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1、分析力学与弹性力学1第1页，共146页，编辑于2022年，星期五可采用的力学方法可采用的力学方法1、以牛顿运动定律为基础、以牛顿运动定律为基础矢量力学矢量力学(牛顿力学牛顿力学)力、动量力、动量问题：问题：矢量力学如何解决多质点、多约束质点系问题？矢量力学如何解决多质点、多约束质点系问题？2、以变分原理为基础、以变分原理为基础将基本定律表示为分析数学形式将基本定律表示为分析数学形式分析力学分析力学势函数、动能势函数、动能2第2页，共146页，编辑于2022年，星期五约束、约束方程及其分类约束、约束方程及其分类一、约束与约束方程一、约束与约束方程约约束束(constraint)：对非自由系统各质
2、点位置和速度所加的对非自由系统各质点位置和速度所加的 几何学或运动学限制。几何学或运动学限制。约束方程约束方程(constraintequation)：约束条件的数学表达式。约束条件的数学表达式。yxMyxMAM3第3页，共146页，编辑于2022年，星期五二、约束的分类二、约束的分类几何约束几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置的约束只限制质点或质点系在空间的位置的约束运动约束运动约束：除限制质点位置，还限制质点速度的约束除限制质点位置，还限制质点速度的约束oR纯滚动纯滚动约束方程约束方程:可积分可积分可积分的运动约束可积分的运动约束4第4页，共146页，编辑于2022年，星期五yxMyx
3、M双面约束双面约束(bilateralconstraint)：约束方程为约束方程为等式等式的约束的约束单面约束单面约束(unilateralconstraint)：约束方程为约束方程为不等式不等式的约束的约束定常约束定常约束(steadyconstraint)：约束方程中约束方程中不显含时间不显含时间t 的约束的约束非定常约束非定常约束(unsteadyconstraint)：约束方程中约束方程中显含时间显含时间t的约束的约束AM5第5页，共146页，编辑于2022年，星期五非完整约束非完整约束(nonholonomicconstraint)：不可积分的运动约束不可积分的运动约束完整约束完整约
4、束(holonomicconstraint)：几何约束与可积分的运动约束几何约束与可积分的运动约束6第6页，共146页，编辑于2022年，星期五L广义坐标与自由度广义坐标与自由度M自由度数自由度数（degreeoffreedom)：确定具有完整约束质点系位置所需独确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。立坐标的个数。广义坐标广义坐标(generalizedcoordinate)：唯一确定质点系位置的独立参数唯一确定质点系位置的独立参数广义坐标广义坐标：x、y或或x、z或或y、z自由度：自由度：N广义坐标数：广义坐标数：k无约束时系统自由度数：无约束时系统自由度数：3n完整约束方程数：完整
5、约束方程数：s非完整约束方程数：非完整约束方程数：r非非完整约束：完整约束：（广义坐标数（广义坐标数k系统自由度数系统自由度数N）各质点的位置矢径：各质点的位置矢径：7第7页，共146页，编辑于2022年，星期五例：写出以下双连刚杆质点系的约束方程，并判断自由度例：写出以下双连刚杆质点系的约束方程，并判断自由度解：解：双连刚杆双质点系的约束方程：双连刚杆双质点系的约束方程：自由度数：自由度数：广义坐标：独立参数广义坐标：独立参数角度角度梁的挠度曲线：梁的挠度曲线：广义坐标广义坐标8第8页，共146页，编辑于2022年，星期五虚位移的概念虚位移的概念一、一、实位移、可能位移和虚位移实位移、可能位
6、移和虚位移 真实位移真实位移：满足满足约束方程约束方程和和运动微分方程、初始条运动微分方程、初始条件件的微小位移，是实际发生的位移。的微小位移，是实际发生的位移。针对双面、完整约束针对双面、完整约束设质点系设质点系(N个质点个质点)受受k个双面、完整约束，则个双面、完整约束，则约束方程约束方程：简写为：简写为：例：固定斜面上的物体只例：固定斜面上的物体只受重力作用，求：真实位受重力作用，求：真实位移方向移方向问题：真实位移有多少个？问题：真实位移有多少个？9第9页，共146页，编辑于2022年，星期五可能位移可能位移：只满足只满足约束方程约束方程的无限小位移。的无限小位移。约束方程约束方程：约
