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1、第一章波函数与Schrodinger方程1 .波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一.德布罗意的物质波假说1.德布罗意的“物质波”假说(De Brogliematter-waves in 1923 ).E = hv先回忆普朗克的光量子假说：重新换写一下：p = h/AE = hco co = 2tzv是圆频率pk是波矢量，k = 2乃/2是由波动性打算粒子性。德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满意关系式:称之为德布罗意关系，是由粒子性打算波动性。对于具有确定的能量和动量p的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面
2、波:平面波是(产1)= Aexp“A尸-口川，将德布罗意关系将德布罗意关系E = tico p = hk代入得：夕任/) = AexpL尸-瓦)/明，称为德布罗意波(是复数波力因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。物质波(matter wave):与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。而一般可计算得到：物质微粒的波长107 A，氧原子才O.4A、DNA分子。1(4A、电子波长 = 1A。只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时,才会观看到干涉或衍射现象。通常物质微粒的 质量和动量较大，因而德布罗意波长特别短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能
3、显 示出波动性。cooo00解采用公式：卜= 得：x =00oo_ 2008y-e-ydyoJ f（x）dx j xexldxco万 J yeydy0aX由一阶导数求极值：了/（x）= 1- dx 1 几dx6一= 0nx = X,oo。由二阶导数/（%） 0确定极大值：2/（%） =2- 小F 8yJXa 1h实际上，上面的积分是lim 皇=lim(2五-2五)=2屈0,-()+ J yjX-0+ ,04.多粒子体系波函数的形式（wave function of a system of many particles）对于N个粒子组成的体系，它的波函数表示为（斤忑，,左）,其中%忑,，&分别表
4、示各粒子的空间 位置矢量共有3N个自由数。而帆（强，名）斯明而n表示测得粒子1消失在空间方+在中, 同时粒子2消失在空间G-弓+ 中，同时粒子N消失在空间rN-rN+drN中的几率。例4设一个体系含有两个粒子，波函数用（片忑）表示，那么有、测得粒子1在空间耳-尹四中的几率：片山（强才也，、测得粒子2在空间及-弓+四中的几率：Y帆（强）冷.、测得粒子1在空间 上 裾中，同时粒子2在空间GG+*中的几率：帆（强）曲d3G动量分布几率(Probability distribution in momentum space )依据波函数的几率解释：当用归一化的波函数。（产）描述体系的微观状态时，那么在，
5、时刻空间 r-r + dr区域找到粒子几率为|。（尸,。假设要测量粒子的动量，那么动量几率分布如何?()=(2：hf 1 /小 C (p,t)dp定理对于任何一个波函数都可由各种不同频率的平面波叠加而成，即,式中而= dpapydpz ,其中。(万/)=(2叫3/2Je一币川八 在数学上称其为付立叶变换，总是成立的。2。(力表示(尸)中含有平面波的成分，实际上就是粒子在动量空间的动量分布几率密度，即在动量p-p + dp范围内找到粒子的几率为p-p + dp范围内找到粒子的几率为C（p） dp o电子衍射试验见教材。推论|（可 疗=1 n f|C（p）|2 dp = lo例1假设用Gauss波
