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1、返回第十一章 振动学基础 振动是一种常见的自然现象.所谓振动,就是物体在某一位置附近来回往复的运动.如钟摆的摆动,气缸内的活塞的运动及心脏的跳动等为机械振动.从广义上讲,任何一个物理量(物体的位置,电流,电压,电场及磁场等)在某个定值附近反复变化都可以称为振动.振动尽管有各种不同的形式,涉及不同的物质运动,但是确具有同样的规律性.本章主要讨论力学中的振动(机械振动).介绍线性振动的特点和规律及应用。振动在自然科学的许多领域有广泛的应用:电磁学,光学,原子物理学,电工学,无线电技术,地震学,声学,建筑力学,机械原理,造船学等,是多学科的基础.振动是波动的基础，为学习下一章提供理论基础第一节 简谐
2、振动第二节 阻尼振动 受迫振动 共振第三节 简谐振动的合成 第四节 频谱分析 第五节 非线性振动 混沌 第一节 简 谐 振 动一 弹簧振子的谐振动本节以弹簧振子为例说明简谐振动的基本特征。光滑水平面O:称为平衡位置：受合力为零的位置。平衡位置 把物体从平衡位置拉开，释放，则物体在弹性力的作用下，绕平衡位置来回运动，称为振动。振子运动中所受合力 力总指向平衡位置，其大小与物体的位移大小成正比。称此振动为谐振动。该式为谐振动的判据之一。平衡位置动力学方程 平衡位置令称为圆频率或角频率。二阶线性齐次常微分方程。或则 其解，形式为其中 和 为两个待定常数，二者的物理意义和求法稍后给出。该式是相对平衡位
3、置的位移或位置（或坐标）随时间的变化规律，称为谐振动运动学方程或谐振动的振动方程。瞬时加速度加速度的最大值，出现在远离平衡位置处。上述 和 可做为谐振动的判据。瞬时速度速度的最大值（幅值），出现在平衡位置 处。幅值二 周期 频率 圆（角）频率2 频率单位时间内完成全振动的次数，即周期的倒数。故频率1 周期故周期完成一次全振动所用的时间。因有3 圆频率或角频率三者关系 不难看出，三者是由系统本身的性质决定，与振动的状态无关，具有固有性。适合任何谐振动。决定了振动系统的初时的状态，故称 为初相位，简称初相。令 ,则初位置初速度 通常，是一个未知量，是振动方程中的一个待定常数。由以上知，若 知，可求
4、 。三 相位（位相）振幅1 相位可见，振动状态由 决定。相位，物体振动状态不同（解释)。由称做相位。不同的按力学，用物体的位置和速度描述物体的运动的状态，此处称为振动状态。例 111已知如图，一物体沿 轴作谐振动，求初相位。解：求 具体作法是：由式 求得一至四象限范围内满足该式两个 值，再从二值中选出满足 的一个,该值即初相。或求初相是本章的重点。对以上给出的方法应理解并掌握。若 向左，结果如何?小结1 谐振动是周期性运动，周期，频率由系统本身性质决定。2 初相，振幅由初始状态决定。2 振幅初位置初速度由得四 谐振动的描述方法1 解析法例如 由该三角函数式可以求得谐振动的特征量：振幅，角频率，
5、频率，周期，相位，初相位。2 振动图线平衡位置3 旋转矢量法 由坐标轴的原点 引一矢量 ，令该矢量 以匀角速度 绕原点逆时针方向旋转。设 时，与 轴的夹角为 。显然，的末端在 的投影 经时间 ，矢量 转过 角，此时刻，矢量末端在 轴上的投影为可见，矢量的末端在 轴上的投影代表以原点为平衡位置的谐振动方程。例 114 由振动曲线求振动方程。解：解法一解法二 用旋转矢量法求初相位。角频率振动方程由参考轴始左取角；由参考轴始右取角；例 115 由振动曲线求振动方程。解：初相又故在 时或用旋转矢量法求 。二不同时刻的振幅矢量位置振动方程从 时刻起，到质点位置在 处，且向X轴正方向运动的最短时间间隔为多
6、少例 116 一质点沿X轴作简谐振动，振动方程为 解：用旋转矢量法 例1111 一质点做谐振动，在一个周期内相继通过相距为10cm 的二点A和B，历时2s,并且具有相同的速率；再经历2s后,质点由从另一方向通过B，若以质点通过A为计时的起点，选坐标轴的正方向向右，求谐振动的振动方程。AB解 (提示)据题意，AB的中点O为平衡位置。过程旋转矢量图为AOB学会从图中求出 ，得出振动方程。六 谐振动的能量以弹簧振子为例。势能动能总能量总能量守恒，由初始状态决定。振动势能振动动能振动总能量把 代入即可。解：由功能原理则 例 1110 如图，物体静止在平衡位置。水平恒力 向左,使物体向左运动了 ，此时撤