7、束方程两边对约束方程两边对t t求导：求导：约束方程的微分约束方程的微分例：斜面上的物体只例：斜面上的物体只受重力作用，求：可受重力作用，求：可能位移能位移问题：可能位移有多少个？问题：可能位移有多少个？或：或：可能速度可能速度可能位移可能位移10第10页，共146页，编辑于2022年，星期五约束方程约束方程：虚位移虚位移：满足满足约束方程约束方程且无时间进程设想的可能位移。且无时间进程设想的可能位移。在数学上在数学上：虚位移虚位移 满足以下条件满足以下条件:约束方程的微分：约束方程的微分：与时间变化无关与时间变化无关11第11页，共146页，编辑于2022年，星期五约束方程约束方程：1、若约
8、束定常，若约束定常，无穷小可能位移无穷小可能位移就是虚位移，就是虚位移，无穷小真实位移无穷小真实位移也是虚位移之一。也是虚位移之一。虚位移满足：虚位移满足：例：斜面固定，物体只受重力作用，则：例：斜面固定，物体只受重力作用，则：可能位移、实位移均是虚位移可能位移、实位移均是虚位移虚位移也不唯一虚位移也不唯一约束方程的微分：约束方程的微分：12第12页，共146页，编辑于2022年，星期五2、若约束非定常若约束非定常例：斜面以速度例：斜面以速度v运动，物体只受重力作运动，物体只受重力作用，则真实位移、可能位移、虚位移是什用，则真实位移、可能位移、虚位移是什么？么？这时，这时，可能位移可能位移是物
9、体相对斜面的位移与斜面是物体相对斜面的位移与斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。位移的叠加，一般不会在斜面内。虚位移是假想约束在该时刻虚位移是假想约束在该时刻“凝固凝固”不动不动时的时的“可能位移可能位移”。虚位移在斜面内虚位移在斜面内约束方程约束方程：虚位移满足：虚位移满足：约束方程的微分：约束方程的微分：13第13页，共146页，编辑于2022年，星期五虚位移原理虚位移原理虚位移原理：虚位移原理：具有具有双面、完整、双面、完整、定常、定常、理想约束理想约束的静止的质点系，的静止的质点系，在给定位置保持在给定位置保持平衡平衡的充要条件是：的充要条件是：该质点系所有主动力在系该质点系所有主动力在
10、系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。变形体的虚位移原理变形体的虚位移原理变形体的虚位移原理：变形体的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束处于静具有双面、定常、完整、理想约束处于静止的质点系止的质点系,在给定位置处于平衡的充分必要条件是，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有其所有外外力和内力力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等于零。在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等于零。14第14页，共146页，编辑于2022年，星期五直角坐标的虚位移与广义坐标虚位移的关系：直角坐标的虚位移与广义坐标虚位移的关系：称为对应于广义坐标称为对
11、应于广义坐标的的广义力广义力广义力表示的质系平衡条件广义力表示的质系平衡条件虚位移原理：虚位移原理：广义力广义力令：令：15第15页，共146页，编辑于2022年，星期五由于广义坐标是独立的由于广义坐标是独立的，因此因此也是独立的。也是独立的。对应于广义坐标对应于广义坐标的的广义力广义力若系统有若系统有k 个自由度，虚位移原理可表示为个自由度，虚位移原理可表示为因此有：因此有：广义力广义力表示的平衡条件表示的平衡条件16第16页，共146页，编辑于2022年，星期五如何计算广义力？如何计算广义力？广义力广义力表示的平衡条件表示的平衡条件虚位移原理：虚位移原理：ABO广义力：广义力：(1)给出所
12、有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，前面前面的系数就是的系数就是。(解析法，几何法解析法，几何法)17第17页，共146页，编辑于2022年，星期五(1)给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，前面前面的系数就是的系数就是。(解析法，几何法解析法，几何法)(2)取一组特定虚位移，除取一组特定虚位移，除不为零，其余广义坐标虚位移均为零，不为零，其余广义坐标虚位移均为零，计算虚功，则：计算虚功，则：yxO例：求对应于例：求对应于的广义力。的广义力。18第18页，共146页，编辑于2022年，星期五例题例题求简支梁
13、外力对应于广义坐标求简支梁外力对应于广义坐标的的广义力广义力梁的挠度曲线：梁的挠度曲线：广义坐标：广义坐标：外力外力虚位移：虚位移：19第19页，共146页，编辑于2022年，星期五一、有势力场中的一、有势力场中的平衡条件平衡条件势力场中势力场中质点系平衡条件及平衡稳定性质点系平衡条件及平衡稳定性广义力广义力表示的平衡条件表示的平衡条件若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式？若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式？虚位移原理：虚位移原理：设质点系的势能函数为设质点系的势能函数为：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：20第20页，共146页