6、包(x) = e2,/2描述的粒子，求粒子位置主要局限区域(即位置的不确定度 )以及粒子的动量主要局限区域(即不确定度)o000000解由归一化条件得：J|(x)djc j e(X X-00-codx = ,故a粒子在空间的概率分布密度为 w)= /叫=与产I i/(x) dx 1兀a2x2-le-a2x2(1)、用数学分析中，求拐点方法，即二阶导数等于零处就是拐点的位置。由二阶导数求拐点：色箸=-4此n /2= ax yj/rdx(2)、用不确定度的定义= 匚不求解:对于粒子的动量分布状况，可通过付立叶逆变换得+co +oo归一化得:JM(p)助+co +oo归一化得:JM(p)助expdp
7、=a2 、 Pa2h2）故粒子的动量几率密度分布为W(p) =一 =exp-co同样，可用上面介绍的两种方法求动量的不确定度:(1)、用拐点法: (2)、用不确定度的定义求解:=_.2 =|.,因此得到：=例2设一维粒子具有确定的动量p0 ,即动量的不确定度3=0。相应的波函数为平面波（x）=*，求粒子的位置不确定度。_d2W（x二。知 X（-OC,+OO）；解由于WQ）=%（x） =1 ,即粒子在空间各点的几率都相同。由 ；）!1!1!,力学量的平均值和算符的引入1.位置和位能的平均值(Position and average of potential)既然一个微观系统能够用一个波函数来描述
8、，所以该波函数就能给出体系的一切可能的信息，能预言得到某可能值的几率，也能给出物理量的统计平均值。(1)、位置的平均值(average value of position)当给定体系的微观状态可用归一化的波函数（尸/）描写，那么测得粒子取产值在尸-尸+次区域内的几率从平均值的定义，那么位置矢量产的平均值为 =卜|（尸/）赤。(2)、位能平均值(average value of potential)00假设位能V = v（r）不依靠动量，我们可以绽开V（尸）二Z /，那么有=0即位能的平均值为V = V（尸）|（尸）疗。乍看起来，动量、能量和角动量等的平均值都应能类似地给出。但动量平均值能否仍按
9、上述表示给出呢？即”1 (产 J)dh原那么上讲，这是完全错的。因粒子具有波动性，而动量是与波长相联系的（丸=）。但波长是描述波在P空间变化的快慢。一般而言，一个波函数”（产/）由很多不同波长的平面波叠加而成。在某一点尸处，其h波长不是一个，而是有很多不同大小的波长，即在尸处，并不没有确定的= p（x,y,z）值，故4（羽 y,z）不行能效仿上述平均值来表示。那么毕竟如何表示动量平均值呢？对于给定波函数（71），那么其付利叶的逆变换为1（2乃方）旌这样就得到粒子的动量分布几率密度（力/），测得粒子动量在万-万+而区域内的几率为dW(p,t) = C(pdp，其中dW(p,t) = C(pdp，
10、其中因此，类似于7 =（r）dr ,相应的动量平均值可表示为万=万仁（万/）砺接下来，我们考虑如何用给定的波函数（尸/）来直接求动量的平均值呢？下面就让我们来争论这 个问题。将C（万/）=（7J）exp -p-r d产代入得（2万方）JI力 J即 /=*（尸）（一湖7）（刃力。该式说明要想用（尸/）去直接求动量平均值同，就必需引入一个算符忸=二/*橐代替Q （变量）进行 计算。通常地，人们称方为粒子的动量算符。对于粒子处于状态”（尸,。（已归一化），那么其动量的平均值为力=* （尸 1）（ 一斑 ）（产,/）。由此可见，在量子力学中的描述和经典力学中的描述是有本质差异的。量子力学中物理量（力学
11、量）的 描述是用算符来描述。在量子力学中，描述微观粒子的行为，引入的算符关、方，对应于经典的位置 和动量变量。然而这些算符不等于经典变量。由上述推理: 求动能平均值(丁 =乌)，可表为2mT = f/(r)f(r)Jr，其中f g =三力称为动能算符 J2m 2m/2力2所以动量少分方=海7，那么T 下二上_ =V22m 2ma2 a2_ 6 _ 3 _ _2d2az2 az2 其中 V = ef ef 及 = r r +dx dy dz dx2 dy2角动量算符 =尸乂 = t存xv例题 课后作业作业二2.态叠加原理(Superposition principle)一、量子态及其表象(Qua
