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1、考点一空间几何体的结构特征考点一空间几何体的结构特征A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考1.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案答案2解析解析由三视图可知,四棱锥的底面是平行四边形,其面积为21=2m2,四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=23=2m3.2.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案答案解析解析由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1,两个圆锥的高均为1,圆柱的高
2、为2.因此该几何体的体积V=2121+122=(m3).3.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案答案解析解析由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体,其体积为222+124=m3.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.考点二空间几何体的表面积和体积考点二空间几何体的表面积和体积答案答案解析解析本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积.由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为,即
3、底面面积为,由正方体的性质知,四棱锥的高为.故四棱锥M-EFGH的体积V=.B B组统一命题、省组统一命题、省(区、市区、市)卷题组卷题组考点一空间几何体的结构特征考点一空间几何体的结构特征1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案C本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系.由三视图得四棱锥的直观图如图所示.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD底面ABCD,AD,DC,AB底面ABCD,得SDAD,SDDC,SDAB,故SDC,SDA为直角三角形,
4、又ABAD,ABSD,AD,SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD,又SA平面SAD,ABSA,即SAB也是直角三角形,从而SB=3,又BC=,SC=2,BC2+SC2SB2,SBC不是直角三角形,故选C.方法技巧方法技巧三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还原为直观图时,借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单.2.(2018课标,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2
5、答案答案B由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线,沿FN将圆柱侧面展开,如图2所示,MN即为从M到N的最短路径,由题知,ME=2,EN=4,MN=2.故选B.图1图23.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2答案答案B根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD=2.故选B.考点二空间几何体的表面积和体积考点二空间几何体的表面积和体积1.(2019课标理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶
6、点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()A.8B.4C.2D.答案答案D本题考查线面垂直的位置关系、三棱锥的性质和球的体积公式,考查空间想象能力和数学运算能力,考查的核心素养是直观想象和数学建模.解法一:E、F分别是PA、AB的中点,EFPB.CEF=90,EFEC,PBEC,又三棱锥P-ABC为正三棱锥,PBAC,从而PB平面PAC,三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC=,则球O是棱长为的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R=,R=,球O的体积V=R3=.故选D
7、.解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC=.在PAC中,cosAPC=.在PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx=x2+2,在FEC中,CEF=90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x=,PA=PB=PC=2x=.AB=BC=CA=2,三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,PA、PB、PC两两垂直,故球O是棱长为的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R=,R=,球O的体积V=R3=.故选D.解题关键解题关键三棱锥与球的切、接问题,关键是确定三棱锥的特殊性.本题中确定三棱锥的侧棱长是关键.通常
8、情况下,把空间问题转化为平面问题后通过解三角形完成,充分利用平行、垂直的特殊位置关系更有利于解题.2.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案答案B本题考查空间几何体的三视图、直观图;以三视图还原直观图为背景考查学生的空间想象能力和运算求解能力;体现直观想象的核心素养;以祖暅原理为背景旨在弘扬中华优秀传统文化,指导学生树立正确的历
9、史观、民族观、国家观.由三视图知该柱体的直观图为如图所示的五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,取CD中点G,连接AG,由侧视图知AGCD,AG=6,底面积S=S梯形AGCB+S梯形AGDE=(2+6)3+(4+6)3=27,该柱体体积V=Sh=276=162.故选B.解题关键解题关键正确利用正视图与俯视图“长对正”的原理确定AG,BC的长.3.(2018课标,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.8答案答案C本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角.如图,由长方体的性质可得A
10、B平面BCC1B1,BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影,AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角,即AC1B=30,在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2,在RtBCC1中,CC1=2,该长方体的体积V=222=8,故选C.易错警示易错警示不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.方法总结方法总结用定义法求线面角的步骤:(1)找出斜线上的某一点在平面内的射影;(2)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角;(3)构建直角三角形,求解得出结论.4.(2018课标,12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边
11、三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54答案答案B本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题.设等边ABC的边长为a,则有SABC=aasin60=9,解得a=6.设ABC外接圆的半径为r,则2r=,解得r=2,则球心到平面ABC的距离为=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18,故选B.方法总结方法总结解决与球有关的切、接问题的策略:(1)“接”的处理:构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题.空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等).利用球心与截
12、面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线.(2)“切”的处理:体积分割法求内切球半径.作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解.多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.5.(2016课标文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.C.8D.4答案答案A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S=4R2=12.故选A.评析评析本题考查了正方体和球的切接问题.正方体的体对角线即为其外接球的直径.6.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.
