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1、试题、试卷、习题、复习、教案精选资料1专题强化练十四椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1(2019合肥调研)已知双曲线C：y2a2x2b21(a0，b0)的一条渐近线与直线2xy10 垂直，则双曲线C的离心率为()A2 B.2 C.3 D.5 解析：依题意，2ab 1，所以b2a.则e2 1ba2 5，所以e5.答案：D 2(2018济南质检)已知抛物线C：x24y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若PAPB0，则直线OA与OB的斜率之积为()A14 B 3 C18 D 4 解析：由x2 4y，得yx2.设A xA，x2A4，B xB，x2B
2、4.由PAPB0，得PAPB.所以xA2xB2 1，则xAxB 4，又kOAkOBx2A4xAx2B4xBxAxB1614.答案：A 3(2018河南郑州二模)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为23，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.x23y21 B.x23y221 C.x29y241 D.x29y251 解析：由题意可得ca23，4a 12，解得a3，c2，则b32225，所以所求椭试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2圆C的方程为x29y251.答案：D 4(2017全国卷)已知F是双曲线C：x2y231
3、 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A.13 B.12 C.23 D.32解析：由c2a2b24，得c2，所以F(2，0)将x2 代入x2y231，得y3，则|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为123(2 1)32.答案：D 5已知F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x24y221 B.x23y221 C.x24y281 Dx2y221 解析：不妨设点P(x0，y0)在第一象限，则PF2x轴在 RtP
4、F1F2中，PF1F230，|F1F2|2c，所以P c，233c，则c2a24c23b21.又 2b22，知b2，又c2a2b2a22，代入得a21，故双曲线的标准方程为x2y221.答案：D 二、填空题6(2018北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_解析：对于y24ax，令x 1，得y2a，由于l被抛物线y24ax截得的线段长为4，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料3所以 4a4，则a1.故抛物线的焦点F(1，0)答案：(1，0)7(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右
5、焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是_解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为ybax，所以|bc|a2b2b32c，所以b2c2a234c2，得c2a，所以双曲线的离心率eca 2.答案：2 8在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2y2b2 1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2 2py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2a2y2b21，x22py，消去x得a2y22pb2ya2b2 0，由根与系数的关系得y1y22b2a2p，又因为|AF|BF|4|OF|，所以y1p2y
6、2p24p2，则y1y2p.所以2b2a2pp，即b2a212?ba22.所以双曲线渐近线方程为y22x.答案：y22x三、解答题9(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由yk（x1），y24x得k2x2(2k24)xk2 0.16k2160，故x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由
7、题设知4k24k28，解得k 1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216.解得x03，y02，或x011，y0 6.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x 11)2(y6)2 144.10(2017北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.
8、求证：BDE与BDN的面积之比为45.(1)解：设椭圆C的方程为x2a2y2b21(ab0)由题意得a 2，ca32，解得c3.所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为x24y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，n)由题设知m2，且n0.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料5直线AM的斜率kAMnm2，故直线DE的斜率kDEm2n.所以直线DE的方程为ym2n(xm)，直线BN的方程为yn2m(x2)联立ym2n（xm），yn2m（x2），解得点E的纵坐标yEn（4m2）4m2n2.由点M在椭圆C上，得 4m24n2，所以yE45n.又SBDE12|BD|yE|25|BD|
9、n|，SBDN12|BD|n|.所以BDE与BDN的面积之比为45.11设F1，F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(ab 0)的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1在y轴上的截距为34，且|MF2|35|MF1|.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykxt与椭圆C交于E、F两点，且直线l与圆 7x27y212 相切，求OEOF的值(O为坐标原点)解：(1)设直线MF1与y轴的交点为N，则|ON|34.因为MF2x轴，所以在F1F2M中，ON12MF2，则|MF2|32.又|MF2|MF1|2a，|MF2|35|MF1|，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料6所以
10、|MF2|34a32，所以a2.又|MF2|b2a，所以b23.所以椭圆C的标准方程为x24y231.(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立ykxt，x24y23 1，消y得(3 4k2)x28ktx4t2120.所以x1x28kt34k2，x1x24t2123 4k2，(8kt)24(3 4k2)(4t212)0，得t234k2，(*)则OEOFx1x2y1y2x1x2(kx1t)(kx2t)(1 k2)x1x2kt(x1x2)t2（1k2）（4t212）34k28k2t234k2t2（34k2）34k27t212（1k2）34k2.又直线l与圆 7x27y212 相切，所以|t|1k2127，则 1k2712t2满足(*)式，故OEOF7t212712t234k20.