12、ntum states and their representation)1.量子态(Quantum sates):定义一个微观粒子体系在某一时刻所处的微观状态，通常用一个波函数犷来描述。2假设一个体系由归一化的波函数亿。来描述，假设某/时刻测量粒子的位置，那么亿。表示粒子在,时刻消失在点尸处的几率密度；或者说描述粒子位置的几率分布。在傅立叶变换下:+00c(p.t) = -_ e”/Q(尸)d尸， (2万1)3/2 土假设测量粒子的动量p,那么测得粒子动量为p的几率密度为|c(a0|同理,也可以确定粒子的其他全部 力学量的测量值的几率分布。故任，。完全可以描述一个粒子的量子态。波函数亿。也称
13、为态函数，也叫几率波幅。反之，假设体系用归一化的波函数。（万/）来描述，那么在/时刻测量粒子的动量为月的几率为在傅立叶变换下：假设在位置产点处测量该粒子，那么测得粒子消失在尸点的几率密度为帆（力）。这样，C（万，。也可完全 描述这个粒子的量子态。因此，对于一个体系，粒子的量子态可有多种不同的描述方式。2、表象(Representation space ):对于一个体系，粒子的量子态可有多种不同的描述方式。而每种方式对应于一种不同的表象，它们彼此 之间存在确定的变换关系，彼此完全等价。例如，（7J）是粒子所处的量子态在坐标表象中的表示，而C（瓦。是同一个状态在动量表象中的表示。1（i 例题1平面
14、单色波在坐标表象下,可用波函数= 1彳exppxj描写粒子所处的量子态,1（ iA此时粒子具有确定的动量Po,称该波函数p（X）= Iexp - px为动量算符px的本征态，而P（）乃方nJ为动量本征值。试在动量表象中写出此量子态。+00解依据傅立叶变换。（万）=厂前J （21力）-oo（i expp-r d广得I方）例题2心）（=5（1-%）描述的是粒子具有确定位置的量子态 称为位置本征态，位置的本征值为与。试在动量表象中写出此量子态。4-00解依据傅立叶变换c（p） =（2方y/2 J （产）exp（一万尸/力）疗得态叠加原理假设体系由归一波函数（尸）来描述，那么帆（尸）描述了体系的位置几
15、率分布或称几率密度。假设单粒子处于（尸J） = C（ A,/）exp（枢,产/力）+ C（万2 J）exp（72 ,产/力）态中，那么测量动量的取值仅为A或力2，而不在P Pl之间取值。对于由大量粒子组成的体系，似乎一局部电子处于A态，另一局部电子处于p2态。但你不能指定 某一个电子只处于回态或只处于p2态。即对一个电子而言，它可能处于四态（即动量为区）,也可能 处于万2态（即动量为万2 ），即有肯定几率处于四态，有肯定几率处于万2态。由这启发建立量子力学最基本原理之一：设体系处于匕态下，测量力学量A时，测得确定值为外,而体系处于忆态下，测量力学量A时，测 得确定值为。2,那么体系处于=仇内+
16、。22的叠加态下，测量力学量A时，测得值只可能为4或。2，并 且测得和2的几率分别0cle1| ,同。或表述为：假设“I是体系的一个可能态，2也是体系的一个可能态，那么 =是体系的可能态，并称 以为k和忆态的线性叠加态。在量子力学中，由于态叠加原理导致在叠加态下测量结果的不确定性。B.争论（与经典比拟）、经典认为：匕，（尸）自身叠加将产生一个新的态中（尸/） = “（尸,，） + ”（尸,，）=2匕,（尸），由 于空间各处的强度增大到原来的4倍。而量子力学认为，由态叠加原理，这两个态是一样的。在匕，（尸/）和（尸J）中测量力学量4都只 有一个值a ,而空间的几率分布上（尸,，）与|2匕（十）在
17、空间各点之间的相对几率是一样的。事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一个常数并不转变状态或产生新的态。00（ii）、在量子力学中，没有“（产,。=0的状态，因J帆任“2片尸=1或一个不为零的常数。但是，-00经典振动可到处为。，即没有振动。（iii）、假设（7）=（7）+生2（尸），经典认为是一个新的振动态，即以“（尸）来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作乙 （产）波动，或者可能作破2 （尸）波动。但对量子力学来说，体系可能处于 内（产）态，也可能处于2 （尸）态。但不会处于其他态3（尸）态（X因测量力学量A所得的测 量值是不会为生的。应当强调指出，有时在处理物理问题时，