14、，编辑于2022年，星期五质点系在势力场中的质点系在势力场中的平衡条件平衡条件设质点系的势能函数为设质点系的势能函数为：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：质点系在势力场中的平衡充分必要条件是：由虚位移原理由虚位移原理由广义坐标的独立性由广义坐标的独立性广义力：广义力：21第21页，共146页，编辑于2022年，星期五例题例题求简支梁弹性力对应于广义坐标求简支梁弹性力对应于广义坐标的的广义力广义力梁的挠度曲线：梁的挠度曲线：广义坐标：广义坐标：外力外力虚位移：虚位移：弹性力的广义力弹性力的广义力：22第22页，共146页，编辑于2022年，星期五二、质点系在有势力场中二、质点系在有势力场中平
15、衡的稳定性平衡的稳定性ABC观察下面三种质点平衡状态观察下面三种质点平衡状态平衡的稳定性平衡的稳定性(stabilityofequilibrium)：质点系处于某一平质点系处于某一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳定的稳定的(stable)，否则是，否则是不稳定的不稳定的(unstable)。23第23页，共146页，编辑于2022年，星期五定理：定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要条件质点系在势力场中的平衡位置是稳定
16、的充分必要条件是系统在平衡位置的势能为极小值。是系统在平衡位置的势能为极小值。例：例：系统如图所示，滑块的质量为系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为杆长为L(不计质量不计质量),弹簧刚度弹簧刚度系数分别为系数分别为。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统的平衡位置并分。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性析其稳定性。平衡位置平衡位置解：解：有势系统，有势系统，1 1自由度，选广义坐标自由度，选广义坐标q q若：若：平衡位置是稳定的，否则是不稳定的平衡位置是稳定的，否则是不稳定的24第24页，共146页，编辑于2022年，星期五质点系质点系 弹性体：弹性体：弹簧力为有势力弹簧力为有势力
17、；弹性力可看作为有势力弹性力可看作为有势力 即即：弹性变形能等于引起此变形的外力所作的功弹性变形能等于引起此变形的外力所作的功弹性体变形能：弹性体变形能：（梁，柱的变形能）（梁，柱的变形能）外力势能外力势能V，最小势能原理，最小势能原理：在在给给定定的的外外力力下下，实实际际存存在在的的位位移移应应使使总总势势能能的的变变分分为为零零。即即满满足足边边界界条条件件的的各各组组位位移移中中，真真实实位位移移使使总总势势能能取取极极值值，稳稳定定平衡状态该极值为极小值。平衡状态该极值为极小值。25第25页，共146页，编辑于2022年，星期五虚位移原理：虚位移原理：针对针对平衡问题平衡问题CABA
18、B应用虚位移原理应用虚位移原理问题：对动力学问题能否用虚问题：对动力学问题能否用虚位移原理？位移原理？惯性力主动力约束力惯性力主动力约束力“平衡力系平衡力系”达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：动力学动力学普遍方程普遍方程26第26页，共146页，编辑于2022年，星期五动力学普遍方程动力学普遍方程其中：其中：动力学普遍方程和拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程建立了机构运动与建立了机构运动与主动力的关系主动力的关系27第27页，共146页，编辑于2022年，星期五动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程写成广义坐标写成广义坐标虚位移形式虚位移形式猜想：猜想：与与运动运动有关，有关，可
