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1、菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究21.2空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1.会判断空间两直线的位置关系会判断空间两直线的位置关系(重点重点)2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角(重点、难点重点、难点)3能用公理能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题和等角定理解决一些简单的相关问题(重点重点)菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究空间中
2、两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系阅读教材阅读教材P44P45“探究探究”以上部分以上部分，完成下列问题完成下列问题1异面直线异面直线(1)定义：不同在定义：不同在_的两条直线的两条直线任何一个平面内任何一个平面内菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究(2)异面直线的画法异面直线的画法菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究2空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系位置关系位置关系特点特点相交相交同一平面内，有且只
3、有同一平面内，有且只有_公共点公共点平行平行同一平面内，同一平面内，_公共点公共点异面直线异面直线不同在不同在_，_公共点公共点一个一个没有没有任何一个平面内任何一个平面内没有没有菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究【练习练习】如图如图217所示，已知长方体所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，则与棱，则与棱AA1所在的直线异面的棱有所在的直线异面的棱有_【解析解析】与棱与棱AA1异面的棱有异面的棱有DC、BC、D1C1、B1C1.【答案答案】DC、BC、D1C1、B1C1菜菜 单单课课前前.自自主主导
4、导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究平行公理平行公理(公理公理4)与等角定理与等角定理阅阅读读教教材材P45“探探究究”以以下下部部分分至至P46倒倒数数第第7行行的的内内容容，完成下列问题完成下列问题1平行公理平行公理(公理公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相_这一性质叫做空间这一性质叫做空间_平行平行平行线的传递性平行线的传递性菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究2等角定理等角定理空空间间
5、中中如如果果两两个个角角的的两两边边分分别别对对应应_，那那么么这这两两个个角角_或或_平行平行相等相等互补互补菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究【思考思考】公理公理4的作用是什么？的作用是什么？【提提示示】公公理理4表表明明了了平平行行的的传传递递性性，它它可可以以作作为为判判断空间两直线平行的依据断空间两直线平行的依据菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究【练练习习】若若AOB45，OAOA，OBOB，则则AOB等于
6、等于()A45B135C45或或135 D以上都不对以上都不对【解解析析】AOB的的两两边边分分别别与与AOB的的两两边边平平行行，由等角定理知，由等角定理知，AOB与与AOB相等或互补故选相等或互补故选C.【答案答案】C菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究异面直线所成的角异面直线所成的角阅阅读读教教材材P46倒倒数数第第6行行至至P47“探探究究”以以上上部部分分，完完成成下下列问题列问题异面直线所成的角异面直线所成的角(1)定定义义：已已知知两两条条异异面面直直线线a，b，经经过过空空间间任任一一点点O
7、作作直线直线aa，bb，我们把，我们把a与与b所成的所成的_(或或_)叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)(2)异面直线所成的角异面直线所成的角的取值范围：的取值范围：_(3)当当_时，时，a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作_ 锐角锐角直角直角09090ab菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究【思思考考】在在异异面面直直线线所所成成角角的的定定义义中中，角角的的大大小小与与点点O的位置有关系吗？的位置有关系吗？【提提示示】根根据据等等角角定定理理可可知知，a与与b所所成成角角的
8、的大大小小与与点点O的的位位置置无无关关但但是是为为了了简简便便，点点O常常取取在在两两条条异异面面直直线线中中的的一一条条上上，特特别别是是这这一一直直线线上上的的某某些些特特殊殊点点(如如线线段段的的端端点点、中点等中点等)菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究探究问题探究问题1若若把把立立交交桥桥抽抽象象成成一一直直线线，它它们们是是否否在在同同一一平平面面内内？它们有何特征？它们有何特征？2不同在一个平面内的两条直线是异面直线吗？不同在一个平面内的两条直线是异面直线吗？3直直线线a与与直直线线b异异面
9、面，直直线线b与与直直线线c异异面面，那那么么a与与c异面吗？异面吗？菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究【探究提示探究提示】1不共面不共面，即不相交也不平行即不相交也不平行2不不一一定定异异面面直直线线是是不不同同在在任任何何一一个个平平面面内内的的两两条条直直线线，可可以以理理解解为为：空空间间中中找找不不到到一一个个平平面面，使使其其同同时时经经过过a、b两两条条直直线线如如图图，直直线线a、b分分别别在在平平面面与与平平面面内内，但但a、b不是异面直线不是异面直线菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学
10、配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究3不不一一定定例例如如，在在长长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，棱棱AB与与B1C1异异面面，棱棱B1C1与与AA1异异面面，而而AB与与AA1是是相相交交直直线线，不是异面直线不是异面直线菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究探究成果探究成果1异异面面直直线线与与相相交交直直线线、平平行行直直线线的的本本质质区区别别是是相相交交直直线线和和平平行行直直线线均均确确定定一一个个平平面面，而而异异面面直直线线不不确确定
11、定任任何何平平面面2异异面面直直线线不不具具有有传传递递性性，即即直直线线a与与b异异面面，b与与c异异面，则面，则a与与c不一定是异面直线不一定是异面直线菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究关键词：异面直线的定义平行公理排除法关键词：异面直线的定义平行公理排除法a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几种说法：是空间中的三条直线，下面给出的几种说法：若若ab，bc，则，则ac；若若ab，bc，则，则ac；若若a与与b相交，相交，b与与c相交，则相交，则a与与c相交；相交；菜菜 单单课课前前.自自主主导导学
