos v 9，方向与水平方向成。角。答案:D解:对 C 点有位置:sin , cos C C x 1 y 1 00=;速度:cos , sin Cx Cy d d v 1 v 1 dt dt 000。=；所以,2cos C d v v 1 dt 99(B 点:2sin cos , 2cos B B d d v5.某人以4km/h的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如
14、将速率增加一倍，那么感 觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为口(A4km/h,从北方吹来;(B4km/h,从西 北方吹来；(C,从东北方吹来;(D,从西北方吹来。答案:D收+优解:Ov v v v v v -+=+风人风地人地0v v v +”= , 002v v -cos V V 0,Otan v v 0 - v v -n 45sin Ot a n v v 0n-22220000002222200002cos 42.2cos cos cos 442tan cos2v vvvvvvvvvvvvOO eoeo(=+-=+- I L =+-=V I22sin 1sin 45000 =回Ocos v
15、 v 0二(从西北方吹来/叵二、填空题L一物体作如下图的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水 平方向成30。角。那么物体在P点的切向加速度s/2i叵ai p答案：12g-2O解:j g a-二 Is i n s i n 302aaggT0=-= cos cos30n a a g 9=-o又因2n vap=，所以222cos 30n wag p=2.一质点在xy平面内运动，其运动学方程为j t i t r 2(22-+=，其中tr ,分别以米和秒为单位，那么从t = 1秒至ij t = 3秒质点的位移为；t =2秒时质点的加速度为；质点的轨迹方程是。答案:23ij-;2j-;224
16、x y =-o解：(2(123r r r i j =-=-,22222d x d y a i j j dt dt =+=- 22, 2x t y t肖去时间 t 得 224x y =-。3 .一质点沿半径为R的圆周运动,运动学方程为202Ibt t v s-=，其中b V , 0都是常数,t时刻，质点的加速度矢量二ab时，质点沿圆周运行的圈数为。答案:20(vbtnbR -;024v Rb兀。解:(1 bt v dt ds v -=0, b dtd a -=22t 20( nvbtaananbRTTT-=+=-(2令 ab二，得 bvt0=2200001( (0( 22v vvsstsvbbb
17、b 得 0224v snRRb兀兀A=4 .火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜00角。火车以某一速度匀速前进时，侧 窗上雨滴轨迹向后倾斜10角,火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾 斜20角，火车加速前后的速度之比为。答案:cos sin cos sin tg tg 000000+解:设Ov为火车静止时观察到的雨滴的速度，其倾角为0。(这也是雨滴相 对地面的速度和倾角。设火车以Iv行驶时,雨滴相对火车的速度为v，其倾 角为1仇根据伽利略变换：10vvv同理，火车以2V行驶时，雨滴相对火车的速度为v ”,其倾角为 20,所以20v v v011 sin sin 00o v v v(1 ; 001 cos cos 00v v =(2 220sin sin o v v v 001-(3；002cos cos 00v v -f(4联立(1(2式得100100sin cos v v tg v 000-=,1001