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1、1.1.相似的基本模型：相似的基本模型：2.2.基本辅助线：基本辅助线：3.3.基本问题类型：基本问题类型：（1 1）A字、字、8 8字；字；（3 3）角平分线；角平分线；（4 4）旋转型；旋转型；（5 5）一线三等角；一线三等角；（6 6）线束模型；线束模型；（7 7）内接矩形；内接矩形；（8 8）相似比与面积比。相似比与面积比。（2 2）反反A、反、反8 8；（1 1）作平行线构造作平行线构造A字、字、8字字；（2 2）作垂线构造直角三角形相似作垂线构造直角三角形相似（1 1）证明相似证明相似；（2 2）求线段长；）求线段长；（3 3）求线段的比；求线段的比；（4 4）证明线段的等积式。证
2、明线段的等积式。【模型模型1 1】“A”字型字型“8 8”字型字型ABCDEADEABC（1 1）对应相比：对应相比：（2 2）对应边比：对应边比：【模型模型1 1】“A”字型字型“8 8”字型字型ABCDEADEABC（1 1）对应相比：对应相比：（2 2）对应边比：对应边比：例例 1如图，梯形如图，梯形ABCD中，中，AD/BC,对角线对角线AC、BD交于点交于点O，BE/CD交交CA延长线于延长线于E求证：求证：BACDEOAD/BCBE/CD例例 2如图，如图，AB/CD，AC与与BD交于点交于点E，且，且AB=6=6，AE=4=4，AC=9.=9.（1 1）求求CD的长；的长；（2
3、2）求证：求证：ABEACB.ABCDE1.1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=CD，AD=BC，点，点E在在CD上，连上，连结结AE并延长交并延长交BC的延长线于点的延长线于点F.（1 1）求证：求证：ADEFCE；（2 2）若若AB=4=4，AD=6=6，CF=2=2，求，求DE的长。的长。EFDBCA2.2.如图如图,ADAC,BCAC,AB与与CD相交于点相交于点E,过点过点E作作EFAC交交AC于于F.（1 1）写出图中的所有相似三角形，并说明理由；写出图中的所有相似三角形，并说明理由；（2 2）求证：求证：EFDBCAADEABC【模型模型2 2】反反“A”字型反
4、字型反“8 8”字型字型ABCDE（1 1）对应相比：对应相比：（2 2）共线边乘积相等：共线边乘积相等：（）DE在内部：在内部：ACEABC【模型模型2 2】反反“A”字型反字型反“8 8”字型字型ABCE（1 1）对应相比：对应相比：（2 2）公共边平方公共边平方=共线边之积：共线边之积：（）DE拉下来经过点拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：，又称之为母子型，为相似常考模型：【模型模型2 2】反反“A”字型反字型反“8 8”字型字型ABCEABCD（）DE拉下来经过点拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：，又称之为母子型，为相似常考模型：ADEABC【模型模型2 2
5、】反反“A”字型反字型反“8 8”字型字型ABCED（）DE继续往下拉到继续往下拉到AC延长线上：延长线上：（1 1）对应相比：对应相比：（2 2）共线边乘积相等：共线边乘积相等：【模型模型2 2】反反“A”字型反字型反“8 8”字型字型ABCEDABDEC（）DE继续往下拉到继续往下拉到AC延长线上延长线上（特殊情况，燕尾特殊情况，燕尾）ADEABC【模型模型2 2】反反“A”字型反字型反“8 8”字型字型ABCDE（1 1）对应边比：对应边比：（2 2）共线边乘积相等：共线边乘积相等：ADEABC最常使用：证明图示四组相等角。最常使用：证明图示四组相等角。【模型模型2 2】反反“A”字型反
6、字型反“8 8”字型字型ABCDE拓展延伸：反拓展延伸：反“8”字，两组相似共存字，两组相似共存ACEABD证明：证明：ADEABC又又CAE=DABACEABD例例 3如图，在如图，在ABC中，点中，点D、E分别在边分别在边AB、AC上上,下列条件中不能下列条件中不能判断判断ABCAED的是的是（）A、AED=B B、ADE=C C、D、ABCEDDABCD【同步练习同步练习】如图，在如图，在ABC中，点中，点D是边是边AB上任意一点上任意一点,下列条件中下列条件中 不能不能判断判断ACDABC的是的是（）A、ACB=ADC B、ACD=ABC C、D、D分别交分别交AD、AC于于E、F两点
