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1、第三章 集合代数本讲稿第一页，共二十页第一节第一节 集合的基本概念集合的基本概念一、集合的概念与表示一、集合的概念与表示 注注：a)a)集合的两个要素：元素互异；性质确定。集合的两个要素：元素互异；性质确定。b)b)常见集合：常见集合：N,Z,Q,R,C;N,Z,Q,R,C;特殊集合：特殊集合：，E E（U U）。）。定义定义:具有共同性质的一些事物的全体称为集合。具有共同性质的一些事物的全体称为集合。定义定义:一些不同的确定的对象的全体称为集合。一些不同的确定的对象的全体称为集合。1.1.集合的基本概念集合的基本概念本讲稿第二页，共二十页2 2.集合的表示：集合的表示：描述法（性质法）：给出
2、一般元素所具有的性质，描述法（性质法）：给出一般元素所具有的性质，如如列举法（枚举法）：对有限可列的集合进行表示，如列举法（枚举法）：对有限可列的集合进行表示，如本讲稿第三页，共二十页 a)a)包含：包含：如果集合如果集合A A中的每一个元素都是集合中的每一个元素都是集合B B中的元素，则称中的元素，则称A A是是B B的子集，记作：的子集，记作：A A B B或或B B A A 如果如果A A不是不是B B的子集，即在的子集，即在A A中至少有一个元素不属于中至少有一个元素不属于B B，称称B B不包含不包含A A，记作：记作：B B A A或或A A B B3 3、集合间的关系、集合间的关
3、系本讲稿第四页，共二十页b)b)相等：如果两个集合相等：如果两个集合A A和和B B的元素完全相同，则称这两的元素完全相同，则称这两个集合相等，记作个集合相等，记作A AB B。例如：例如：A A1 1，2 2，3 3，4 4B B3 3，1 1，4 4，2 2 C Cx|xx|x是英文字母且是英文字母且x x是元音是元音 D Da a，e e，i i，o o，u u显然有显然有A AB B，C CD D本讲稿第五页，共二十页 定定义义 设设A A是是有有限限集集，由由A A的的所所有有子子集集作作为为元元素素而而构构成成的的集合称为集合称为A A的幂集，记作的幂集，记作(A)(A)，即即(A
4、)(A)X|XX|X A A 在在A A的所有子集中，的所有子集中，A A和和这两个子集又叫平凡子集。这两个子集又叫平凡子集。4 4、幂集、幂集例如：例如：A A1 1，2 2，3 3，则则(A)=(A)=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3本讲稿第六页，共二十页5 5、集合的阶及其应用、集合的阶及其应用1 1）定义：集合）定义：集合A A中包含的元素个数称为中包含的元素个数称为A A的阶（基数、元的阶（基数、元数），记为数），记为 。b b）若）若 有限，称有限，称A A为有限集，为有限集，为无限，称为无限集。为无限，称为无限集。【
5、注注】：a a）是反映集合是反映集合A A“大小大小”的数字特征。的数字特征。2 2）定理）定理 设设A A是有限集，是有限集，|A|=nA|=n，则则A A的幂集的幂集(A)(A)的的 阶为阶为2 2n n。本讲稿第七页，共二十页包含排斥定理包含排斥定理 设设A A、B B为有限集合，为有限集合，|A|A|、|B|B|为其基数，为其基数，则则|AB|AB|A|+|B|-|AB|A|+|B|-|AB|【注注】：1 1）推广：设）推广：设A A，B B，C C为有限集合，则为有限集合，则【注注】:对任意集合对任意集合A,A,A,A(A),(A),当当AA时时,则则|(A)|(A)|2 2，当，当
6、A A时时,|(A)|(A)|1 1本讲稿第八页，共二十页 2 2）设）设 为为n n个有限集合，则个有限集合，则例例1 1：1515名居民中，有名居民中，有1212名工人，名工人，5 5名干部，名干部，3 3名既是工人又是名既是工人又是干部，求既不是工人又不是干部的居民人数。干部，求既不是工人又不是干部的居民人数。本讲稿第九页，共二十页例例2 2：假设某班有：假设某班有2020名学生，其中有名学生，其中有1010人英语成绩为优，有人英语成绩为优，有8 8人数学成绩为优，又知有人数学成绩为优，又知有6 6人英语和数学成绩都为优。问人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？两门课都不
7、为优的学生有几名？解解 设设A,BA,B分别表示英语成绩和数学成绩是优的学生组成的分别表示英语成绩和数学成绩是优的学生组成的集合集合，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是ABAB。由由题意可知题意可知|A|A|10|B|10|B|8|AB|8|AB|6 6本讲稿第十页，共二十页由包含排斥原理可得：由包含排斥原理可得：|AB|AB|A|+|B|-|AB|A|+|B|-|AB|10+8-6=1210+8-6=12所以两门课都不是优的学生数为：所以两门课都不是优的学生数为：20-|20-|AB|AB|8 8。本讲稿第十一页，共二十页 1 1、集合的运算、集合的
8、运算 用文氏图表示集合之间的并运算：用文氏图表示集合之间的并运算：a)a)并运算并运算二、集合的运算二、集合的运算 本讲稿第十二页，共二十页 b)b)交运算交运算 注注：若：若 ，则称，则称A A，B B是分离的。是分离的。用文氏图表示为：用文氏图表示为：本讲稿第十三页，共二十页c)c)差运算差运算例：例：E=1,2,3,a,b,c,A=1,2,a,b,B=2,3,b,cE=1,2,3,a,b,c,A=1,2,a,b,B=2,3,b,c则则A-B=1,a,B-A=3,cA-B=1,a,B-A=3,c 注注(1)(1)差运算不满足交换律。差运算不满足交换律。(2)(2)本讲稿第十四页，共二十页
9、d)d)补运算补运算 AU 注注：用文氏图表示为：用文氏图表示为：本讲稿第十五页，共二十页e)e)对称差运算对称差运算 用文氏图表示为：用文氏图表示为：本讲稿第十六页，共二十页三、集合恒等式三、集合恒等式（1 1）交换律：）交换律：ABABBA ABBA ABBABA（2 2）结合律：结合律：(AB)CAB)CA(BC)A(BC)(AB)CAB)CA(BC)A(BC)（3 3）分配律：分配律：(AB)CAB)C(AC)(B(AC)(BC)C)(AB)CAB)C(AC)(BC)(AC)(BC)（4 4）同一律：同一律：AAA AUA AUA A（5 5）互补律：互补律：AAA AU AU AA
10、A本讲稿第十七页，共二十页（6 6）零一律：）零一律：AUAUU AU A（7 7）幂等律：）幂等律：AAAAA AAA AAA A（8 8）吸收律：）吸收律：AA(AB)AB)A A A A(AB)AB)A A（9 9）双重否定律：）双重否定律：(A)A)A A（1010）狄狄摩根定律：摩根定律：(AB)=(AB)=AAB B (AB)=(AB)=AAB B 本讲稿第十八页，共二十页【注注】1 1、对、对De MorganDe Morgans Laws Law的推广。的推广。a)a)b)b)设设为为n n个集合，则个集合，则2 2、对吸收律及、对吸收律及,E E的唯一性；的唯一性；A A的唯一性，的唯一性，De De MorganMorgans Laws Law作简单证明。作简单证明。本讲稿第十九页，共二十页3 3、考虑交、并与差之间是否满足分配律。即考虑下式是、考虑交、并与差之间是否满足分配律。即考虑下式是否成立。否成立。例：证明：例：证明：本讲稿第二十页，共二十页