19、否表示成可否表示成动能动能的某种形式？的某种形式？是动力学普遍方程的广义坐标形式是动力学普遍方程的广义坐标形式动力学普遍方程和拉格朗日方程动力学普遍方程和拉格朗日方程28第28页，共146页，编辑于2022年，星期五拉格朗日方程拉格朗日方程设：具有完整约束的非自由质点系有设：具有完整约束的非自由质点系有k 个自由度个自由度系统的广义坐标为：系统的广义坐标为：29第29页，共146页，编辑于2022年，星期五第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程几种形式几种形式1、当主动力均为有势力时、当主动力均为有势力时设：设：LT-V（拉格朗日函数）（拉格朗日函数）2、当主动力部分为有势力时、当主动力部分为有
20、势力时30第30页，共146页，编辑于2022年，星期五例例求图示体系运动方程。求图示体系运动方程。以平衡时以平衡时的质心位置为坐标原点，取的质心位置为坐标原点，取为广义坐标，为广义坐标，质点质点的坐标为：的坐标为：重力重力和弹簧反力和弹簧反力为有势力，以平衡位置为势能零位置，势能为为有势力，以平衡位置为势能零位置，势能为阻尼力为非有势力，它对应于广义坐标阻尼力为非有势力，它对应于广义坐标的广义力分别为的广义力分别为体系的动能为：体系的动能为：代入代入得得31第31页，共146页，编辑于2022年，星期五例：例：求图示二层剪切框架运动方程。求图示二层剪切框架运动方程。横梁只计质量横梁只计质量、
21、刚度无穷大；柱不计质量、层刚度为、刚度无穷大；柱不计质量、层刚度为弹性力为有势力。设弹性力为有势力。设的水平位移为的水平位移为，动能与势能分别为，动能与势能分别为将将代入代入运动方程运动方程：解：解：32第32页，共146页，编辑于2022年，星期五哈密尔顿原理及哈密顿方程哈密尔顿原理及哈密顿方程1.变分变分引子引子:“最速落径最速落径”问题问题：J.Bernoulli求求连连接接A,B的的曲曲线线，使使质质点点从从A至至B所所需需的的时时间最短。间最短。边界条件边界条件:要解决：求要解决：求y(x),使使Ty(x)值最小值最小33第33页，共146页，编辑于2022年，星期五一般化问题一般化
22、问题:给定端点条件给定端点条件,求泛函求泛函取极值的解函数取极值的解函数:求泛函极值用变分求泛函极值用变分.变分的概念变分的概念:由函数形状变化引起的函数值的变化称为函数的变分由函数形状变化引起的函数值的变化称为函数的变分泛函的变分泛函的变分回忆：微分回忆：微分变分变分34第34页，共146页，编辑于2022年，星期五变分的计算变分的计算:设质点系某一质点的坐标设质点系某一质点的坐标y是广义坐标是广义坐标q和时间和时间t的函数的函数微分微分:变分变分:泛函极值问题泛函极值问题L.Euler:使使的函数的函数y(x)可使泛函取极值可使泛函取极值.且满足且满足:变分问题中的欧拉方程变分问题中的欧拉
23、方程35第35页，共146页，编辑于2022年，星期五欧拉（欧拉（Euler）方程）方程求泛函求泛函的极值。的极值。欧拉方程欧拉方程：*端点变分为零端点变分为零36第36页，共146页，编辑于2022年，星期五问题问题:自然界的规律能否用变分原理描述自然界的规律能否用变分原理描述?最小势能原理最小势能原理势能函数取得极值是势能函数取得极值是平衡的充要条件平衡的充要条件平衡平衡稳定平衡稳定平衡猜想猜想:非平衡的动力学问题是否也存在是某个非平衡的动力学问题是否也存在是某个作用量作用量的极值问题的极值问题?虚位移原理虚位移原理作用量作用量37第37页，共146页，编辑于2022年，星期五1746莫培
24、丢莫培丢最小作用量原理最小作用量原理最小作用量：最小作用量：动量在路径上的总功动量在路径上的总功质点系：质点系：莫培丢拉格朗日最小作用量原理莫培丢拉格朗日最小作用量原理对对受受理理想想、定定常常约约束束的的保保守守系系统统，质质点点系系在在两两个个位位形形间间所所有有的的其其他他同同能能量量的的可可能能运运动动相相比比，真真实实运运动动的的拉拉格格朗朗日日作作用用量量为为极极小，或拉格朗日作用量的一阶变分为零。小，或拉格朗日作用量的一阶变分为零。拉格朗日作用量拉格朗日作用量全变分，包含全变分，包含t38第38页，共146页，编辑于2022年，星期五2哈密顿原理（哈密顿原理（Hamilton,1
25、834）哈密顿作用量哈密顿作用量：哈密顿原理：哈密顿原理：具有理想和完整约束的质点系在具有理想和完整约束的质点系在有势力有势力作用下，其作用下，其真实运动与具有相同起止位置的可能运动相比，惟有真实运动与具有相同起止位置的可能运动相比，惟有真实运动真实运动使哈密顿作用量有驻值使哈密顿作用量有驻值，即哈密顿作用量的变分等于零。，即哈密顿作用量的变分等于零。适用于：适用于：质点系统、多自由度刚体系统、无限自由度连续系统质点系统、多自由度刚体系统、无限自由度连续系统39第39页，共146页，编辑于2022年，星期五证明：证明：由于真实运动服从拉格朗日方程：由于真实运动服从拉格朗日方程：代入得：代入得：