18、常常对函数（产）绽开，（尸）=、 （力。n对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如傅立叶分解。这仅说明有各种波相干，但并不能说，振荡 发生在某一频率上。但量子力学中的态叠加原理那么赋于这一绽开以新的物理含意：测量力学量A ,可能 测得值仅为g60的%值，其几率3除，即系数%不仅仅是绽开系数，而是正比于取。值的几率振 幅。（M、态叠加原理反映一个特别重要的性质，而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为“的自由粒子是以一个平面波外（%） = C, exp，5 -/）/力描述，动量为 P2的自由粒子是以平面波?（产/） = C2 exp 口依尸- E/）/可描述。如体系同时（一个自由粒子
19、）可 能处于这两个态，那么说明体系所处的态为可是这个态没有确定的动量Q （当你预言动量的测量值时工但（7/）也是描述自由粒子的可能态。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为9(产J) = JC(p)expz(p-r-/)/ d3P而EpP2m至于毕竟处于哪个详细状态，那应由肯定的条件来定。（万）。所以，量子力学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看只能有肯定值X此外，值得留意的是:在态叠加中重要的是系数qc （如内 /忆给定对于=。必+。22，这时完全被G,。2所打算.1完全可替代W来描述该态（以后要争论（V）、态叠加原理的直接后果是要求波函数满意的方程
20、，必需是齐次线性方程。例高斯波包(The Gaussian wave packet)考虑一个质量为m的自由粒子，其中Cg 为高斯分布C(p1,o)=C(p1,o)=2b27i h21/4求出相应的粒子波包（羽0）。解由付立叶变换得1)= J ,( Px exp (tp.R力)双+O0Jexp-oo24(J2dp1exp -px-h-KC-ooexp(T2itix Px-Po-7T7 2 b ydPx2b2_4(2乃力度I Titr(2乃力度I Titrexp -px-nX24b2(i 1-exp -pQxl力由此可见，一个高斯分布的付氏变换后，变成另一个表象下的波函数仍是一个高斯分布，而且 其
21、中波函数（x,0）是描述i =（）时刻，粒子位置在区域-6。（位置几率明显不为。），而动量在区域（动量几率明显不为0区域）中运动的波包。关于位置区域是这样确定如下的: 由a=o = % = 0处粒子分布的几率最大。dx由40&=。=岗=。处是拐点。由于时，!亿0。，几率分布曲线向上凸起，而在 dxdx德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算例1求做热运动的气体分子的德布罗意波长。3解温度为T的气体分子热运动动能为 =须7，当7 = 30(rK (室温)时，分子的动能约为0.039eV , 2hhr相应的物质波波长为2=a = -/OP 72/7, c2x0.039(e
22、V)对于氧分子(。2)，% 32m=32x9.38xl08eV/c2 ,波长；1。0.026nm ,远小于分子的平均自由乙*程，所以分子的热运动可作经典力学处理。例2相对论情形和非相对论情形下的德布罗意关系式。解(1)、在非相对论状况下:用=72gp =人% ；九=川pJ当粒子是电子时，me = 9.108 x 1 O_31 kg = 0.51 MeV/c2 ,从而17 5% = -/A ,其中leV = l.062xl()T9j。J&(eV)当粒子是质子或中子时，mp mn pl.67xl(T27 kg ,从而有& n二 尸肥 Jd(eV)(2)、在相对论状况下：E = 汨嬴7 ,其中外为粒
23、子的静止质量。E = Ek+ m(，11 )卜 p = j2m(E 1 +心p2c2+*可 ,XI 2 加叫=hA =P当 moc2 Ek ,贝( 4 q /Ek。例3为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？解由2 = 知，缘由是普朗克常数/z = 6.626x1(T34j.s太小，而宏观尺度的运动动量太小。 P如考虑一个50kg的人运动速度是0.5m/s ,那么可计算出对应物质波波长为X 。时，小，小。几率曲线向下凹。3、薛定港方程薛定送方程的适用范围：非相对论状况，无粒子的产生和湮灭过程。一 Schrodinger 方程 量子力学的最基本定律是波函数所满意的偏微分方程-Schrodinger方