7、去外力。当物体运动到左方最远位置时开时记时，求物体的运动方程。其中第二节 谐振动的合成 问题的提出 一 同方向同频率谐振动的合成下面用旋转矢量证明研究物体 设二分振动方程为按力学运动学的叠加原理，合运动为经运算可得合运动依然是频率保持不变的谐振动。1 若 讨论加强合振幅最大。则相位差由旋转矢量图不难求得此情况下二分振动的振幅矢量恒共线且同方向。合振动的振幅矢量模最大。3 若为其它角时，则2 若 消弱 合振幅最小。此情况下二分振动的振幅矢量恒共线且反方向。合振动的振幅矢量模最小。O例 1113 求合振动方程。解：1 由振动曲线合成，得合振动的曲线，而振动方程为2 由旋转矢量图例 1114 已知分
8、振动方程为求合振动方程。例题解：旋转矢量图如下。合振动方程为1、一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为 1000HZ，振幅为0.5cm，则振动能量为2、同方向的简谐振动，振动方程分别为画出两振动的旋转矢量图，求它们合振动的振幅、初相位及振动方程第二节 阻尼振动 受迫振动 共振一 阻尼振动阻尼振动的振动曲线直观理解 阻尼（减幅）形成原因：内耗散型，不同能量的转换，如单摆的减幅摆动，机械能变热能，此时，振动体系为开放系统；另外作为波源，以波的形式向外界传递。定量分析简介令阻力动力学方程其中称为阻尼因子。称为阻力系数。固有圆频率.当 （小阻尼时）时，上述微分方程的解，即阻尼振动方程
9、为包络线阻尼振动的振动曲线式中 ，表明因阻力的存在，使周期略变大,频率略变小.反映了阻力的影响，它使振动的振幅随时间逐渐衰减。由初时条件,阻尼情况决定.（不要求）。其它情况过阻尼临界阻尼临界阻尼过阻尼 此时因阻尼太大，振动不在具有周期性，振动系统来不及完成一次振就逐渐停止在平衡位置上。二 受迫振动 共振 若上述的振动系统除受到弹性力和阻力之外,还受到一周期性外力的作用,则系统做受迫振动.如扬声器的纸盆的振动,机器运转时引起的机座的振动等.则振动系统运动方程的微分形式为令则上式可表述为(单位质量的力幅)设周期性外力按简谐振动的规律变化,形式为其中 为周期性外力的力幅,为周期性外力的圆频率.显然,
10、该式为二阶线性非齐次常微分方程,按着微分方程理论,其解的形式(或振动方程)为 此式表明受迫振动是由两个分振动构成:式中的第一项表示的分振动是欠阻尼振动,是一个减幅振动;第二项所表示的是一个与周期性外力频率相同的稳定的等幅振动.振动开始时的情形非常复杂,经过不太长的时间,欠阻尼振动衰减到忽略不计,结果系统的振动达到稳定状态,系统做等幅振动.O瞬态过程振动曲线 把振动方程代入到振动的微分方程,可以得到(具体数学推导见教材,略)及及 这表明,受迫振动的振幅 和初相 与周期性外力的圆频率,系统的固有圆频率及阻尼性质有关.(比较与谐振动的区别).对于一定的振动系统,即 确定的情况下,振幅 随周期性外力的
11、圆频率变化而变化.结果,受迫振动的振动方程(稳定态解)为 从能量角度讲,等幅振动的产生是因在一个周期内外力所做的净功恰好补偿因阻尼而耗损的能量,振动的总机械能不变.三 共振对一定的振动系统1 当 ,即周期性外力的圆频率很低时,2 当,即周期性外力的圆频率很低时,3 共振共振时的振幅共振圆频率初相位当 为某一特殊值时,振动有最大振幅,此现象称共振.令,得 阻尼较大阻尼较小二者同相，故外界对振动体系恒做正功，因而，振幅会达很大。阻尼较大阻尼较小阻尼而振动速度为 而受迫力为原因是则或 若阻尼很小,即 ,最大振幅 .4 共振应用 原子的共振吸收，铁磁共振 ，顺磁共振等，系统从外界强烈地吸收能量，实现能
12、量的共振吸收和转移。共振现象极为普遍,在声,光,无线电,原子物理,核物理以及工程技术领域都有广泛的应用.许多声学仪器应用共振原理制成;收音机利用电磁共振原理选台;核磁共振利用原子核在磁场中共振;用超声波清洗金属器件;共振有选频特性。破坏性 机器的转动频率与机座的固有频率接近时,发生共振,影响加工精度,甚至损坏机器;人在跳板上行走;火车过桥梁时;1940年美国华盛顿州塔可玛新悬索桥在大风的袭击下,风引起的振荡作用与桥的固有频率相近,导至桥瘫塌.*风吹电线在风中的尖叫；自来水管出现的嗡嗡长鸣（称自激，即在恒力的不断激励下，因正反馈作用，将外界能量转变成交变的振动能量。）还有生物力学人体各部分的固有（本征）频率如下头部眼球心脏胃肩部内脏足