26、由于由于故有：故有：由于由于，所以：，所以：对主动力中包括有势力和对主动力中包括有势力和非有势力非有势力时的哈密尔顿原理为时的哈密尔顿原理为式中式中，为非有势力的虚功，为非有势力的虚功40第40页，共146页，编辑于2022年，星期五哈密顿原理与拉格朗日方程可以相互导出，即两者等价。哈密顿原理与拉格朗日方程可以相互导出，即两者等价。一般情况哈密顿原理不是变分原理一般情况哈密顿原理不是变分原理41第41页，共146页，编辑于2022年，星期五3.哈密顿方程哈密顿方程哈密顿正则方程哈密顿正则方程回忆：拉格朗日方程回忆：拉格朗日方程有几个微分方程？几阶的？有几个微分方程？几阶的？将拉格朗日方程作变换
27、：将拉格朗日方程作变换：结果将怎样呢？结果将怎样呢？已知：已知：代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：定义哈密顿函数：定义哈密顿函数：42第42页，共146页，编辑于2022年，星期五定义哈密顿函数：定义哈密顿函数：（2）（1）代入代入(1)由由的独立性：的独立性：哈密顿正则方程哈密顿正则方程代入代入(2)43第43页，共146页，编辑于2022年，星期五哈密顿正则方程哈密顿正则方程前前n个方程：个方程：p与广义速度的关系与广义速度的关系后后n个方程：关于广义动量的一阶方程个方程：关于广义动量的一阶方程L与与H均为力学系统的描述函数。均为力学系统的描述函数。拉格朗日方程与哈密顿方程等价。拉格朗日
28、方程与哈密顿方程等价。讨论：讨论：44第44页，共146页，编辑于2022年，星期五例：例：图示质量弹簧系统，求运动微分方程。图示质量弹簧系统，求运动微分方程。思考：可以有几种方法？思考：可以有几种方法？牛顿矢量法牛顿矢量法拉格朗日方程拉格朗日方程哈密顿方程哈密顿方程解解:(1)法法坐标原点在弹簧自由伸长处坐标原点在弹簧自由伸长处解解:(2)法法零势能面在弹簧自由伸长处，零势能面在弹簧自由伸长处，x为广义坐标为广义坐标45第45页，共146页，编辑于2022年，星期五代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：解解:(3)法法零势能面在弹簧自由伸长处，零势能面在弹簧自由伸长处，x为广义坐标为广义坐标4
29、6第46页，共146页，编辑于2022年，星期五弹性力学基础47第47页，共146页，编辑于2022年，星期五主要内容1.弹性力学的基本假设2.应力的概念、主应力及应力主向3.位移及形变几何方程刚体位移4.物理方程弹性矩阵5.虚功及虚功方程6.两种平面问题7.轴对称问题8.薄板的弯曲问题48第48页，共146页，编辑于2022年，星期五1弹性力学的基本假设假设物体是连续的，不留任何空隙。故物体内的一些物理量，例如应力、应变、位移等，才可用坐标的连续函数来表示。假设物体是完全弹性的，不留任何残余变形。故温度不变时，物体在任一瞬时的形状就完全取决于它在这一瞬时所受的外力，它与过去受力情况无关。材料
30、服从虎克定律，应力与应变成正比关系。49第49页，共146页，编辑于2022年，星期五假设物体是均匀的。假设物体是各向同性的。即物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。假设物体的变形是微小的。50第50页，共146页，编辑于2022年，星期五2.应力的概念弹性体受外力以后，其内部将发生应力。为了描述弹性体内某一点P的应力，在这一点从弹性体内割取一个微小的平行六面体PABC，它的六面分别垂直于相应的坐标轴，如图1。51第51页，共146页，编辑于2022年，星期五应力分析图52第52页，共146页，编辑于2022年，星期五从图中看出：将每一面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，
31、分别与三个坐标轴平行。正应力用字母表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个下标，例如：正应力x是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。53第53页，共146页，编辑于2022年，星期五剪应力用字母表示，并加上两个下标，前一个下标表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如：剪应力xy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。54第54页，共146页，编辑于2022年，星期五应力的正负方向如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个
