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1、样本及抽样分布第1页，共37页，编辑于2022年，星期六n一 总体与个体n n二 样本与简单随机样本n三 统计量n四 顺序统计量与经验分布函数第一节 样本与统计量机动 目录 上页 下页 返回 结束 2第2页，共37页，编辑于2022年，星期六数理统计概述 数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测.由于大量随机现象必然呈现它规律性，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的规律性一定能清楚地呈现出来.客观上，只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，我们只能获得局部观察资料.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3
2、第3页，共37页，编辑于2022年，星期六 数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论.数理统计方法具有“部分推断整体”的特征.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4第4页，共37页，编辑于2022年，星期六一 总体与个体定义1 研究“对象”的全体称为总体.注 对象指的是某项数量指标.Population 总体中的元素称为个体.Individual 用X、Y、Z等表示总体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 总体就是随机变量或随机变量的概率分布.称呼：正态总体、指数总体等.5第5页，共37页，编辑于2022年，星期六代表性：X1
3、,X2,Xn与总体X 同分布；定义3 简单随机样本简单随机样本(SRS):二 样本与简单随机样本定义2 从总体 X 中“抽取”的 n 个个体称为（来自）SampleSize样本（观测）值：记作 或随机性确定性 Simple random sample 以后谈及样本均指简单随机样本.独立性：X1,X2,Xn 相互独立.样本或总体 X 的容量为 n 的样本.机动 目录 上页 下页 返回 结束 6第6页，共37页，编辑于2022年，星期六定理定理 设总体分布函数为F(x),样本为（X1,X2,.,Xn),则（X1,X2,.,Xn)的联合分布函数为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 若总体的密度函数
4、为若总体的密度函数为f f(x x),),则其样本的则其样本的(联合联合)密度函密度函数为数为7第7页，共37页，编辑于2022年，星期六例如，总体Xb(1,p)，X的分布律PX=x=px(1p)1x,x=0,1.P（X1,X2,X3）=（x1,x2,x3）样本(X1,X2,X3)的联合分布律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8第8页，共37页，编辑于2022年，星期六三 统计量称为统计量.Statistic 统计量的分布称为抽样分布.相应地，T=T(x1,x2,xn)称为统计量T 的观测值.Sampling distribution 定义4 不含未知参数的样本函数 T=T(X1,X2,
5、Xn)机动 目录 上页 下页 返回 结束 样本的函数（二次数据。样 本 为一次数据、原始数据）随机的 不含未知参数的9第9页，共37页，编辑于2022年，星期六常用统计量样本k阶原点矩样本k阶中心矩相应的观测值注样本均值Sample mean 样本方差Sample variance 样本标准差Sample standard deviation Sample origin moment of order k Sample central moment of order k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10第10页，共37页，编辑于2022年，星期六矩估计法的理论依据u 样本均值与样本方差
6、总存在且是随机变量；u 若总体 k 阶矩存在，则大数定律告诉我们总体均值与总体方差不一定存在,若存在则是数.u 若总体均值与总体方差存在，则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 样本矩与总体矩的关系11第11页，共37页，编辑于2022年，星期六为由x1,x2,xn确定的经验分布函数.四 顺序统计量与经验分布函数定义5 称 为样本 的 顺序统计量，其中 的观测值个值.定义6设x1,x2,xn是总体X的样本值，称函数Empirical distribution function 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 是样本值 按递增顺序排列后的第k12第12页，共37页，编辑于2022年，星期六
7、例如，设总体X的容量为10的一组样本观测值为(1,2，4，3，3，4，5，6，4，8)，求 X的经验分布函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 13第13页，共37页，编辑于2022年，星期六经验分布函数与理论分布函数的关系经验分布函数Fn(x)也可看作统计量.格里汶科（Glivenko，1933）证明了更强的结论：由独立同分布大数定律知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x(1)x(k)1x(n)因为对于固定的x，Fn(x)是 的函数.14第14页，共37页，编辑于2022年，星期六n一 统计三大分布n n二 单个正态总体的样本均值 与样本方差的分布n三 两个正态总体的样本均值差 与样本
8、方差比的分布第二节 抽样分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 15第15页，共37页，编辑于2022年，星期六 2分布一 统计三大分布 t 分布与正态分布有关 F分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 16第16页，共37页，编辑于2022年，星期六非负 偏态 定义1 设 X1,X2,Xn iid 且服从N(0,1)，则称 2分布的pdf 为服从自由度为n 的 2 2分布，记为 2 2 2 2(n n).2分布可加性且相互独立 则 数字特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 Chi-Square DistributionIndependent and identically distribu