24、程,是量子力学的一个基本假设。它不是从基本原理导出来的，其正确性是靠它所推出的结果及预言的正确性来证明的。考虑一个具有确定能量、动量力的自由粒子，由德布罗意关系 知道：它对应的物质波为平面单色波这个单色平面波满意的方程:一% = pi/ =假设自由粒子的一般状态用波包（7/）描述，即（波包是由很多单色平面波叠加而成） （不，。=（2乃；产 J。（万加 （p-r-Et） dp ,式中石4,那么有a为2n涛彳（尸1） = 二力（尸/）一一这说明自由粒子的波包也满意同样的方程。dt2m因此，对于一个自由粒子的波函数满意的Schrodinger方程为8方2=尸（尸ot2m这个方程可看做把经典的能量-动
25、量关系:小/按以下替换为算符:d人石一访一，pp = -itN , 8然后把它们作用于波函数（尸，。上得到；这种做法称作一次量子化。一般地，假设粒子在外势场V（尸/）中运动，经典粒子的总能量为一 2 =- + Vg）。2m为了转换到对应的量子系统，仍采纳上述一次量子化法：再将所得到的算符方程作用到波函数（7,%）上,就得到与此经典系统相对应的量子系统的波函数应当满意的方程： 这就是单粒子运动的Schrodinger方程Q926）。/X _Tt24- 21） 八八c 八 八八通常标记 J + V（7/） = -（一+丫（7/）三”（尸,/）,称为体系的哈密顿量算符（简称体系的 2m2mHamil
26、tonian 于是，在非相对论状况下，单粒子体系的Schrodinger方程重新表示为d人法至（曰）=（/）。F面对Schrodinger方程做几点说明：、Schrodinger方程是的奇次线性方程。因此，叠加原理成立。即 假如I，2，是Schrodinger方程的解，那么W = c科也是方程的解。i=l（2）、Schrodinger方程是时间的一阶方程，所以，时刻t0的状态打算其后全部时间t %的状态。（3）、经典力学的力学量，在量子力学中用力学量算符替代时,F = fkk，(q)PkPk一 kkF = fkk，(q)PkPk一 kkkk例如：EfijPiPj应写为g(fijPiPj + f
27、jiPiPj)fgE(认fijbj + DifjiDj) ij乙U乙U2 yzpy Pz 相当于 J (yzp、,Pz + yzpz py + zyPyPz + zypzpy)py yzpz + pzyzpy +)(4)、假设V = V(尸j),是含时的经典系统，经典粒子在时变势场中运动过程与外界交换能量,粒子机械能 一般不守恒。在相对应的量子系统时，由V含时使系统的哈密顿量育=方含时,成为含时的量子系 统。相应的问题称为非定态问题。atj例题验证平面波和球面波都满意自由粒子的薛定娉方程法 (E) = -vV(r,r)o ct2m解(1)、平面波可表示为(7J) = 4exp p-r-Et)代
28、入薛定送方程得 _力 _(2)、球面波可表示为匕(7一功,，代入薛定娉方程法华二后匕rot1 9令“s(r,t) = u(r,t),因-二号卜总+ J比，那么岛L界2笆7?2 1 d2u2m r dr1把(尸J) = Aexp j(pr-Et)代入，得方匕=石匕= %从今可看出，平面波和球面波都满意自由粒子的薛定娉方程。因此，自由粒子的状态既可用平面波, 也可用球面波表示。二、Schrodinger方程的争论1.初值问题和传播子A.薛定娉方程的初值问题当体系在初始时刻t0的状态(尸小)给定时，那么以后任意时刻t的状态波函数就可完全由薛定娉方程所打算(因在薛定港方程中只含时间/的一次偏微商X这就
29、是量子力学的因果律，即打算状态的演化。因此，在量子力学中的因果律是对波函数确实定，不像经典力学那样是确定轨道或力学量的测得值，而 是打算状态的演化。如力反3/)=力优方)，即与时间无关，贝!k时刻的解可表为(如%时为(7小)(7,1) = explwJ)(r-r0)_in_口九）例如对于自由粒子。.假设初始时刻，=0时，波函数（产,0）是的。如何从0时的波函数，来确定任意出0时刻 的波函数呢？由于是自由粒子,在公。时，它必是各种不同动量少的平面波exp（7尸/力）的叠加，即 小)=岛产exp”*1 .当（尸,。）给定，贝UC（川=（2.力产2 Jexp1 .当（尸,。）给定，贝UC（川=（2.
