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1、【多项选择题与双空题总分值训练】专题11复数多项选择题2022年高考冲刺和2023届高考复习总分值训练新高考地区专用1. (2022辽宁辽阳二模)复数4=l3i, z2=3 + i,那么()A. Z)+z2| =6B . Z z = 2 + 2iZjZ2 =6-8iC. zv在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的加法与模长公式可判断A选项；利用共较复数的定义以及复数的减法可判断B选项；利用复数 的乘法可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项.【详解】对于 A 选项，z+Z2=4 2i,所以，|Zj + Z2| = 42+(-2)2 = 2 , A 错;对于
2、B 选项，_z2=l + 3i 3 i = 2 + 2i , B 对；对于 C 选项,平2=(13i)(3 + i) = 68i, C 对;对于D选项，zk在复平面内对应的点位于第四象限，D对.应选：BCD.2.(2022广东二模)复数z的共枕复数是5, (l-i)z = l + i, i是虚数单位，那么以下结论正确的选项是( )A. z2022 = 4C. zz + 2z =6A. z2022 = 4C. zz + 2z =6B. z.W的虚部是0D. zS + 2z在复平面内对应的点在第四象限【答案】BC【解析】【分析】由复数除法求得Z,得共规复数5,然后再由复数的运算，复数的定义、几何意
3、义判断各选项. 【详解】1 + i 1 + i) 2iz = -i，z = -i，由题意z =-=1, 1-i (l i)(l + i) 2应选：ABD.2(2022重庆三模)复数z = ,那么()A. |z| = V2B. z的虚部为/C. z2为纯虚数D.三在复平面内对应的点位于第一象限【答案】ABC【解析】【分析】化简得z = -1-i,求出复数的模即可判断选项A和B的真假；求出Z?即可判断选项C的真假；求出即 可判断选项D的真假.【详解】解：由题得2 = 二一:所以z=J,所以选项A正确； -1 + 1 (-1 +1)(-1-1)因为z的虚部为-1,所以选项B正确；由于Z?=(-1-i
4、)2=2i为纯虚数，所以选项C正确；三= _l + i在复平面内对应的点为(-1,1)位于第二象限，所以选项D错误.应选：ABC(2022广东佛ill二模)关于复数2 = 8$? +汴也彳(i为虚数单位)，以下说法正确的选项是()A. |z| = lB.三在复平面上对应的点位于第二象限C. z3 =D. z2+z + l = 0【答案】ACD【解析】【分析】利用复数的运算法那么，共辗复数的定义，几何意义即可求解【详解】z = cos红+ isin2 =+ 3i3322所以忖=/品国=1r _i _ 走）217位于第三象限故A正确z=- i，那么5在复平面上对应的点为 22故B错误2 22 21
5、2； I 2j 222 2丫l-2;丫l-2;r g. 1 2、21 3.2 1 31 = i-4 44 41 3.2 1 31 = i-4 44 4故C正确Z2+Z + 1 =一 3i故D正确应选：ACD19. （2022山东潍坊模拟预测）复数z满足z = z-1=1,且复数z对应的点在第一象限，那么以下结论正确的选项是（A.复数z的虚部为走i 2C z2 = z 1【答案】BC【解析】【分析】D.复数z的共辄复数为-22先求出复数z,再对四个选项一一验证：对于A：直接求出复数z的虚部，即可判断;对于B：直接求出,，即可判断；z对于C：直接求出Z?和Z-1,即可判断；对于D：直接求出复数z的
6、共辗复数，即可判断.【详解】设复数 z = + bi（a,R）.因为Z = z-1=1,且复数Z对应的点在第一象限,所以所以2+2=1( 解得：, 6Z 0, /? 01CI = -2 _ 6 L ， W Z =11 .,V3 2 2 b = 2对于A：复数Z的虚部为立.故A错误; 2对于B： 71+V3.Y1_.i.故B正确;对于C：因为Z?-l + i,Z-l = -l + i,所以 z2=z-1.故 C 正确;对于D：复数z的共规复数为工-立i.故D错误. 22应选：BC20. （2022.全国.模拟预测）复数2 = - +立i （i为虚数单位），那么以下说法中正确的选项是（ 22A.