7、，求证：两点，求证：例例 4如图，在等腰如图，在等腰ABC中，中，AB=AC，ADBC于点于点D，CG/AB，BGEABDCFG例例 5如图，已知如图，已知BD、CE是是ABC的高。的高。（2 2）连结连结DE，求证：，求证：ADEABC；（1 1）求证：求证：AE.AB=AD.AC；AEDBCADBAEC1.1.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点P、D分别是分别是BC、AC边上的边上的点，且点，且APD=B.（1 1）求证：求证：AC.CD=CP.BP；（2 2）若若AB=1010，BC=1212，当，当PD/AB时，求时，求BP的长。的长。BACPD2.2.如图如图,D是是A
8、BC的的BC边上一点边上一点,E为为AF上一点上一点,若若DAC=B,且且CD=CE，试说明：，试说明：ACEBADABCDE3.3.如图，已知如图，已知BAC=90=90，BD=DC，DEBC交交AC于于E，交，交BA的延长线于的延长线于F.试说明：试说明：FEDCBABADBEC【模型模型3 3】角平分线型角平分线型【角平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例】EDABC（1 1）内角平分线定理：内角平分线定理：（2 2）证明：作平行线构造证明：作平行线构造A A字型相似字型相似【模型模型3 3】角平分线型角平分线型【三角形
9、两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比】EDABCF（1 1）外角平分线定理：外角平分线定理：（2 2）证明：作平行线构造证明：作平行线构造A A字型相似字型相似例例 6阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题：阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图角平分线分线段成比例定理，如图1 1，在，在ABC中，中，AD平分平分BAC，则，则.下面是这个定理的部分证明过程。下面是这个定理的部分证明过程。证明：如图证明：如图2 2，过，过C作作CE/DA，交，交BA的延长线于点的延长线于点E 任务：任务：（1 1
10、）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2 2）填空：如图填空：如图3 3，已知，已知RtABC中，中，AB=3=3，BC=4=4，ABC=90=90，AD 平分平分BAC，则，则ABD的周长是的周长是 .ABCDABCDACBDE图图1 1图图2 2图图3 3【模型模型4 4】旋转型相似旋转型相似“成对成对”出现出现ABCDE【图形图形1 1】ADEABCABCDEABDACEABCED【模型模型4 4】旋转型相似旋转型相似“成对成对”出现出现【图形图形2 2】ADEABC且且ADE、ABC都是等腰三角形都是等腰三角形DEABDACEABC
11、ABCDEABCDE（1 1）求证：求证：BAD=CAE；例例 7如图如图,点点B、D、E在一条直线上在一条直线上,BE与与AC交于点交于点F,（2 2）若若BAD=21=21,求求EBC的度数；的度数；（3 3）若连结若连结EC，求证：，求证：ABCACDCABEDF【变式练习变式练习】如图，点如图，点B、D、E在一条直线上，在一条直线上，BE与与AC交于点交于点F，并且，并且（1 1）求证：求证：ABCADEBAD=CAE，（2 2）求证：求证：AEFBFCABCDFE【模型模型5 5】一线三等角相似一线三等角相似【一级形态一级形态】基本一线三等角，锐角钝角，基本一线三等角，锐角钝角，B=
12、C=EDFBEDCDFDABCEFDBCAEFDEBCF证明：证明：EDC=B+BEDBED=FDCBEDCDF又又B=C=EDFEDF+FDC=B+BED横横横横=竖竖竖竖（1 1）对应边比：对应边比：（2 2）变形公式：变形公式：【模型模型5 5】一线三等角相似一线三等角相似【一级形态一级形态】基本一线三等角，锐角钝角，基本一线三等角，锐角钝角，B=C=EDFBEDCDFDEBCFEBDCFD是是BC的中点的中点BDECFDEDF且且DE、DF是角平分线是角平分线【模型模型5 5】一线三等角相似一线三等角相似【二级形态二级形态】三垂直模型三垂直模型K型相似型相似BEDCDFDEBCFFEB
13、DC【模型模型5 5】一线三等角相似一线三等角相似【二级形态二级形态】三垂直模型三垂直模型K型相似型相似BEDCDFFEBDCFBDCEFEDBQMCRTP基本结论基本结论1 1：BEDCDF，将图中相似三角形进行平移仍相似，将图中相似三角形进行平移仍相似基本结论基本结论2 2：矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：基本结论基本结论3 3：特别地，当矩形特别地，当矩形PQTR为正方形时，为正方形时，DE=MF.例例 8如图，等边如图，等边ABC中，边长为中，边长为6 6，D是是BC边上动点，边上动点，EDF=60=60.（1 1）求证：求证：BDECFD；
