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1、第七章 季节时间序列分析本讲稿第一页，共三十四页例例某地某地1987年至年至1996年某商品月销售量序列如年某商品月销售量序列如图所示：图所示：该序列的该序列的季节特征季节特征是明显的，是明显的，季节周期季节周期为为12.本讲稿第二页，共三十四页一、季节时间序列一、季节时间序列二、季节时间序列的主要特征二、季节时间序列的主要特征 第第 一节一节 季节时间序列季节时间序列本讲稿第三页，共三十四页本讲稿第四页，共三十四页本讲稿第五页，共三十四页1、一个时间序列，若经过、一个时间序列，若经过s个时间间隔后呈个时间间隔后呈现出相似的特征，称该序列为季节时间序现出相似的特征，称该序列为季节时间序列，周期
2、为列，周期为s.一一 季节时间序列季节时间序列2、季节时间序列按周期的重新排列、季节时间序列按周期的重新排列 列一个矩阵式二维表，将每一周期内相同周列一个矩阵式二维表，将每一周期内相同周期点的值列在同一列上期点的值列在同一列上.本讲稿第六页，共三十四页 周期点周期点周期周期1234.s1X1X2X3X4Xs2Xs+1Xs+2Xs+3Xs+4X2s.nX(n-1)s+1X(n-1)s+2X(n-1)s+3X(n-1)s+4.Xns本讲稿第七页，共三十四页本讲稿第八页，共三十四页 二二 季节时间序列的特征季节时间序列的特征 重要特征表现为重要特征表现为周期性周期性：在一个序：在一个序列中，如果经过
3、列中，如果经过S个时间间隔后观测点个时间间隔后观测点呈现出相似性呈现出相似性该序列具有以该序列具有以S为周为周期的周期特性。期的周期特性。本讲稿第九页，共三十四页一、随机季节模型一、随机季节模型二、乘积季节模型二、乘积季节模型第二节第二节 季节时间序列模型季节时间序列模型本讲稿第十页，共三十四页一一 随机季节模型随机季节模型1、随机季节模型：对季节时间序列中，、随机季节模型：对季节时间序列中，不同周期的同一周期点之间的相关性的不同周期的同一周期点之间的相关性的拟合拟合。2、（1）设周期为）设周期为s.Xt、Xt-s、Xt-2s.等可等可能适合三类模型中的任何一种能适合三类模型中的任何一种.前提
4、条前提条件是它们是平稳序列件是它们是平稳序列.若不平稳若不平稳,进行季进行季节差分节差分.本讲稿第十一页，共三十四页（2）D阶季节差分阶季节差分 sXt=Xt-Xt-s=（1-Bs)Xt s D Xt=（1-Bs)dXt s 2 Xt=(1-Bs)2Xt=(1-2 Bs+B 2s)Xt Xt=Xt-Xt-1 sXt=Xt-Xt-s a D:a:相减的时期相减的时期 D:差分的阶数差分的阶数本讲稿第十二页，共三十四页设设 s D Xt=Wt，则，则 s D Xt-s=Wt-s 若若Wt适合适合AR(1)以以D=1为例，为例，若若Wt适合适合MA(1)若若Wt适合适合ARMA(1,1)本讲稿第十三
5、页，共三十四页更一般的情形，季节性的更一般的情形，季节性的SARIMA为为其中其中分别称为：分别称为：k阶季节自回归多项式阶季节自回归多项式 m阶季节移动平均多项式阶季节移动平均多项式 本讲稿第十四页，共三十四页3、（1）模型将序列不同周期上的相同周期）模型将序列不同周期上的相同周期点之间的关系表示出来，但是没有反映点之间的关系表示出来，但是没有反映同一周期内不同周期点之间的关系同一周期内不同周期点之间的关系.（2）序列可能还存在长期趋势，相同）序列可能还存在长期趋势，相同周期的不同周期点之间可能也有一定周期的不同周期点之间可能也有一定的相关性，所以，模型可能有一定的的相关性，所以，模型可能有
