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1、黄金分割与斐波纳契数列一些有趣的现象：什么是黄金分割？什么是黄金分割？黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为数值比为1.618:11.618:1或或 1:0.618 1:0.618，也就是说长段的平方，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。等于全长与短
2、段的乘积。什么是什么是黄金黄金分割？分割？点点C C把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段ACAC和和B B如果如果 那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄金分割黄金分割,点点C C叫做线段叫做线段ABAB的黄金分割点的黄金分割点,AC,AC与与ABAB的比叫做黄金比的比叫做黄金比.什么是什么是黄金黄金分割？分割？ABC如果把如果把 化为乘积式是化为乘积式是ACAC叫做叫做ABAB和和BCBC的比例中项的比例中项黄金分割点的作法黄金分割点的作法 怎么样用直尺和圆规找出这一点来？怎么样用直尺和圆规找出这一点来？过过B B点作一条直线垂直点作一条直线垂直ABAB，然后在这直线上取线段，
3、然后在这直线上取线段BDBD，使得，使得BDBD的长是的长是ABAB的一半，然后联结的一半，然后联结ADAD。再以。再以D D为圆为圆心，心，DBDB的长为半径画一个弧，这弧交的长为半径画一个弧，这弧交ADAD于于E E点，然后再点，然后再以以A A为圆心，为圆心，AEAE的长为半径画弧，这弧交的长为半径画弧，这弧交ABAB于于C C点，这点，这C C点就是所要找的将点就是所要找的将ABAB黄金分割的点。（见图一）黄金分割的点。（见图一）一个有趣的实验：一个有趣的实验：这四个矩形，哪一个看上去更协调匀称？这四个矩形，哪一个看上去更协调匀称？一个有趣的实验：一个有趣的实验：这四个矩形看上去那一个
4、最协调匀称这四个矩形看上去那一个最协调匀称一个有趣的实验：这四个矩形，哪一个看上去更协调匀称？这四个矩形，哪一个看上去更协调匀称？一个有趣的实验：这三个矩形，哪一个看上去更协调匀称？这三个矩形，哪一个看上去更协调匀称？一个有趣的实验：一个有趣的实验：心理学家测量了大家选出来的矩形心理学家测量了大家选出来的矩形斐波纳契数列斐波纳契数列 斐波纳契斐波纳契(1170-1240)(1170-1240)是中世纪意大是中世纪意大利数学家，他也许是这利数学家，他也许是这20002000年间欧洲最杰年间欧洲最杰出的数论学家。我们对他的生平知道得很出的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来因
5、为伽里略少。他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作算盘书中，引系。在他最重要的著作算盘书中，引进了印度进了印度-阿拉伯数码（包括阿拉伯数码（包括0 0）及其演算）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。程方面有重要贡献。坐落在意大利比萨
6、的坐落在意大利比萨的斐波纳契雕像斐波纳契雕像斐波那契斐波那契 神奇数字神奇数字 斐波那契曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世斐波那契曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世(神神圣罗马帝国圣罗马帝国)的坐上客。的坐上客。斐波那契螺旋斐波那契螺旋什么是什么是“斐波纳契数列斐波纳契数列”斐波纳契是在解一道斐波纳契是在解一道关于兔子繁殖的问题时，关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。假定你得出了这个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后一对兔
7、子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多亡，在一年后总共会有多少对兔子？少对兔子？在一月底，最初的一对兔在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有子交配，但是还只有1 1对兔子；对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，在二月底，雌兔产下一对兔子，共有共有2 2对兔子；在三月底，最对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共老的雌兔产下第二对兔子，共有有3 3对兔子；在四月底，最老对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个
8、的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，月前生的雌兔产下一对兔子，共有共有5 5对兔子；对兔子；如此这般如此这般计算下去，兔子对数分别是：计算下去，兔子对数分别是：1,1,2,3,5,8,13,21,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.34,55,89,144,.看出规看出规律了吗？律了吗？从第从第3 3个数目开始，每个数个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。目都是前面两个数目之和。什么是什么是“斐波纳契数列斐波纳契数列”斐波那契数列依次类推可以列出下表：依次类推可以列出下表：所经过月数：所经过月数：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、1
9、2 兔子对数：兔子对数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 黄金分割与斐波纳契数列的关系黄金分割与斐波纳契数列的关系 黄金数是方程黄金数是方程 的根，整理的根，整理方程有：方程有：我们利用这个关系构造一个数列：我们利用这个关系构造一个数列：黄金分割与斐波纳契数列的关系黄金分割与斐波纳契数列的关系 我们可以得到：我们可以得到：这些数总在这些数总在0.6180.618左右，而且他们的分子、分母都是左右，而且他们的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。相邻的斐波纳契数。因此，往往我们在谈论因此，往往我们在谈论“黄金分割黄金分割”或或“黄金数黄金数”时，时，通常还包含通常还包含“斐
10、波纳契数列斐波纳契数列”或或“斐波纳契数斐波纳契数”。植物的神秘数字 大自然里一些花草长出的大自然里一些花草长出的枝条也会出现斐波那契数，有枝条也会出现斐波那契数，有一种叫一种叫“喷嚏麦喷嚏麦”（SneezewortSneezewort的直译），的的直译），的花草，新的一枝从叶腋长出，花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝又从旧枝长出来，而另外的新枝又从旧枝长出来，老枝条和新枝条的数目的和就老枝条和新枝条的数目的和就像那兔子问题一样。像那兔子问题一样。植物的神秘数字植物的神秘数字 在中国，梅花有着类似的象征意义。在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅民间传说梅花五