7、z3 = 1C. z + z2 + z3 = 0C. z + z2 + z3 = 0D. z + z2+ + z22=0【答案】AC【解析】【分析】根据复数的运算法那么直接运算即可【详解】z+ 公22z2 =| 1 V3.F122、2故B错误;z3 = z2 - Z =故A正确;z + z2 + ?=- + i-i + l = 0,故 C 正确; 2222z202,=(?)673 .z2 = z2, z + z24-z3=0,z4 + z5 + z6 = z，( z + z2 + z，) = 0 ,z7+z8 + z9=z6z + z2 + z) = 0 , z + z2 H1-z2021 =
8、673(z + z? +z3 + z + z2 =1故D错误.应选：AC.21,（2022福建泉州模拟预测）设4Z2为复数，那么以下命题正确的选项是（A.假设|Z|Z2|二O,那么A.假设|Z|Z2|二O,那么B.假设二,那么z；=C.假设 Z1 +Z2 0,那么 Z2 =4C.假设 Z1 +Z2 0,那么 Z2 =4D.假设 4Z2=0,那么 Z=0 或Z2=0【答案】AD【解析】【分析】通过反例可说明BC错误；设马=。+万，Z2=c + di,根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确.【详解】对于 A,设 Z= + Z?i, a, b e R,z2 = c + Ji, c, d e R
9、,那么 Z_z? =- c, + (b _ d)? = 0,a-c = 0 a c,即b-d = 0b = d4 = Z2，A正确;对于B,令4=1, z?=i,那么闵=区| = 1,此时z；wz=, B错误;对于 C,令丁 =l + i, z2 = -i,贝(JZ+Z2=1O,此时 Z2Z，C 错误;对于 D,设 Z=a + bi, z2=c + di,那么 z,=(公一仇/)+(Z+bc)i = 0,ac-bd = 0,，即ad + Z?c = 0ac = bd,7 ,那么 a2cd = -b2cd ; ad = -be假设c = d = 0,那么成立，此时Z2=0；假设 c = 0, d
10、wO,由 ac = bd 知：b = 0；由 ad = c 知：q = 0；止匕时 Z1=0；同理可知：当cwO, = O时，4=0；假设 cwO , dwO,由 42cd = 得：a1 = b?, .a = b = O,此时 4=。；综上所述：假设ZZ2=0,那么4=。或Z2=0, D正确.应选：AD.22. (2022重庆南开中学模拟预测)复数马/2/3，马是马的共朝复数，那么以下结论正确的选项是( )A.假设Z+Z2=0,那么卜卜C.假设Z3=Z1Z2，那么闾=|马|区|【答案】ABC【解析】【分析】假设2 =。+ 例,那么 Z = Q/?i， ZB.假设Z2=z，那么=回|D.假设匕+
11、1| =22+1| ,那么匕| 二同=G ,利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A：假设 Z + Z2 =。,那么 Z = -Z2，故 Z = -Z2 = Z2 ,所以A正确；对于B：假设Z2=Z,那么=区|,所以B正确；对于C： 设4 = (cos a + i sin a) , z2 = (cos /? + i sin 0)那么 4 = 2仔2 = rr2 (cos (a + 分)+ i sin (a + /?)，故 Z3 = zj |z2 ,所以C正确；对于D：如以下图所不，假设勿=z + 1 ， OB = z2 + 1,那