6、一定的拟合不足。拟合不足。本讲稿第十五页，共三十四页二二 乘积季节模型乘积季节模型(SARIMASARIMA)使用场合使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系分地提取其中的相关关系.构造原理构造原理短期相关性用低阶短期相关性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取模型提取季节相关性用以周期步长季节相关性用以周期步长S为单位的为单位的ARIMA(P,D,Q)模型提取模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系假设短期相关和季节效应之间具有乘
7、积关系.本讲稿第十六页，共三十四页 1、可能是平稳的，也可能是非平稳的，可能是平稳的，也可能是非平稳的，不妨设一般情况，不妨设一般情况，适合适合ARIMA（p，d，q）（一）（一）乘积季节模型的一般形式乘积季节模型的一般形式本讲稿第十七页，共三十四页2、假定季节相关与普通相关交互作用，建立乘、假定季节相关与普通相关交互作用，建立乘法模型法模型本讲稿第十八页，共三十四页若若 适合适合 ，而而 又适合又适合在前式两边同乘在前式两边同乘 得：得：本讲稿第十九页，共三十四页其中：其中：（1）式称为乘积季节模型，记为）式称为乘积季节模型，记为本讲稿第二十页，共三十四页 （二）（二）常见的乘积季节模型（常
8、见的乘积季节模型（s=12s=12）1、(1-B)(1-B12)Xt=(1-1B)(1-12B12)at它是由两个模型组成的。它是由两个模型组成的。（1）(1-B12)Xt=(1-12B12)et（2）et-et-1=(1-B)et=at-1at-1=(1-1B)at在（在（1）两端同乘（）两端同乘（1-B）得：）得：本讲稿第二十一页，共三十四页 (1-B)(1-B12)Xt=(1-12B12)(1-B)et =(1-12B12)(1-1B)at(Xt-Xt-12)(Xt-1-Xt-13)=(at-12at-12)-1(at-1-12at-13)2、(1-B12)Xt=(1-1B)(1-12B
9、12)at(1)(1-B12)Xt=(1-12B12)et Xt、Xt-12、Xt-24.是非平稳的，有趋势，差分是非平稳的，有趋势，差分后平稳，适合后平稳，适合MA(1)模型模型.(2)et是平稳序列，适合是平稳序列，适合MA(1)，本讲稿第二十二页，共三十四页et=at-1at-1=(1-1 B)at代入（代入（1）得：）得：(1-B12)Xt=(1-12B12)et =(1-12B12)(1-1 B)at =(at-12at-12)-1(at-1-12 at-12)本讲稿第二十三页，共三十四页3、(1-1 B)(1-B12)Xt=(1-12B12)at(1)(1-B12)Xt=(1-12
10、B12)et(2)et是平稳序列，适合是平稳序列，适合AR(1)，et=1 et-1+at，即即(1-1 B)et=at(1)两边同乘两边同乘(1-1 B)得：得：(1-1 B)(1-B12)Xt =(1-1 B)(1-12B12)et =(1-12B12)at (Xt-Xt-12)-1(Xt-1-Xt-13)=at-12at-12本讲稿第二十四页，共三十四页 (1-B)(1-B12)Xt=(1-12B12)(1-B)et =(1-12B12)(1-1B)at(Xt-Xt-12)(Xt-1-Xt-13)=(at-12at-12)-1(at-1-12at-13)本讲稿第二十五页，共三十四页一、季
11、节自相关与季节偏自相关一、季节自相关与季节偏自相关二、二、乘积季节模型的建立乘积季节模型的建立第三节第三节 季节时序模型的建立季节时序模型的建立 本讲稿第二十六页，共三十四页 与与ARMAARMA模型类似，模型类似，乘积季节乘积季节模型的识别、定阶、模型的识别、定阶、参数估计、适应性检验基本上是以随机序列的参数估计、适应性检验基本上是以随机序列的样本自相关与偏自相关为依据的样本自相关与偏自相关为依据的.一一 季节自相关与季节偏自相关季节自相关与季节偏自相关本讲稿第二十七页，共三十四页若序列无趋势，但是具有季节性，那末对若序列无趋势，但是具有季节性，那末对于按月采集的数据，时滞于按月采集的数据，