12、学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究若若a平面平面，b平面平面，则，则a，b一定是异面直线；一定是异面直线；若若a，b与与c成等角，则成等角，则ab.其中正确的是其中正确的是_(只填序号只填序号)【思思路路点点拨拨】题题目目条条件件中中给给出出了了直直线线a，b，c所所满满足足的的位位置置关关系系，要要判判断断直直线线a与与b或或a与与c的的位位置置关关系系，解解答答本本题题可应用平面几何知识可应用平面几何知识，异面直线的定义或公理异面直线的定义或公理4等等菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩
13、巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究(1)判判定定两两条条直直线线平平行行或或相相交交可可用用平平面面几几何何的的方方法法去去判判断断，而两条直线平行也可以用公理而两条直线平行也可以用公理4判断判断(2)判定两条直线是异面直线的方法：判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内排除法排除法(反证法反证法)：排除两直线共面：排除两直线共面(平行或相交平行或相交)菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究变式训练变式训练1如如图图219，在在正
14、正四四棱棱柱柱(侧侧面面为为矩矩形形，底底面面为为正正方方形形的的棱棱柱柱)ABCDA1B1C1D1中中，E，F分分别别是是AB1，BC1的的中中点点，则以下结论中不成立的是则以下结论中不成立的是_EF与与BB1垂直；垂直；EF与与BD垂直；垂直；EF与与CD异面；异面；EF与与A1C1异面异面菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究关键词：相等或互补三角形中位线关键词：相等或互补三角形中位线如如图图2110所所示示，已已知知棱棱长长为为a的的正正方方体体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别是棱分别是棱C
15、D、AD的中点的中点(1)求证：四边形求证：四边形MNA1C1是梯形；是梯形；(2)求证：求证：DNMD1A1C1.【思思路路点点拨拨】(1)利利用用公公理理4证证明明(2)利利用用等等角角定定理理证证明明菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究(1)空间两条直线平行的证明：空间两条直线平行的证明：定定义义法法：即即证证明明两两条条直直线线在在同同一一个个平平面面内内且且两两直直线线没没有公共点；有公共点；利利用用公公理理4：找找到到一一条条直直线线，使使所所证证的的直直线线都都与与这这条条直线平行直线平行(2
16、)等角定理的结论是相等或互补等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时在实际应用时，一般一般再借助于图形判断是相等再借助于图形判断是相等，还是互补还是互补，还是两种情形都有可还是两种情形都有可能能 菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究变式训练变式训练2如如图图2111，已已知知E，F，G，H分分别别是是空空间间四四边边形形ABCD的边的边AB，BC，CD，DA的中点的中点(1)求证：求证：E，F，G，H四点共面；四点共面；(2)若四边形若四边形EFGH是矩形，求证：是矩形，求证：ACBD.菜菜 单单课课前前.
17、自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究求两异面直线所成的角的三个步骤：求两异面直线所成的角的三个步骤：(1)作作：根根据据所所成成角角的的定定义义，用用平平移移法法作作出出异异面面直直线线所所成成的角；的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值计算：求角的值，常利用解三角形得出常利用解三角形得出可可用用“一一作作二二证证三三计计算算”来来概概括括同同时时注注意意异异面面直直线线所所成角的范围是成角的范围是(0，90菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必
18、修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究变式训练变式训练3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：(1)异面直线异面直线AB与与A1D1所成的角；所成的角；(2)AD1与与DC1所成的角所成的角菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究1求求证证两两直直线线平平行行有有两两种种常常用用的的方方法法：一一是是应应用用公公理理4，证证明明时时要要充充分分应应用用好好平平面面几几何何知知识识，如如平平行行线线分分线线段段成成比比例例定定理理、三三角角形形的的中中位位线线定定理理等等；二
19、二是是证证明明在在同同一一平平面面内内，这两条直线无公共点这两条直线无公共点2求求证证角角相相等等也也有有两两种种常常用用的的方方法法：一一是是应应用用等等角角定定理理，在在证证明明的的过过程程中中常常用用到到基基本本性性质质4，注注意意两两角角对对应应边边方方向的讨论；二是应用三角形全等或相似向的讨论；二是应用三角形全等或相似菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究3求异面直线所成的角的两个关键求异面直线所成的角的两个关键(1)求求异异面面直直线线所所成成的的角角就就是是要要通通过过平平移移转转化化的的方方法
20、法，将将异异面面直直线线所所成成的的角角转转化化成成同同一一个个平平面面内内的的直直线线所所成成的的角角，放放到同一个可解的三角形中去求解到同一个可解的三角形中去求解(2)要多角度平移，不能局限于一个平面要多角度平移，不能局限于一个平面菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究1分别和两条异面直线都相交的两条直线一定分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()A异面异面B相交相交C不相交不相交 D不平行不平行【解解析析】和和两两条条异异面面直直线线都都相相交交的的两两条条直直线线可可能能相相交交，也可能异面也可能异
21、面，但一定不平行但一定不平行【答案答案】D菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究2如如图图2113所所示示，在在三三棱棱锥锥SMNP中中，E、F、G、H分分别别是是棱棱SN、SP、MN、MP的的中中点点，则则EF与与HG的的位位置关系是置关系是()A平行平行B相交相交C异面异面 D平行或异面平行或异面菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究3若若正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长长为为1，则则B1D与与CC1所成角的正切值为所成角的正切值为_【解析解析】如图如图，B1D与与CC1所成的角为所成的角为BB1D.菜菜 单单课课前前.自自主主导导学学配人教配人教A版数学版数学 必修必修2课课后后巩巩固固验验收收课课堂堂.互互动动探探究究4已已知知E，E1分分别别是是正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱AD，A1D1的中点的中点求证：求证：CEBC1E1B1.【证明证明】如图所示如图所示，连接连接EE1.E1，E分别为分别为A1D1，AD的中点的中点，A1E1綊綊AE，四边形四边形A1E1EA为平行四边形为平行四边形，