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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明类型一特殊平行四边形的阅读理解问题1.阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（）A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 以上答案都不对（2）如图，等腰RtABD中，BAD=90.若点 C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD 的和谐线，且 AB=BC，请直接写出ABC的度数.2 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为
2、第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n 阶奇异矩形如图 1，矩形 ABCD中，若 AB=2，BC=6，则称矩形ABCD 为 2 阶奇异矩形（1）判断与操作：如图2，矩形 ABCD 长为 5，宽为 2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由（2）探究与计算：已知矩形ABCD 的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3 阶奇异矩形，请画出矩形ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a 的值推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料3.如图，ABC中
3、，已知 BAC 45，AD BC于 D，BD2，DC 3，求 AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长 EB、FC相交于 G点，求证：四边形AEGF 是正方形；（2）设 AD=x，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.类型二特殊平行四边形的探究性问题4.如图，ABC中，点 O为 AC边上的一个动点，过点O作直线 MN BC，设 MN交 BCA的外角平分线 CF于点 F，交 ACB内角平分线CE于 E（1）求证：EO=FO；（2）当点
4、 O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）若 AC边上存在点O，使四边形AECF 是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论.5.翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料在此基础上，思考并解答以下新问题：（1）当 BAC 60时，四边形ADEF是平行四边形吗？请说明理由；（2）当 ABC满足什么条件，四边形ADEF是菱形？请说明理由；（3）当 ABC满足什么条件，四边形ADEF是矩形？请说明理由；（4）当 ABC满足什么条件，四边形ADEF是正方形？请说明理由.6.（1）如图 1，在正方形ABCD中，E是 AB上一点，F 是 AD延长线上一
5、点，且DFBE.求证：CECF；（2）如图 2，在正方形ABCD中，E是 AB上一点，G是 AD上一点，如果GCE 45，请你利用（1）的结论证明：GE BEGD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD中，AD BC，（BCAD），B90，AB BC，E 是 AB上一点，且 DCE 45，BE 4，DE 10，求四边形ABCD的面积7 如图，已知在Rt ABC中，ABC=90，C=30，AC=12cm，点 E从点 A出发沿 AB以每秒 1cm的速度向点B运动，同时点D 从点 C出发沿 CA以每秒 2cm的速度向点A运动，运动时间为t 秒（0t 6），
6、过点 D作 DF BC于点 F（1）试用含t 的式子表示AE、AD的长；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2）如图 1，在 D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；（3）如图 2，连结 DE，当 t 为何值时，DEF为直角三角形？（4）如图 3，将 ADE沿 DE翻折得到 ADE，试问当t 为何值时，四边形AEA D为菱形？8.如图，AB CD，点 E，F 分别在 AB，CD上，连结EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H.（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作 MN EF，分别交AB，C
7、D于点 M，N，过 H作 PQ EF，分别交AB，CD于点 P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.由 AB CD，MN EF，PQ EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件，MN EF，故只要证GM=FQ，即证 MGE QFH，易证、.故只要证MGE=QFH，易 证 MGE=GEF，QFH=EFH，即可得证.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料参考答案专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明1.（1）C 【点拨】根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个
8、等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形故选 C.（2）等腰RtABD中，BAD=90，AB=AD.AC为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB=BC，分三种情况讨论：若AD=CD，如图 1，则凸四边形ABCD 是正方形，ABC=90；若 AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，ABC是等边三角形，ABC=60；若 AC=DC，如图 3，则可求 ABC=150 .2.（1）矩形 ABCD是 3 阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下：3.（1）证明：由题意可得：ABD ABE，ACD ACF DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45，EAF=90 又 AD
9、 BC，E=ADB=90，F=ADC=90 四边形AEGF是矩形，又 AE=AD，AF=AD，AE=AF 矩形 AEGF是正方形（2）设 AD=x，则 AE=EG=GF=x BD=2，DC=3，BE=2，CF=3，BG=x-2，CG=x-3，在 RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52 化简得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以AD=x=6 4.（1）CE平分 ACB，ACE=BCE，MN BC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF；（2）当点O运动到 AC中点处时，四边形AECF是矩形如图 AO=CO，
10、EO=FO，四边形AECF为平行四边形，设ABC的外角为 ACG，CE平分 ACB，ACE=21ACB，同理，ACF=21ACG，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料 ECF=ACE+ACF=21（ACB+ACG）=21 180=90，四边形AECF是矩形；（3）ABC是直角三角形，四边形AECF是正方形，AC EN，故 AOM=90，MN BC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直角三角形5.（1）不是，此时FAD 180，四边形FAED将变成一线段；（2）当 ABC满足 AB AC且 BAC 60时，四边形ADEF是菱形，理由略；（3）当 ABC满足 BAC 150时，四边形ADE
11、F是矩形，理由略；（4）当 ABC满足 AB AC且 BAC 150时，四边形ADEF 是正方形，理由略.6.（1）四边形ABCD 是正方形，BCCD，B CDF 90，BEDF，CBE CDF（SAS）CE CF.（2）证明：如图 1，延长 AD至 F，使 DFBE，连结 CF.由（1）知 CBE CDF，BCE DCF.BCE ECD DCF ECD，即 ECF BCD 90，又 GCE 45，GCF GCE 45.CE CF，GC GC，ECG FCG.GE GF，GE GF DFGD BE GD.（3）如图 2，过 C作 CG AD，交 AD延长线于G.在四边形ABCD 中，AD BC
12、，A B90，又 CGA 90，AB BC，四边形ABCG 为正方形AG BC.DCE 45，根据（1）（2）可知，ED BE DG.104DG，即 DG 6.设 AB x，则 AEx 4，AD x6，在 Rt AED中，DE2 AD2 AE2，即 102（x6）2（x4）2.得：x12 或 x 2（舍去）AB 12.S梯形 ABCD 21（AD BC）AB 21（612）12108.即四边形ABCD 的面积为108.7.（1）AE=t，AD=12-2t.（2）DF BC，C=30，DF=21CD=212t=t.AE=t，DF=AE.ABC=90，DFBC，DFAE.四边形AEFD 是平行四边
13、形.（3）显然 DFE 90.如图1，当 EDF=90 时，四边形EBFD为矩形，此时AE=21AD，t21（12-2t）.t=3.如图2，当 DEF=90时，此时 ADE=90，AED=90-A=30.AD=21AE.12-2t 21t.t 524.综上：当t=3 秒或 t 524秒时，DEF为直角三角形.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（4）如图 3，若四边形AEA D为菱形，则 AE=AD.t=12-2t.t=4.当 t=4 秒时，四边形 AEA D为菱形.8.（1）证明：EH平分 BEF，FEH=21BEF，FH平分 DFE，EFH=21DFE，ABCD，BEF+DFE=180
14、，FEH+EFH=21（BEF+DFE）=21180=90，FEH+EFH+EHF=180，EHF=180-（FEH+EFH）=180-90=90，同理可得：EGF=90，EG平分 AEF，GEF=21AEF，EH平分 BEF，FEH=21BEF，点 A、E、B在同一条直线上，AEB=180，FEG+FEH=21（AEF+BEF）=21180=90，即 GEH=90，四边形EGFH 是矩形；（2）答案不唯一：由ABCD，MN EF，PQ EF，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证MNQP 是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分 CFE，MN EF，故只要证GM=FQ，即证 MGE QFH，易证 GE=FH，GME=FQH，故只要证 MGE=QFH，易证 MGE=GEF，QFH=EFH，GEF=EFH，即可得证.