32、面上的应力就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。55第55页，共146页，编辑于2022年，星期五剪应力互等定律根据微小平行六面体的平衡条件，作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的(大小相等，正负号也相同)。即：56第56页，共146页，编辑于2022年，星期五考虑到通过弹性体中的一点总可做出三个相互垂直的坐标平面，所以总共可得九个应力分量。即x，xy，xz，y，yx，yz，z，zx，zy。由于剪应力互等，只有x，y，z，xy，yz，zx六个应力分量是独立的。57第57页，共146页，编辑于2022年，星期五由材料力学可知，如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经过
33、该点的任何面上的应力，以及该点的最大与最小的正应力和剪应力。因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就成为在该点的应力分量应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x，y，z的函数。58第58页，共146页，编辑于2022年，星期五6个应力分量的总体，可用如下应力矢量（或列阵）来表示：59第59页，共146页，编辑于2022年，星期五主应力及应力主向假定弹性体内任意一点P的6个应力分量为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面QRS，如图2，它平行于这一斜面，与经过P点而垂直于坐标轴的三个平
34、面形成一个微小的四面体PQRS。当平面QRS趋近于P点时，平面QRS上的应力就趋近于该斜面上的应力。60第60页，共146页，编辑于2022年，星期五61第61页，共146页，编辑于2022年，星期五定义经过P点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力主应力，该斜面称为P点的一个应力主面应力主面，而该斜面的法线方向(即该主应力的方向)称为P点的一个应力主向应力主向。62第62页，共146页，编辑于2022年，星期五求取主应力的方程为：63第63页，共146页，编辑于2022年，星期五求解这个方程，可得出三个实根：1，2，3。这就是在P点的三个主应力。这三个主应力相对应
35、的三个应力主向总是互相垂直的。可以证明，在弹性体的任意一点，三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。64第64页，共146页，编辑于2022年，星期五3位移及形变几何方程刚体位移弹性体在受外力以后，还将发生位移和形变，也就是位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移，用它在坐标轴x，y、z上的投影u，v，w来表明，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为该点的位移分量位移分量。当然，一般说来，位移分量也是坐标x，y、z的函数。65第65页，共146页，编辑于2022年，星期五正应变与剪应变正应变与剪应变为了描述弹性体内任一点P的
36、形变，在这一点沿着坐标轴的正方向取三个微小线段PA=x，PB=y，PC=z。如图1。弹性体变形以后，这三个线段的长度以及它们之间的直角都将有所改变。线段的每单位长度的伸缩称为正应变正应变，线段之间的直角的改变称为剪应变剪应变。66第66页，共146页，编辑于2022年，星期五正应变正应变用字母表示：x表示x方向的线段（即PA）的正应变，其余类推。正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相对应。67第67页，共146页，编辑于2022年，星期五剪应变剪应变用字母表示：xy表示x与y两方向的线段（即PA与PB）之间的直角的改变，其余类推。剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正
37、负号规定相对应（正的xy引起正的xy，等等）。68第68页，共146页，编辑于2022年，星期五应变分量应变分量如果x，y，z，xy，yz，zx这6个应变量在P点是巳知的，就可求得经过该点的任一微小线段的正应变，以及经过该点的任意两个微小线段之间的夹角改变，并且可求得该点的最大与最小的正应变。因此，这6个量可以完全确定该点的形变状态，它们就称为在该点的应变分量应变分量。当然，一般说来，应变分量也是坐标x，y、z的函数。69第69页，共146页，编辑于2022年，星期五6个应变分量的总体，可用应变矢量表示：70第70页，共146页，编辑于2022年，星期五几何方程应变分量与位移分量之间有一定的几