13、答案答案解析解析本题考查组合体体积的计算.多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为,高为1,其体积为()21=,多面体的体积为.7.(2017课标,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案答案36解析解析解法一:由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=R.连接OA,OB,则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面
14、SCB,所以OAOB,则AB=R,所以ABC是边长为R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1平面ABC,CO1=R=R,则OO1=R,则VS-ABC=2VO-ABC=2(R)2R=R3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4R2=36.解法二:由题意得AOSC,BOSC,所以AOB是平面SCA与平面SCB所成二面角的平面角,又因为AOBO=O,所以SC平面ABO.因为平面SCA平面SCB,所以AOB=90,所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO=SC=9.由于OA=OB=SC,从而球O的半径R=OA=OB=3,故球O的表面积S=4R2=36.8.(2017课标,
15、15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案答案14解析解析由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2=,所以球O的表面积为4R2=14.评析评析本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.疑难突破疑难突破长方体的体对角线为球的直径是求解的关键.易错警示易错警示易因用错球的表面积公式而致错.9.(2018课标,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q
16、为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解析解析(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.如图,作QEAC,垂足为E,则QEDC,且QE=DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为SABPQE=32sin451=1.规律总结规律总结证明空间线面位置关系的一般步骤:(1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系;(2)明确方向
17、:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线;(3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明;(4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确.解题关键解题关键(1)利用平行关系将ACM=90转化为BAC=90是求证第(1)问的关键;(2)利用翻折的性质将ACM=90转化为ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键.10.(2017课标,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90
18、.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.解析解析(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=x.因为
19、PCD的面积为2,所以xx=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=2=4.11.(2016课标,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.解析解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得=.(5分)由AB=5,AC=6
20、得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,因为OD平面BHD,所以ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分)又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.(10分)所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.(12分)C C组教师专用题组组教师专用题组1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案答案C本小题考查空间几何体的体积公式.由三视图可知该
21、几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1cm,2cm,高为2cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V=22=6cm3.思路分析思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱;(2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.2.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是()锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高A.3B.2C.D.1答案答案D由俯视图可知,三棱锥底面是边长为2的等边三角形.由侧视图可知,三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V=2=1.3.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示