9、tion17第17页，共37页，编辑于2022年，星期六称 服从自由度为n 的t 分布，记为t t(n).t分布的pdf 为对称定义 2 设X N(0,1),Y 2 2(n n),且X 与Y 独立，则u 当n30时，t 分布类似于 t分布近似于标准正态分布.分布 标准正态 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18第18页，共37页，编辑于2022年，星期六非负偏态 定义3 设U 2 2(m m),V 2 2(n n),),且且U与V独立,则称服从自由度为 m,n 的F分布，记为F分布的pdf 为F F(m,n).u F F(m,n)1/F F(n,m)F分布机动 目录 上页 下页 返回 结束
10、19第19页，共37页，编辑于2022年，星期六例1 设 X 与Y 相互独立同服从正态分布N(0,22)，和 X 和Y 的样本问统计量服从什么分布？是分别来自总体机动 目录 上页 下页 返回 结束 20第20页，共37页，编辑于2022年，星期六课堂练习设总体X服从正态分布N(0,4),而X1,X2,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从 分布。F(10,5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 21第21页，共37页，编辑于2022年，星期六对于给定的(01),称满足分位点t(n)=t1(n)当n45时，当n45时，F(n,m)=1/F1(m,n).F(m,n)的 为X（或其分布）的
11、（上）分位点.th quantile机动 目录 上页 下页 返回 结束 22第22页，共37页，编辑于2022年，星期六1、标准正态分布、标准正态分布设X服从N(0,1),若 满足条件则称点 为标准正态分布的上分位点。由附表2，附表2中的1-对应 ，查1-就得到 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 23第23页，共37页，编辑于2022年，星期六2 2、2 2分布分布设X 2(n)，若对于：01，存在 满足则称为2(n)分布的上分位点。附表附表4 412.54943.273当n45时，机动 目录 上页 下页 返回 结束 24第24页，共37页，编辑于2022年，星期六3 3、t t分布分布设
12、Tt(n)，若对:00，满足PTt(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点。附表3 2.13181.3104机动 目录 上页 下页 返回 结束 25第25页，共37页，编辑于2022年，星期六从附表3中无法查到，-1.3104机动 目录 上页 下页 返回 结束 26第26页，共37页，编辑于2022年，星期六4 4、F F分布分布对于：0 0，满足满足P F F(n1,n2 2)=)=，则则称称F(n1 1,n2 2)为为F(n1 1,n2 2)的的上侧上侧 分位点分位点.附表52.061.82机动 目录 上页 下页 返回 结束 27第27页，共37页，编辑于2022年，星期六证明:设FF
13、(n1,n2),则得证!机动 目录 上页 下页 返回 结束 28第28页，共37页，编辑于2022年，星期六二 单个正态总体的样本均值 与样本方差的分布u u u 机动 目录 上页 下页 返回 结束 相互独立且29第29页，共37页，编辑于2022年，星期六三 两个正态总体的样本均值差 与样本方差比的分布 与 是分别来自正态总体 和 的样本，且相互独立.当 时，机动 目录 上页 下页 返回 结束 30第30页，共37页，编辑于2022年，星期六例2 从正态总体 中抽取样本X1,X2,X10(2)未知，求概率(1)已知 ，求概率解:(1)由 得则(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 31第3
14、1页，共37页，编辑于2022年，星期六机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 设总体从两个总体中分别抽样，得如下结果：求概率解：由知32第32页，共37页，编辑于2022年，星期六1 若总体X服从N(,2)，其中2已知，但机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习未知，而未知，而X1,X2,Xn是它的一个简单随机样本，试指出中下列量哪些是统计量，哪些不是统计量：试指出中下列量哪些是统计量，哪些不是统计量：提示提示：(1),(3),(4),(6)(1),(3),(4),(6)33第33页，共37页，编辑于2022年，星期六2 若总体X服从N(0,1)，X1,X2,Xn是样本，S2为样本方差
15、，为样本均值，则均值，则机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 设总体X服从N(,2)，X1,X2,Xn是样本，S2为样本方差，为样本均值，则均值，则34第34页，共37页，编辑于2022年，星期六机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 4 从正态总体从正态总体中，抽取了中，抽取了 n=20 的样本的样本(1)求求(2)求求解（1）（2）35第35页，共37页，编辑于2022年，星期六机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 设X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与 Y1,Y2,Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统 计量所服从的分布.解解Y N(0,9)36第36页，共37页，编辑于2022年，星期六机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 6 设总体设总体的样本的样本,为总体为总体 X试确定常数试确定常数c 使使cY 服从服从分布分布.解解故因此37第37页，共37页，编辑于2022年，星期六