30、力产2 Jexp（i A-p-f （元0）d尸，即由初态（产,0）完全确定。I方）我们知道，在f时刻自由粒子的状态由exp无尸-E。叠加而成，叠加系数为。（力）（已确定），即（元。=jc（万）exp*(p-r-Et)dp，式中/人2.从另一角度争论，对于自由粒子方=/,直接采用2m2其中石=3是粒子的能量。2m.假设自由粒子在，=0时，初态处于状态。,。）=（2e2）7/4exp -.假设自由粒子在，=0时，初态处于状态。,。）=（2e2）7/4exp -%2+ ipKx/,可以证明：Px = K，粒子处于x的几率密度为（2的2尸/2 exp%22cr2o这说明，觉察粒子主要在区域（-5。）。
31、证（1）、粒子处于X处的几率密度为夕（x,0） = |（X,O）= Qg?）72exP 一行。d2dx212g2=0 n忖=。，故觉察粒子主要在区域（-。）。（2）、由于（7,0）是描述自由粒子在/ = 0时的波函数，它必是入取各种不同动量值的平面波 exp （么x/%）的叠加，即（0）=-/= I C（2）exp -pxx dpx ,0时刻，描述自由粒子状态的波函数为在计算过程中用到如下公式:00J exp卜（ + 叼 J2 + /切 dj =-00/、1/2兀2exp -4（优+叼（0,。,氏/都是实数）波函数的实部对这个波包的集中进行争论:（a）.波包的扩展假如用上述这个高斯波包来描述（
32、或模拟）一个物体，在，=0时，它位于1 = 0（有一宽度（-。b）, 而平均动量为Pk。在%时刻，其包络线中心位于“曲。所以，包络极大处的速度m% =丝=半称为群速度，即群速度等于粒子速度。m dprXPx = PK从相位看，如4相位为1% - 4、,2相位为华卜一短心,2相位为华卜一短心Ax 2mPkt（）/mn y 2m J所以,相速度啜谓P=Pk采用波函数CV)计算标准偏差，即觉察粒子的主要区域在(% - Ar, % + Ax) (% = pKtJm)Ax =x2 -x2 = crjl +2mcr2 )所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。9m(7设7 = ，当tT ,包波已集中很大，
33、因此似乎与经典粒子无任何相像之处。 hAx -氏=e J1 + (初/2勿202所以，这样一个显示经典粒子的波包，动量的分布没有扩展，而空间的分布那么扩展，使得你在tT =mb?/方时，就认不得经典粒子了。右图即为高斯波包的传播。对高斯波包的争论和结论，对任何其它外形的波包都相同。(b)、波包扩展的时间量级在实际生活中，我们从来没有观察一个宏观粒子会扩展，以至似乎消逝。下面举几个例子。.人：me 102kg,b = 0.断 nr = -8.1。h 10545x10-34所以，人活6.1X1035s长的时间内,还基本原样。当tT ,才集中得很大。而lYear = 3.15xl()7s.经过1.9
34、x1。27丫人仍还可以大致维持原样。因此，量子现象你是看不到的。.尘粒：m = l()3g、b = l()-4cmnT =10-34s = 10I6s ,即经过1016s = 3x108Year =3亿年，尘粒仍保持经典粒子图象。.电子(原子中)：m = 9xl()3kg , c7 = 0.5xl0-,()m /. 7。10一人。而在氢原子中，电子绕质子周所花的时间2 2 106$。由此看出，电子在原子中不行能以波包形式描述。B.传播子对于波函数随时间的演化，也可借助于传播子来求解。在,时刻的波函数，可由初始时刻/的波函数完全 确定。由于薛定娉方程是线性的，因而其解能够被叠加。因此，不同时刻的
35、波函数关系也必需是线性的。 这就意味着，（元。必需满意齐次的微分方程。即可表示为式中G（产/称为Green函数,或称传播子。只要知道Green函数，就可确定态随时间的演化。让我们来看一下G（尸的详细含义。假设/ = %时，粒子处于处，即以引。）=5（产-2，由 上式得所以，在*）时刻,粒子处于应 ,贝打时刻，了处觉察粒子的几率密度幅就是格林函数G（产J；冗外）。由薛定娉方程，可直接给出G(7 J;)/0) = exp人人5（尸-外例题求自由粒子的格林函数。人2解对于自由粒子，方，方）=92m令与三万_加（产彳），把m（亍一小视作常数，那么而三而Gg；M）=嵩 exp17 exp（2万方）3 F