14、（2 2）当当BD=1=1，FC=3=3时，求时，求BE的长。的长。BADCEFABCPQ【变式练习变式练习】如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC=5=5，BC=8=8，点，点P、Q分别在射分别在射 线线CB、AC上上（点点P不与点不与点C、点、点B重合重合），且保持，且保持APQ=ABC.（1 1）若点若点P在线段在线段CB上，且上，且BP=6=6，求线段，求线段CQ的长；的长；（2 2）若若BP=x，CQ=y,求求y与与x的关系式，并求出自变量的关系式，并求出自变量x的取值范围。的取值范围。例例 9如图如图,ABC是等边三角形是等边三角形,点点D、E分别在分别在BC、AC上上,且且BD
15、=CD，AD与与BE相交于点相交于点F.（1 1）求证：求证：ABDBCE；（3 3）当当AF=7=7，DF=1=1时，求时，求BD的长。的长。（2 2）求证：求证：ABEFAE；BACEFD【变式变式】如图，如图，ABBC，DCBC，E是是BC上一点，使得上一点，使得AEDE.（1 1）求证：求证：ABEECD；（2 2）若若AB=4=4，AE=BC=5=5，求，求CD的长；的长；（3 3）当当AEDECD时，求线段时，求线段AD、AB、CD之间的数量关系。之间的数量关系。EDBCA【模型模型6 6】内接矩形内接矩形高之比等于相似比高之比等于相似比（横比横比=竖比竖比）共性：共性：A字型相似
16、字型相似EDABCFEABCDHFNMEFABCHDNM例例10如图，如图，ABC是一块余料，边是一块余料，边AB=9090厘米，高厘米，高CN=6060厘米，要把厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在它加工成正方形零件，使正方形的一边在AB上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在BC、AC上。上。（1 1）这个正方形零件的边长是多少？这个正方形零件的边长是多少？（2 2）如果把正方形的零件改变为加工矩形零件，设如果把正方形的零件改变为加工矩形零件，设DP=x，DE=y，写出，写出y 与与x之间的函数关系式，试确定之间的函数关系式，试确定x的取值范围。的取值范围。（3 3）当当DE
17、是是DP的的1.51.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?（4 4）在问题在问题（3 3）中，具体操作时，发现在中，具体操作时，发现在AB线段上离线段上离B点点3434cm处有一处有一 蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得量得BN=70cm）PBACDEFMNPBACDEFMN1.1.如图如图,ABC是一块锐角三角形余料是一块锐角三角形余料,边边BC=120120毫米毫米,高高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形
18、的一边在BC上，其上，其余两个顶点分别在余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？上，这个正方形零件的边长是多少？MPBNQEDCA2.2.如图如图,ABC中中,BC=24cm=24cm，高，高AD=12cm=12cm，矩形，矩形EFGH的两个顶的两个顶点点E、F在在BC上上,另两个顶点另两个顶点G、H在在AC、AB上上,且且EF:EH=4:3,=4:3,求求EF、EH的长。的长。ABCHEFGKD【模型模型7 7】线束模型线束模型ABCEFMNABCEFNM“A”字线束：字线束：若若EF/BC，则有，则有“8”字线束：字线束：若若EF/BC，则有，则有（1 1）求证：求证：ADFACG；例例11如图，在如图，在ABC中，点中，点D、E分别在边分别在边AB、AC上上,AED=B，射线射线AG分别交线段分别交线段DE、BC于点于点F、G，且，且 .（2 2）若若 ，求，求 的值。的值。ADFEBGC【模型模型8 8】相似比与面积比相似比与面积比【技巧技巧】与平行有关的相似，所有面积之比只看与平行有关的相似，所有面积之比只看“A”字相似的三角形字相似的三角形的相似比，其他相似利用割补法进行转化。的相似比，其他相似利用割补法进行转化。ABCFEMNS2 2S3 3S1 1FABCEDS1 1S2 2S3 3