38、何关系。这就是所谓几何方程几何方程。71第71页，共146页，编辑于2022年，星期五6个几何方程的总体可以用一个矩阵方程来表示72第72页，共146页，编辑于2022年，星期五刚体位移由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量是完全确定，位移分量却不完全确定。这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。73第73页，共146页，编辑于2022年，星期五如令74第74页，共146页，编辑于2022年，星期五积分以后，得75第75页，共146页，编辑于2022年，星期五式中u0、v0、w0、wx、wy、wz是积分常数。其物理意义可参见下图。上
39、式所示的位移分量是当应变分量为零时的位移，即与变形无关的位移，显然此种位移必然是物体的刚体位移刚体位移。由几何关系不难证明：u0、v0、w0代表弹性体沿坐标轴的刚体平动，wx、wy、wz代表弹性体绕坐标轴的刚体转动。76第76页，共146页，编辑于2022年，星期五77第77页，共146页，编辑于2022年，星期五为了完全确定弹性体的位移，必须有6个适当的约束条件来确定这6个刚体位移。78第78页，共146页，编辑于2022年，星期五4物理方程弹性矩阵假定弹性体是连续的，均匀的，完全弹性的，而且是各向同性的。这样，应力分量与应变分量之间的关系式就是：物理方程.其第一种形式为：79第79页，共1
40、46页，编辑于2022年，星期五80第80页，共146页，编辑于2022年，星期五式中的：E是拉压弹性模量(或简称为弹性模量)，G是剪切弹性模量，是泊松比，三者之间有如下的关系：81第81页，共146页，编辑于2022年，星期五物理方程另一种形式为：82第82页，共146页，编辑于2022年，星期五简写成为：其中的D称为弹性矩阵。83第83页，共146页，编辑于2022年，星期五5虚功及虚功方程设有受外力作用的弹性体，如图4。它在i点所受的外力沿坐标轴分解为分量Ui、Vi、Wi，在j点所受的外力沿坐标轴分解为分量Uj、Vj、Wj，等等，总起来用列阵F表示，而这些外力引起的应力用列阵表示。84第
41、84页，共146页，编辑于2022年，星期五85第85页，共146页，编辑于2022年，星期五86第86页，共146页，编辑于2022年，星期五现在，假设弹性体发生了某种虚位移，与各个外力分量相应的虚位移分量为ui*、vi*，wi*，uj*，vj*，wj*，等等，总起采用列阵*表示，而引起的虚应变用列阵*表示87第87页，共146页，编辑于2022年，星期五这个虚位移和虚应变一般并不是上述实际外力引起的，而是另外的外力或其他原因引起的。更多的是我们为了分析问题而假想在弹性体中发生的。88第88页，共146页，编辑于2022年，星期五虚位移原理把虚位移原理应用于连续弹性体，可以导出这样的引理：如
42、果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那末，在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功就等于(整个弹性体内)应力在虚应变上的虚功。89第89页，共146页，编辑于2022年，星期五在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：90第90页，共146页，编辑于2022年，星期五在弹性体的单位体积内，应力在应变上的虚功是：91第91页，共146页，编辑于2022年，星期五因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：92第92页，共146页，编辑于2022年，星期五于是由上述推理得到93第93页，共146页，编辑于2022年，星期五这就是弹性体的虚功方程虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关
43、系。94第94页，共146页，编辑于2022年，星期五6两种平面问题任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，不考虑某些位移分量、应变分量或应力分量。这样处理，分析和计算的工作量将大大地减少95第95页，共146页，编辑于2022年，星期五平面应力问题设有很薄的均匀薄板，如图5，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如平板坝的甲板支墩，以及图中所示的深梁，都属于此类。96第96页，共146页，编辑于2022年，星
44、期五97第97页，共146页，编辑于2022年，星期五设薄板的厚度为t。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，所以有:98第98页，共146页，编辑于2022年，星期五因为板很薄，外力又不沿厚度变化，所以，可以认为在整个薄板的所有各点都有:99第99页，共146页，编辑于2022年，星期五这样就只剩下平行于xy面的三个应力分量，即x，y，xy，所以这种问题就称为平面应力问题平面应力问题。100第100页，共146页，编辑于2022年，星期五应力的矩阵表示简化为101第101页，共146页，编辑于2022年，星期五由物理方程中的后二式可见，这时的剪应变102第10