12、么 OC z , OD = z2,故 4 w1乙1N乙所以D错误.应选：ABC（2021 全国模拟预测）假设复数z满足3 = i i,那么（）z + iAZ=2B.z 2z = l + 6iC. W在复平面内对应的点在直线y = 2x上 D. z2-二的虚部为-8【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.【详解】Tz = 6z + Z?i(6z,/?eR),那么W = Q_历，由 = i _得a_l_i = (i_l)a + (/? + l)i,整理得 1一。+ 为= Q+ + l + (h + l a)i，所以1 Cl = Q + b + lb = b+-a解
13、得1，-2.所以z = l-2所以忖=石，应选项A错误;因为z = l 2所以I = i + 2i，所以12z = l + 2i 2(l2i) = l + 6i, B正确；1= i + 2i在复平面内对应的点为(1,2),显然在直线y = 2x上，C正确；因为 z?Z? =(z + z)(z z) = 2x(4i) = 8i,所以 z? 一二的虚部为-8 , D 正确.应选：BCD.23. (2021 .全国.模拟预测)欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即/=cos8 + isine (R) .根据欧拉公式
14、，以下说法正确的选项是()a.对任意的y =1B.在复平面内对应的点在第二象限C.已争的实部为交 e 2D. e/与e一冶互为共枕复数【答案】ABD【解析】【分析】利用复数的概念、几何意义、复数的模的概念及共辄复数的含义即得.【详解】对于 A 选项，e,6 =| cos 0 + isin01= a/cos2 + sin2 0 = 1, A 正确；对于B选项，e2i =cos2+isin2,而cos2v0, sin20,故e，在复平面内对应的点(cos2,sin2)在第二象限，B正确；对于C选项，=cos + isin =i ,实部为-立，C错误；44222对于 D 选项，= cos-isin9
15、，Xe-i = cos(-) + isin(-) = cos-isin0 ,故于与e-沼互为共轨复数,D 正确.应选：ABD.24. (2021 .广东.模拟预测)以下命题中正确的有(A.假设复数Z满足一/?,贝IJzwR；B.假设复数z满足z2R,贝IJzwR；zC.假设复数Z1*2满足平2,那么Z=W； D.假设复数zwR,那么六【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；Wz = i,可判定B不正确；取z=l + i,Z2=2-2i,可判断C不 正确；根据复数的运算法那么，可判定D正确.【详解】对于A中，设复数z = a + /?i,(a,R),1 _ a-hi _
16、a h可得三二(a+bi)(_ 加)=/7乒/7记1因为,/?,可得 =0,所以Z = QR,所以A正确； Z对于B中，取2 =刀可得z2=-1，所以B不正确；对于C中，例如：4=l + i,Z2=2 2i,那么422=(l + i)x2(li) = 4eR,此时z尸三，所以C不正确；对于D中，设2 =+加,(41/?),由ZH,可得Z? = 0,即Z = Q,可得1 =所以D正确.应选：ADz2022 =i2022 =_b A 错;z z = 1 虚部是0; B正确z-z + 2z = l + 2i =Vl2+22 =y/5 ； C 正确zW + 2z = l + 2i，对应点为（L2）,在
17、第一象限,D错;应选：BC.3.（2022.湖南师大附中二模）设复数z =+ i,那么以下命题中正确的选项是（）222Az-=zzB. z2 = zC.z的虚部是正iD.假设zwR，那么正整数的最小值是32【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算法那么和复数的分类，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中,对于A中,由|z| = J(_gy+(曰)2 =1，z-z = (-1 + -)(-1-i)=l,所以/ =zz,所以A正确;对于B中，由z?=工那么B正确； 22对于C中，由z =+且i,可得z的虚部是巫，那么C错误；2 22对于D中，由z =+4li,可得z2=_1i, z3=l， 222