22、,则该几何体的体积为()A.12B.18C.24D.30答案答案C由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1截掉一个三棱锥D-A1B1C1得到的,其中AC=4,BC=3,AA1=5,AD=2,BCAC,所以该几何体的体积V=ACBCAA1-A1C1B1C1A1D=435-433=30-6=24.4.(2016课标文,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.答案答案B易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=4
23、3,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=R3=.故选B.5.(2015课标,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答案答案CAOB的面积为定值,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.记球O的半径为R,由R3=36得R=6.从而球O的表面积S=4R2=144.故选C.6.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N
24、,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案答案解析解析三棱柱ABC-A1B1C1的直观图如图,由题意知CC1=AB=AC=1,ABAC.N,P分别为BC,B1C1的中点,NPCC1.CC1AA1,NPAA1.又AA1平面MNP,NP平面MNP,AA1平面MNP.A1到平面MNP的距离等于A到平面MNP的距离.由题意知,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,AA1平面ABC,AA1AM,AMNP.M,N分别为AB,BC的中点,MNAC.ACAB,AMMN.MNNP=N,AM平面MNP,A1到平面MNP的距离即为线段AM的长.=AMSMNP=1=.7.(2015课标
25、,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.解析解析(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(5分)(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=AC
26、GDBE=x3=.故x=2.(9分)从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.(12分)8.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值.解析解析(1)由题设AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=SABCPA=.(2)在平面ABC内,过点B
27、作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcosBAC=,从而NC=AC-AN=.由MNPA,得=.评析评析本题考查线面垂直的判定与性质及三棱锥体积的计算.考点一空间几何体的结构特征考点一空间几何体的结构特征三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019天津河东二模,4)一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为()A.32B.34C.36D.38答
28、案答案B由三视图可知几何体是四棱锥,可将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为4,3,3的长方体,则长方体的外接球即为四棱锥的外接球,此时长方体的体对角线即为外接球的直径,则(2R)2=42+32+32=34,即4R2=34.所以外接球的表面积为4R2=34,故选B.2.(2019天津和平一模理,11)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.答案答案36-解析解析该几何体是由四棱柱挖去一个圆锥后所得的几何体,则几何体的体积为334-2=36-.故答案为36-.考点二空间几何体的表面积和体积考点二空间几何体的表面积和体积1.(2019天津部分区二模文,11)如图所示,若正方体ABCD-A1
29、B1C1D1的棱长为1,则三棱锥C-DD1B1的体积为.答案答案解析解析由题意可得=CDDD1B1C1=.2.(2019天津和平二模文,12)一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上,如果该四棱柱的底面是对角线长为cm的正方形,侧棱与底面垂直,则该四棱柱的表面积为.答案答案(2+4)cm2解析解析设这个四棱柱的侧棱长为acm.该四棱柱的底面是对角线长为cm的正方形,四棱柱的底面边长为1cm.四棱柱的外接球的直径为2cm,侧棱与底面垂直,=1,解得a=.该四棱柱的表面积S=212+41=(2+4)cm2.故答案为(2+4)cm2.3.(2019天津河西二模,10)在三棱锥P-ABC中,D
30、、E分别为PB、PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则=.答案答案解析解析设点A到平面PBC的距离为h,则三棱锥D-ABE的体积V1=VA-BDE=hSBDE,三棱锥P-ABC的体积V2=VA-PBC=hSPBC.设E到BP的距离为h1,C到BP的距离为h2,由D、E分别为PB、PC的中点可知h1=h2且BD=BP,所以SBDE=h1BD=h2BP=SPBC,所以=.4.(2019天津红桥二模文,11)一个正方体的表面积为24,若一个球内切于该正方体,则此球的体积是.答案答案解析解析正方体的表面积为24,正方体的棱长为2,正方体的内切球的直径为2,则内切球