12、时滞1212，2424，3636，的自相关系数达到最大的自相关系数达到最大(如果数据是按如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在季度采集，则最大自相关系数出现在4 4，8 8，1212，)，并且随着时滞的增加变得较，并且随着时滞的增加变得较小小.若序列是有趋势的，且具有季节性，其自若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类似于有趋势序列，但它们相关函数特性类似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞是摆动的，对于按月数据，在时滞1212，2424，3636，等处具有峰态；如果时间序列等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞数据是按季节的，则峰出现在时滞4
13、4，8 8，1212，等处等处.本讲稿第二十八页，共三十四页 判明序列的周期性；判明序列的周期性；识别季节差分的阶数；识别季节差分的阶数；识别差分的阶数；识别差分的阶数；对差分序列建立对差分序列建立ARMAARMA模型；模型；对原序列对原序列建立建立乘积季节乘积季节模型模型.二二乘积季节乘积季节模型的建立模型的建立本讲稿第二十九页，共三十四页乘积季节乘积季节模型建模要点模型建模要点 模型识别要点：模型识别要点：原始序列图是判定季节特征的有力工具；原始序列图是判定季节特征的有力工具；周期的确定更倾向于依赖数据的实际背景；周期的确定更倾向于依赖数据的实际背景；若若SACFSACF与与SPACFSP
14、ACF既不拖尾也不截尾，而且不呈既不拖尾也不截尾，而且不呈线性衰减；而是在相应于周期的整数倍点上，线性衰减；而是在相应于周期的整数倍点上，出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，则可判定序列适合则可判定序列适合乘积季节乘积季节模型模型.本讲稿第三十页，共三十四页 阶数判定要点阶数判定要点：差分与季节差分阶数差分与季节差分阶数d d、D D的选取，可采用试的选取，可采用试探的方法，一般宜较低阶（如探的方法，一般宜较低阶（如1 1、2 2、3 3阶）阶）.对于某一组对于某一组d d、D D，计算差分后序列的，计算差分后序列的SACFSACF与与SPACFSPAC
15、F，若呈现较好的截尾或拖尾性，则，若呈现较好的截尾或拖尾性，则d d、D D适宜适宜.此时若增大此时若增大d d、D D，相应，相应SACFSACF与与SPACFSPACF会会呈现离散增大及不稳定状态；呈现离散增大及不稳定状态；通常通常D不会超过不会超过1阶，特别对阶，特别对S=12的月份数的月份数据（据（B-J）；）；SARIMASARIMA模型应慎重使用，特别序列长度不模型应慎重使用，特别序列长度不够理想时（够理想时（B-J）.本讲稿第三十一页，共三十四页 季节差分后序列季节差分后序列ACFACF、PACFPACF特征特征（1）若季节差分后序列适合）若季节差分后序列适合MA模型模型:S=1
16、2Xt-Xt-12=(1-12B12)et=(1-1B)(1-12B12)at =at-1at-1-12at-12+1 12at-12-1季节差分后，适应季节差分后，适应MA(13)，其中，其中 i=0（i=2,3,11）,ACF截尾（截尾（k=1,11,12,13不为零，其余显著为零），不为零，其余显著为零），PACF拖尾拖尾.本讲稿第三十二页，共三十四页（2）季节差分后适应）季节差分后适应AR模型模型:(1-1 B)(1-B12)Xt=at (1-1 B)(Xt Xt-12)=at Xt-Xt-12=1Xt-1-1Xt-13+at ACF拖尾，拖尾，PACF截尾截尾.本讲稿第三十三页，共三十四页例例 19621975年年 奶牛月产奶量奶牛月产奶量本讲稿第三十四页，共三十四页