18、 2所以ZH，得正整数的最小值是3,所以D正确.应选：AD.4. （2022.河北保定.二模）复数z满足方程卜2-4）（z2-4z + 5）= 0,那么（）A. z可能为纯虚数 B.方程各根之和为4 c.z可能为2-iD.方程各根之积为-20【答案】BCD【解析】【分析】解方程，求出z =以或z = 2i,从而判断四个选项的正误.【详解】由（z2-4）（z2-4z+5）= 0,得 z2 -4 = 0或 z? -4z + 5 = 0,即 z，= 4 或（z-2）=-L解得：z = 2或z = 2i,显然A错误，C正确；各根之和为一2 + 2+（2 + i） +（2i） = 4, B正确；各根之积
19、为一2x2x（2 + i）（2i） = 20, D正确应选：BCD.5. （2022广东茂名,二模）复数4=/_1 +打，Z2=l+（a l）i（Q3,假设z2z2为实数，那么以下说法 中正确的有（）A. |zJ=Vi3B. Z z2 = 5 + 5iC. z；为纯虚数D.且对应的点位于第三象限【答案】AC【解析】【分析】根据条件，由4-2Z2其为实数，求得的值，依次计算即可得出结果.【详解】因为4-2Z2为实数，所以。 2（。1） = 0,解得 =2,所以 Z=3 + 2i, z2 =l + i,所以 |zj=。9 + 4 =屈,故 A 正确，zv=（3 + 2i）（l + i） = l+5
20、i,故 B 错误，因为（l+i）2=2i,所以 z；=（2i）s=32i,故 C 正确，Z 3-2i （3-2i）（l-i） 1 5门 5、因为=3-2i,所以=不一=牛：=丁小，其对应的点在第四象限，故D错误.z2 1 + 1+2 222）应选:AC.6 .（2022.江苏.新沂市第一中学模拟预测）假设4,z?为复数，那么（）A. I4+Z2IW+IZ2IC. z =|zj【答案】BD【解析】【分析】A. I4+Z2IW+IZ2ID. z =|zj【答案】BD【解析】【分析】B.ZZ2 4 Z2E. Z2 = 2 Z对于A选项，举例判断，设z=l + i, z2=l-i,分别计算等号左侧与右
21、侧，即可判断等式是否成立；对于B选项，设4=a + bi, Z2=c + M,计算判断即可；对于c选项，设z=l + i,令 =2,那么等号左侧为虚 数，右侧为实数，二者不等；对于D选项，设4=，+ 0i,那么1 =。-诩，进而计算判断即可.【详解】 对于 A 选项，当 4=l + i, z2 =l-iRf,|zi + z2 =IZ = 2, Z = a/12 +12 - V2 , z9 =+（-1） = V2 ,那么 Z +z? w Z + Z2 ,故 A 错误；对于B选项，当Z =。+ /?i , Z2 = c +%时，zk =（+历）（0 + 4）= （qc-+ Z?c）i,那么 卜Z2
22、1 = ac bd+ （ad + be）2 = y/a2c2 -2abcd -b2d2 -vcrd2 +2abcd + b2c2因为 Z = ja2 -b2 , z2| =+ 屋,那么匕目二，故B正确；对于C选项，假设4=l + i,当凡=2时，z；=2i,zJ = Ji* = JL 那么 2iw（&，即 z：w|z，故 C 错误；对于D选项，设4 =4+历,那么Z =Q-历，所以ZZ=（+为）（一为）=。2 +）2 ,ZjZ.16+（从）=02+/,即ZZ|=|zZ,故D正确；应选：BD.（2022湖北十堰三模）复数4=1-3i, z2=3 + i,那么（）A . Z + z? = 6B .