45、2页，共146页，编辑于2022年，星期五由物理方程中的第三式可见103第103页，共146页，编辑于2022年，星期五z一般不等于零,可由x及y求得，在分析问题时不必考虑。于是只需考虑三个形变分量x、y、xy。104第104页，共146页，编辑于2022年，星期五物理方程简化为:105第105页，共146页，编辑于2022年，星期五它仍然可以简写成为106第106页，共146页，编辑于2022年，星期五平面应变问题设有无限长的柱形体，它的横截面如图6所示，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面而且不沿长度变化。107第107页，共146页，编辑于2022年，
46、星期五108第108页，共146页，编辑于2022年，星期五以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看做对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有z方向的位移即w=0。因此，这种问题称为平面位移问题，但在习惯上常常称为平面应变问题平面应变问题。109第109页，共146页，编辑于2022年，星期五既然w=0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程可见z=yz=zx=0。于是只剩下三个应变分量x、y、xy。110第110页，共146页，编辑于2022年，星期五由物
47、理方程中的后两式可见yz=0，zx=0（因为yz=0，zx=0）又由物理方程中的第三式可见（因为z=0）111第111页，共146页，编辑于2022年，星期五虽然z一般并不等于零，但它可以由x及y求得，在分析问题时不必考虑。于是也就只有三个应力分量x，y，xy需要考虑。这样，物理方程就简化为:112第112页，共146页，编辑于2022年，星期五113第113页，共146页，编辑于2022年，星期五注意对于两种平面问题，物理方程的形式都是一样的。但是，对于平面应力情况下的弹性矩阵D却不同于对于平面应变情况下的弹性矩阵D。114第114页，共146页，编辑于2022年，星期五7轴对称问题弹性体的
48、几何形状、约束情况、以及所受的外力，都是绕某一轴对称的(通过这个轴的任一平面都是对称面)，则所有的应力、形变和位移也就对称于这一轴。这种问题称为轴对称问题轴对称问题。115第115页，共146页，编辑于2022年，星期五在描述轴对称问题中的应力和形变时，用圆柱坐标r,z比用直角坐标x,y,z方便。如果以弹性体的对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量和位移分量都将只是r和z的函数，不随而变。116第116页，共146页，编辑于2022年，星期五用相距r的两个圆柱面，互成角的两个铅垂面和相距z的两个水平面，从弹性体割取一个微小六面体，图5。117第117页，共146页，编辑于2022年，星期五1
49、18第118页，共146页，编辑于2022年，星期五沿r方向的正应力，称为径向正应力，用r代表；沿方向的正应力，称为环向正应力，用代表；沿z方向的正应力，称为轴向正应力，用z代表；119第119页，共146页，编辑于2022年，星期五在垂直于z轴的面上而沿r方向作用的剪应力用zr代表；在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力用rz代表；根据剪应力互等定律，zr=rz，以后统一用zr代表。120第120页，共146页，编辑于2022年，星期五根据对称条件，其余的剪应力分量r=r及z=z都不存在。这样，总共只有四个应力分量r,z,zr需要考虑。相应的形变分量也只有四个：r,z,zr。121第121页，共1
50、46页，编辑于2022年，星期五轴对称问题中的应力及应变定义为:122第122页，共146页，编辑于2022年，星期五弹性体内任意一点的位移，可以分解为两个分量：沿r方向的位移分量，称为径向位移，用u代表；沿z方向的位移分量，称为轴向位移，用w代表；由于对称，不会有方向的位移（环向位移）。123第123页，共146页，编辑于2022年，星期五根据几何关系，可以导出形变分量和位移分量之间的关系式，即几何方程为：124第124页，共146页，编辑于2022年，星期五物理方程可以根据虎克定律直接写出125第125页，共146页，编辑于2022年，星期五它仍然可以写成如下简单形式：D为弹性矩阵。126