36、1?exp（2乃方）3 y17 exp（2%力 3 丫= G（7/;不,%） =厂（产-钎 22（/-1）.一几）22tl（t -1。）.一八）2exp -i.t - t.exp -i2h（t-tQ）,/=x，3,z,42（了一斤）22 %3/23/22九法（tT）2mh卜1（欧+欧+幻II J exp=x,y,z/ I2mh、3/（）?expexp3/2exp2 九（t 一 t0）dBdBdB_x y z由公式lim Jq= b（x）,令。= a* V 7112 力 一（）这正是自由粒子的Green函数。t - t 、 dBi2mh）n Jexp -j=x，），zm.加（/一斤）2 力 _/
37、（）,m（r-）222（，- J）时，2.几率守恒定律（conservation of probability）2mhBj在非相对论的状况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间觉察粒子的几率应不随时间变,这要求凡满意薛定娉方程的的波函数，必需满意上式。证明粒子的空间几率密度是（刀）=|（产,，）=*（7/）四（），所以依据薛定娉方程所以引入一个矢量J = 白（夕*-_ 夕*）=2m + C.C.合是粒子的速度算符，那么上式变为这是量子力学中的连续性方程，是粒子的空间分布概率守恒定律的微分形式。由于对任何体积V,都有f Jr = -f V-jdr , Jv Qt Jv等式右方用 Gauss
38、 定理JJJ dT = -dS = jndS ,得四 dz = dt J-dS其中jjjpdr是在体积V内觉察粒子的总几率而而（矢量dS指向V的外边）是矢量j穿过封闭曲 VS面对S外的总通量。所以了是几率流密度，而上式表现出几率守恒。假设以产/）是一个一般的函数，那么,（尸/）的积分可能与时间有关。但假设它满意薛定娉方程，那么即也（波函数的归一化）与时间无关。由此还可以看出:几率守恒也就是粒子数守恒。例题考虑波函数“（X/） = A exp （力x/力）+ B exp （一处/力）exp求出该波函数相应的概率流。fi解概率流定义为j = 2im* di/ dx将 (xj) = A expipx
39、h代入定义式得言富：该波函数表示沿相反方向运动的两股粒子流的叠加，每股粒子流的大小是与时间无关的常量。（ 2八2exp -誓一项意味着粒子的能量为 =-，概率流的振幅是A和B。I 2mh J2m3.定态 Schrodinger 方程假设V与时间无关，那么Schrodinger方程可用分别变量法求解。设（。）=/0代入Schrodinger 方程得 此式必需等于常数，记为 （与时间/和位置尸无关）。于是，上面的等式被分解为两个方程： 第一个方程：马，其解为了exp俘,Clt In lil）为2其次个方程：一口寸包/（7）=石线（尸），称为定态薛定娉方程，也称作能量本征方程。_ 2因此，含时间的薛
40、定港方程的特解为：由于每取一个固定的E值，都有一个”（尸）与之对应。故把特解波函数称为定态波函数。比照德布罗意波知，常数E的物理意义正是粒子的能量。所以，定态是体系的能量取确定值的状态。在 定态中，体系的各种力学性质不随时间而转变。形如：方程户 =% （即算符作用于波函数=常数乘以这波函数）称为该算符F的本征方程，常数Z 称为本征值，方程的解称为（该算符的属于该本征值的）本征函数。所以定态薛定谓方程也就是能量本征方 程。定态的性质：假设体系Hamiltonian与时间/无关。（i）、体系在初始时刻（，=0 ）处于肯定能量E的本征态（兀0） = Oe（尸），那么以后任何时刻，体系都处 于这个本征
41、态上，即（产J） = 的Se（产）。它随时间的变化仅表现在因子e办上。（ii）、处于定态的体系，粒子的几率密度不随时间变化，几率流密度矢量的散度为0 （即无几率源 这说明，在任何地方，都无几率源，空间的几率密度分布不变。（iii）、处于定态的体系，几率流密度矢量，不随时间变化。.7 =3/（7/） （匕0- （尸/） /（产/）=萼F或（尸） /（尸）一经（尸）或（刃，2imu 2imL所以与时间t无关。（iv）、处于定态的体系，任何不含时间f的力学量，在该态下的平均值不随时间变化。A = ft）dr = f （f）A（r, p）（pE（fdr o= 2.6xW35moh _ 6.626又10-34j.s p 50 x 0.5kg-m/s明显太小，难以引起可以观测的物理效应。又由p =石应知，要减小宏观尺度运动的动量，必需减小动能，但从物理上考虑不行能减小到比热运动能量心丁更小，所以必需减小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体