23、 Z1 z9 = 2 + 2iC. z =6-8iD. zv在复平面内对应的点位于第二象限【答案】BC【解析】【分析】直接根据复数的运算、共钝复数、复数的模及复数的儿何意义依次判断4个选项即可.【详解】由题可知，|Z|+22|=也2+(_2)2 =2石,A不正确；Z z2 = 2 + 2i, B 正确；=(l-3i)(3 + i) = 3+i-9i-3i2 =6-8i, C正确；对应的点在第四象限，D不正确.应选：BC.8.（2022湖南湖南二模）设复数z =-22率的共加复数为1那么以下选项正确的有（A.-2 .2乃z = cosFisin C.D. z3 + z = 2【答案】ACD 【解
24、析】 【分析】 根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A, C, D；根据特殊三角函数值与共轨复数的关系可判断A.【详解】对于A,对于A,由题可知z = - -Hi = cos-d-isin，所以A正确;2233对于B,Z因为7=r_i_V3.、22 21 V3.1i221,所以B错误;对于C,因为-=z；=1,所以C正确;= (z + z)(z2 Z2 + Z2卜”）（z + z) -3zz =(-l)x(一 1)23x1 =2,故 D 正确.应选：ACD9.（2022江苏金陵中学二模）复数z = x+yi,x,yR,冲W0,那么以下选项一定正确的选项是（A. z + z g RB. z z
25、g RC. ZZ G /?D.冥Rz【答案】AC【解析】【分析】 根据共粗复数的定义，结合复数的四那么运算法那么逐一判断即可.【详解】 因为z = x+yi,所以z = x-yi.A：因为z + 5 = 2x, xeR.xO ,所以z +5R，因此本选项正确；B：因为z-彳= 2yi,所以z 2eR,因此本选项不正确;C：因为方= / + ;/, x,ye7?,xy0,所以因此本选项正确；D：z_x+yi_ (x+yi)2_/_y2 2xy内为=-7 _ 7 T； T _ + F 71z x- yi (x-yi)(x+yi) 厂 +)- x +7所以= eR,因此本选项不正确， z应选：AC（
26、2022湖北一模）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程V=l,它的两个虚数根分别为（）a1 + /3i口 1 /3i 1 + /3i卜1 /3iA. d, C, U,2222【答案】CD【解析】【分析】对原方程分解因式，利用求根公式，即可直接求得结果.【详解】对于方程丁=1,移项因式分解可得：（X-1）（/+尤+ 1） = 0/ = 1为实数根，要求虚数根，解方程+% + 1=（）即可，解得=-1土. 2应选：CD.10. （2022.全国.模拟预测）复数z满足（z + 2i）（l-
27、i=2 + 4i,那么（）A. z = -2 + iB . z = yj5C. z的虚部为-iD.复数z在复平面内对应的点位于第三象限【答案】ABD【解析】【分析】化简复数为z = -2-i,结合共辗复数的概念，复数模和复数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】2 + 4i . 2 + 4i . c .由题意，可得z =（i一力=刀_2i =-2-1-1-21 =-2-i f那么三=_2 + 3 故A正确；又由z| = 4_2）2+=6故B正确；由复数z的虚部为T,故C错误；复数z在复平面内对应的点为（-2,-1）,位于第三象限，故D正确.应选：ABD.11. (2021 .重庆模拟预测)
28、复数4=-2 + i (i为虚数单位)在复平面内的对应的点为A,复数Z2满足Z2-l + i| = 2*2在复平面内对应的点3为(x,y),那么以下结论正确的有()A.复数4的虚部为i8. (x-l)2+(y + l)2=4C.LZzI的最大值加+ 2D.I4+Z2I的最小值为旧一2【答案】BC【解析】【分析】根据复数的概念和几何意义即可求解.【详解】对于A,由4二-2 + i得，虚部为1,故A错误，对于B,因为，上一 1 + i卜2, Z2在复平面内对应的点3为(x,y),那么|(x-l) + (y + l)i| = 2,所以(xl+(y + l)2=4,故B正确，对于C,由题意知，点5在以
29、(L-1)为圆心，半径为2的圆周上，根据复数的几何意义，AB=z.-z29所以，|A51m.二卜2-1)2+(1 + 1)2 +2 =旧 + 2,故 C 正确，对于D, Z +Z2 = (-2 + x) + (l + y)i = J(x-2)2 +(y+表示点B与定点(2,-1)的距离，易知点在圆内，所 以 Zj + z2 m，n = 2 J(2 1) +(-1 + 1) = 1 ,故 D 错误.应选：BC.12. (2022辽宁模拟预测)复数4 =-l + 2i , Z2满足艮-i| = l,且在复平面内4所对应的点为A, z2 所对应的点为3,那么以下结论正确的选项是()A. 4的虚部为2