11、瓣代表着五福。民国把梅花定为国花。花定为国花。但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：常见的花瓣数还有：3 3枚，鸢尾花、百合花枚，鸢尾花、百合花(看上去看上去6 6枚，实际上是两套枚，实际上是两套3 3枚枚)；8 8枚，飞枚，飞燕草；燕草；1313枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是是2121枚，有的是枚，有的是34
12、34枚；雏菊的花瓣有的是枚；雏菊的花瓣有的是3434、5555或或8989枚。而其他数目花瓣的花则很枚。而其他数目花瓣的花则很少。少。植物的神秘数字计算机绘制的斐波纳契螺旋计算机绘制的斐波纳契螺旋生命的神秘数字生命的神秘数字动物界的神秘数字动物界的神秘数字人体的黄金分割点人体的黄金分割点人体的黄金分割点人体的黄金分割点面部的黄金分割面部的黄金分割维纳斯的标准体型维纳斯的标准体型 芭蕾演员虽然身材芭蕾演员虽然身材修长，但其腰长与身高修长，但其腰长与身高之比平均约为之比平均约为0 05858，只有在翩翩起舞时、踮只有在翩翩起舞时、踮起脚尖，方能展现起脚尖，方能展现0 0618618的魅力。的魅力。
13、健康的黄金分割率健康的黄金分割率 气温在人体正常体温气温在人体正常体温的黄金分割点上的黄金分割点上2323左右左右时，恰是人的身心最适度时，恰是人的身心最适度的温度；医学专家也观察的温度；医学专家也观察到，当人的脑电波频率下到，当人的脑电波频率下限是限是8 8赫兹，而上限是赫兹，而上限是12.912.9赫兹，上下限的比率接近赫兹，上下限的比率接近于于0.6180.618时，乃是身心最具时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正快乐欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也常人的心跳在心电图上也显示出显示出T T波出现的位置恰好波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的大约是一次心跳节拍的“黄金分割黄金分割
14、”位置上（如图）位置上（如图）。生命的黄金分割生命的黄金分割 最有意味的是，在人的生命最有意味的是，在人的生命程序程序DNA DNA 分子中，也包含着分子中，也包含着“黄金黄金分割比分割比”。它的每个双螺旋结构中。它的每个双螺旋结构中都是由长都是由长 34 34个埃与宽个埃与宽2121个埃之比个埃之比组成的，当然组成的，当然3434和和2121是斐波那契系是斐波那契系列中的数字，它们的比率为列中的数字，它们的比率为1.61904761.6190476，非常接近黄金分割的，非常接近黄金分割的1.61803391.6180339。这是否说明黄金分割。这是否说明黄金分割律是比律是比DNADNA中的遗
15、传密码更基本的中的遗传密码更基本的东西？因为承载东西？因为承载DNADNA的结构的结构双双螺旋结构螺旋结构也遵循黄金分割律。也遵循黄金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的黄金分割律也许是我们的宇宙的DNADNA中的遗传密码？中的遗传密码？建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字建筑中的神秘数字绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割绘画艺术中的黄金分割武器装备与黄金分割武器装备与黄金分割 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方
16、便于抓握和瞄和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了准。到了19181918年，一个名叫阿尔文年，一个名叫阿尔文约克的美远征军下约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合的比例恰恰符合0.6180.618的比例。的比例。拿破仑兵败黄金分割拿破仑兵败黄金分割 拿破仑可能怎么也不会想到，他的命拿破仑可能怎么也不会想到，他的命运会与运会与0.6180.618紧紧地联系在一起。紧紧地联系在一起。18121812年年6 6月，月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏
17、季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时正从他身上一点点意识到，天才和运气此时正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，进军加上两个月的
18、盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩法兰西皇帝俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。着黄金分割线。黄金分割与优选法黄金分割与优选法 数学上最优化问题的解决方法数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：间接最优化方法和大致分为两类：间接最优化方法和直接最优化方法。间接最优化方法直接最优化方法。间接最优化方法是把研究对象用数学方程表示出来，是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学方法求最优解。但在许多再用数学方法求最优解。但在许多情况下，对象本身处理不清楚，间情况下，对象本身处理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人们就通过大量试验来寻接最优化方法就无法使用，于是人们
19、就通过大量试验来寻找最优解。如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就找最优解。如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法。如果将实验点定在区间的是直接最优化方法。如果将实验点定在区间的0.6180.618左右，左右，那么实验的次数将大大减少。那么实验的次数将大大减少。实验统计表明，对于一个因素问题，用实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法法”做做16次实验，就可以取得次实验，就可以取得“对分法对分法”做做2500次试验所次试验所达的效果。达的效果。20世纪世纪50、60年代华罗庚在全国推广年代华罗庚在全国推广“0.618法法”，在生产中获得大量应用，特别在工程设计方面应用，在生产中获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳。最多，成效最佳。黄金分割与优选法黄金分割与优选法黄金分割美的本质其实就是黄金分割美的本质其实就是“和谐和谐”！