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1、1专题对点练 8 导数与函数的零点及参数范围1.(2018 全国,文 21)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.2.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b R,a1),e是自然对数的底数.(1)当a=e,b=4 时,求函数f(x)零点个数;(2)若b=1,求f(x)在-1,1 上的最大值.3.已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e 为自然对数的底数,aR).(1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数;(2)当x时,若函数y=f(x)-g(x
2、)有两个零点,求a的取值范围.4.(2018 天津,文 20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若d=3,求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.2专题对点练8 答案1.解 (1)当a=3 时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x(-,3-2)(3+2,+)时,f(x)0;当x(3-2,3+2)
3、时,f(x)0,所以f(x)=0 等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g(x)=0,仅当x=0 时g(x)=0,所以g(x)在(-,+)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-60,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.2.解 (1)由题意f(x)=ex+x2-x-4,f(x)=ex+2x-1,f(0)=0,当x0 时,ex1,f(x)0,故f(x)是(0,+)上的增函数;当x0 时,ex1,f(x)0,故f(x)是(-,0)上的减函数.f(1)=e-40,存在x1(1,2)是f(x)在(0,+)上的唯一零点;f(-
4、2)=+20,f(-1)=-20 时,由a1,可知ax-10,ln a0,f(x)0;当x1,可知ax-10,f(x)0).g(x)=1+0(当且仅当x=1 时等号成立),g(x)在(0,+)上单调递增,而g(1)=0,当x1 时,g(x)0,即当a1 时,a-2ln a0,f(1)f(-1).f(x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a.3.解 (1)f(x)=ln x+1,所以切线斜率k=f(1)=1.又f(1)=0,所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.由得x2+(1-a)x+1=0.由=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知:当 0,即a
5、3 时,有两个公共点;当=0,即a=-1 或a=3 时,有一个公共点;当 0,即-1ah(e),所以,结合函数图象可得,当 31 时,令g(x)=0,解得x1=-,x2=.易得,g(x)在(-,x1)上单调递增,在x1,x2 上单调递减,在(x2,+)上单调递增.g(x)的极大值g(x1)=g+60.g(x)的极小值g(x2)=g=-+6.若g(x2)0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)27,也就是|d|,此时|d|x2,g(|d|)=|d|+60,且-2|d|x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6-62+60,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以,d的取值范围是(-,-)(,+).