31、的半径为1,球的体积V=.5.(2019天津南开二模理,11)球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球,若正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S1,球O的表面积为S2,则=.答案答案解析解析设正方体的棱长为a,则正方体的表面积S1=6a2.又易知球O的半径为,S球=4=3a2,即S2=3a2,=.6.(2019天津十二重点中学二模,11)已知圆锥的高为3,底面半径长为4,若球O的表面积与此圆锥侧面积相等,则该球的体积为.答案答案解析解析圆锥的底面半径r=4,高h=3,圆锥的母线长l=5,圆锥侧面积S=rl=20.设球O的半径为R,则4R2=20,R=.该球的体积V=()3=.故答案
32、为.7.(2019天津部分区一模文,11)圆柱的体积为,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体积为.答案答案解析解析设圆柱的高为h,由圆柱的体积为,底面半径为,得h=,则h=1.又圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,球的半径r=1.该球的体积V=13=.故答案为.B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:60分钟分值:80分一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019天津新华中学期中,3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+B.+C.+2D.+2答案答案A由三视图知,该几何体由一个三棱锥与半
33、个圆柱组成.故体积V=V三棱锥+V圆柱=211+122=+.故选A.2.(2019天津河北一模文,7)已知ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,以AD为折痕,将ABC折成直二面角B-AD-C,则过A,B,C,D四点的球的表面积为()A.3B.4C.5D.6答案答案C由题意可知过A,B,C,D四点的球的直径是以DA,DB,DC为棱的长方体的体对角线的长.由ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点可得AD=,BD=CD=1.设球的半径为r,则(2r)2=()2+12+12.所以r2=.所以S=4r2=4=5,故球的表面积为5.故选C.二、填空题(每小题5分,共55分)3.(2019天津
34、部分区一模理,11)已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.答案答案2解析解析旋转后的几何体是由两个底面半径为,高为1的圆锥组合成的组合体,V=2()21=2.4.(2019天津河东一模,11)如图,圆柱内有一个直三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内,且底面是正三角形,如果三棱柱的体积为12,圆柱的底面直径与母线长相等,则圆柱的侧面积为.答案答案16解析解析设圆柱的底面半径为r,则其高为2r.三棱柱的底面是正三角形,且内接于圆,作出图形如图所示.连接OA,OB,过O作OD垂直AB于D.因为ABC为等边三角形,所以OAB=30.在RtAOD
35、中,AD=OAcos30=r.AB=r.三棱柱的体积为(r)22r=12,解得r=2.圆柱的侧面积为2r2r=224=16.5.(2019天津河西一模理,11)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3,AA1=2,则四棱锥A-BB1D1D的体积为.答案答案6解析解析连接AC,与BD交于点O.由题意易知AO平面BB1D1D.四边形ABCD是边长为3的正方形,AO=AC=.四棱锥A-BB1D1D的体积V=23=6.故答案为6.6.(2019天津红桥一模,13)平面截球O所得的截面圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为.答案答案4解析解析作出对应的截面图,如图所示:截面
36、圆的半径为1,BC=1.球心O到平面的距离为,OC=.设球O的半径为R,在RtOCB中,OB2=R2=BC2+OC2=12+()2=3,解得R=,该球的体积为R3=()3=4.故答案为4.7.(2019天津九校联考一模理,12)已知三棱锥A-BCD中,AB面BCD,BDC=90,AB=BD=2,CD=1,则三棱锥外接球的体积为.答案答案解析解析如图,AB平面BCD,DC平面BCD,ABDC.BDC=90,BDDC,又ABBD=B,DC平面ABD,则DCAD.AC为三棱锥A-BCD的外接球的直径.AB=BD=2,CD=1,AC=3.三棱锥的外接球的半径为.三棱锥的外接球的半径为.三棱锥的外接球的
37、体积V=.故答案为.思路分析思路分析由题意画出图形,证明DCAD,可得AC为三棱锥A-BCD的外接球的直径,进一步求得AC,再由球的体积公式求解.8.(2019天津南开一模,11)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.答案答案解析解析由题意可知=11=.又易知B1C与平面ADD1A1平行,故点F到平面DD1E的距离等于点C到平面ADD1A1的距离CD的长.所以=1=.9.(2019天津十二重点中学一模理,11)已知圆柱的高和底面半径均为2,则该圆柱的外接球的表面积为.答案答案20解析解析由圆柱的底面半径为2可知圆柱