30、iB.点A在第二象限C.点B的轨迹是圆D.点A与点B距离的最大值为血【答案】BC【解析】【分析】A.利用复数的相关概念判断；B.利用复数的几何意义判断；C利用复数模的模的几何意义判断；D.利用点 与圆的位置关系判断.【详解】Z1=-l + 2i的虚部为2,故A项错误；点A的坐标为(-1,2),所以点A在第二象限，B项正确；由忤-i| = l,可知点3的轨迹是以“(0,1)为圆心，1为半径的圆，故C项正确；AB|inax =|AA/| + l = (-l-0)2+(2-l)2 +1 = 72 + 1,故 D 项错误.应选：BC.13. (2022山东潍坊二模)假设复数4=2 + 3i, z2=-
31、l + i,其中i是虚数单位，那么以下说法正确的选项是( )A.五cRZ2B. Z z2 = 4 z2C.假设Z+m(mR)是纯虚数，那么m=-2_, ,uimD.假设4*2在复平面内对应的向量分别为况，而(。为坐标原点)，那么AB =5【答案】BCD【解析】【分析】利用复数除法运算可知A正确；由复数乘法运算和共辗复数定义可知B正确；由纯虚数定义知C正确;由复数的向量表示和模长运算可知D正确.【详解】对于A, 1对于A, 1普器Mb,那小错误对于 B,Z/2 =(2+3i)(l + i) = -5 i,二马4=5 + i ；X2j -z2 =(2-3i)(-l-i) = -5 + i, :.z
32、 -z2 = z, -z2 , B 正确;对于C,.4+加=2 +机+ 3i为纯虚数，.,.m+2 = 0,解得：m = 2, C正确; 对于 D,由题意得：04 = (2,3), OB = (-1,-1), .后=彷-西= (-3,-4), ,网二的+ 16=5, D正确.应选：BCD.14. (2022.海南海口.模拟预测)复数z及其共辄复数满足zW = 4,那么以下说法正确的选项是()A.右 z z = 0,那么 z?=4C.假设三为纯虚数，那么z2=4或z2=-4 ZA.右 z z = 0,那么 z?=4C.假设三为纯虚数，那么z2=4或z2=-4 ZB.假设 z + z = 0 ,那
33、么 z = 4D.假设一为实数，那么z?=4或z?=4 z【答案】AD【解析】【分析】 设z = +历（a,bR）,由给定条件求出，。的关系，再逐项分析各个选项的条件，计算判断作答.【详解】Lbi,2Lbi,2、口 , a r, -z a-bi (a-bi)2设 z = Q + i(a,人eR), WO z = a bi， z z = +Zr = 4， = = z a + bi (a + bi)(a - bi)对于 A,假设z-W = O,贝lj。=0,有/=4,此时 z=q, z2 = a2 = 4 9 A 正确；对于 B,假设 z + z = O,贝 Ia=0,有尸=4,此时 z = /?
34、i, z2 = -b2 = -4 . B 错误；对于C,假设多为纯虚数，那么=2, ab = 2,此时z2=2+2仍:土国，c错误； z对于D,假设三为实数，那么而=0,有/=4或2=4,止匕时z2=4或z2=-4, D正确. Z应选：AD15. （2022.山东滨州二模）欧拉公式e嗔cosx + isinx （此题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞土著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥依据欧拉公式，那么以下结论中正确的选项是（）A.复数/为纯虚数B.复数V对应的点位于第二象限C.复数已号的共加复数为3-L e
35、2 2D.复数eiQeeR）在复平面内对应的点的轨迹是圆【答案】ABD【解析】【分析】根据纯虚数、共辄复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：因为复数e与 =cos工+ isin = i为纯虚数，应选项A正确； 22对B：复数82=cos2 + isin2,因为cos2 0,所以复数对应的点为（cos2,sin2）位于第二象限，B正确；对C：复数e号=cos工+ isin =，+且i的共辗复数为，-立i,应选项C错误；33 2222对D：复数8 =cose + isine（6 R）在复平面内对应的点为（cosasin。）,因为cos2e + sin2g = l,所以复数/（OeR）在复平面内对应的点的轨迹是圆，应选项D正确.