38、的底面直径为4.又圆柱的高为2,则圆柱的轴截面是长为4,宽为2的矩形.圆柱的外接球的半径r=.该圆柱的外接球的表面积为4()2=20.故答案为20.10.(2019天津十二重点中学一模文,11)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,且PA=PB=PC=PD,已知四棱锥的表面积是12,则它的体积为.答案答案解析解析由已知得四棱锥P-ABCD是正四棱锥,设正四棱锥的斜高为h,则22+42h=12,解得h=2.正四棱锥的高为=.正四棱锥的体积V=4=.11.(2019天津七校联考,11)一个几何体的正视图由2个全等的矩形组成,侧视图也是矩形,俯视图由两个全等的直角三角形组成
39、,数据如图所示,则该几何体的体积为.答案答案12解析解析由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个直三棱柱,其体积等于长方体体积减去直三棱柱体积.长方体体积等于324=24,挖去的直三棱柱的体积等于324=12,故该几何体的体积为24-12=12.思路分析思路分析由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个直三棱柱,用间接法求体积即可.评析评析本题考查由三视图求几何体的体积,考查了计算能力,空间想象能力,根据三视图还原几何体是解题的关键.12.(2019天津南开中学开学考,11)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为cm3.答案答案20解析解析根据几何体的三视图得,该几
40、何体是直三棱柱切去一个三棱锥,如图所示.该几何体的体积V=344-342=20(cm3).13.(2019天津南开中学统练(3),11)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.答案答案解析解析设球O的半径为r,则由球的体积公式得V2=r3,又由球与圆柱的上、下底面及母线均相切知,圆柱底面半径为r,高为2r,则由圆柱的体积公式得V1=r22r=2r3,所以=.解题分析解题分析本题主要考查球和圆柱的相关知识及球与圆柱的体积公式,V球=r3,V圆柱=r2h.三、解答题(共15分)14.(2017天津和平二模,17)
41、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=4,D为BB1上一点,E为AC上一点,且B1D=CE=1,BE=.(1)求证:BEAC1;(2)求证:BE平面AC1D;(3)求四棱锥A-BCC1B1的体积.解析解析(1)证明:在ABE中,AB=4,AE=3,BE=,AE2+BE2=AB2,则BEAE,即BEAC.三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,CC1底面ABC,CC1BE.又CC1AC=C,BE平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1,BEAC1.(2)证明:在平面ACC1A1中,过E作EFC1C交AC1于F,连接DF.CE=AC,C1F=AC1=,AF=3,则EF=3.B
42、D=BB1-B1D=3,EF=BD.EFCC1,BDCC1,BDEF,又BD=EF,四边形BDFE为平行四边形,BEDF.BE平面AC1D,DF平面AC1D,BE平面AC1D.(3)=ACBEAA1=44=8,=8=,=-=8-=.C C组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟应用创新题组应用创新题组1.(201953原创冲刺卷三理,11)球的直径SC=4,点A、B在球面上,AC=BC=1,ACB=120,三棱锥S-ABC的体积为,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.4B.6C.8D.16答案答案DSABC=CACBsinACB=.三棱锥S-ABC的体积为,三棱锥S-A
43、BC的底面ABC上的高为2.取SC的中点O,则O到底面ABC的距离OH=,其中O为球心,H为三角形ABC外接圆的圆心.由正弦定理可知2CH=2,CH=1,CO=2,OA=OB=2,又OC=OS=2,故三棱锥S-ABC的外接球的半径为2,三棱锥S-ABC的外接球的表面积为16,故选D.2.(201953原创冲刺卷四理,12)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P为侧面矩形ADD1A1内任意一点,过P和BD1作平面,则平面截此长方体所得截面面积的最小值为()A.2B.C.D.答案答案C若截面为矩形,即矩形A1BCD1,ABC1D1,DBB1D1,其面积分别为,2.若截面
44、为平行四边形,如图(1)(2)所示,即平行四边形MBND1,BSD1Q.在平行四边形MBND1中,AM=C1N,过点M作MHBD1于H,当MH长度最小,即MH为异面直线AA1,BD1的公垂线段时,平行四边形MB-ND1面积最小,易知异面直线AA1,BD1公垂线段的长即为A1到平面DBB1D1的距离,为,所以平行四边形MBND1面积的最小值为BD12=;同理可知平行四边形BSD1Q面积的最小值为.综上可知,截面面积的最小值为,故选C.3.(201953原创冲刺卷七理,11)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是边长为6的等边三角形,D是AB的中点,DC1与平面ABC所成角的正切值为,则三棱柱
45、ABC-A1B1C1的外接球的表面积为()A.B.C.D.答案答案D连接CD,如图所示.因为CC1平面ABC,所以CDC1即为DC1与平面ABC所成的角.因为ABC是边长为6的等边三角形,D是AB的中点,所以CD=6=3.因为DC1与平面ABC所成角的正切值为,所以=,解得CC1=.设等边ABC、等边A1B1C1的中心分别为O、O1,连接OO1,则O在线段CD上,且CO=CD=2.易知三棱柱的外接球球心为OO1的中点,设为M,连接CM,则CM为外接球的半径.在RtMCO中,由勾股定理得CM=,所以该三棱柱的外接球的表面积S=4=.故选D.4.(201953原创冲刺卷八理,5)如图所示,某几何体的三视图是3个半径均为1的圆,且每个圆中的直径相互垂直,则该几何体的体积为()A.B.C.D.