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1、第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法频率特性频率特性一一 典型环节典型环节 开环系统频率特性开环系统频率特性二二频域稳定判据频域稳定判据三三频域稳定裕度频域稳定裕度四四第第五五章章一、频率特性一、频率特性 1、频率特性、频率特性考察一个系统的好坏，通常用阶跃信号输入下系考察一个系统的好坏，通常用阶跃信号输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用正弦信号输入时系统的响应来分析，有时也用正弦信号输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率但这种响应并不是单看某一个频率的的正弦正弦信号信号输入时的输入时的瞬态响
2、应瞬态响应，而是考察频率由低到高无，而是考察频率由低到高无数个正弦数个正弦信号信号输入下所对应的每个输出的输入下所对应的每个输出的稳态稳态响应响应。因此，这种响应也叫频率响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应的概念频率响应的概念【问题问题】：对于线性定常系统，输入是：对于线性定常系统，输入是正弦信号，输出信号的稳态值？正弦信号，输出信号的稳态值？在正弦信号作用下，系统响应特性在正弦信号作用下，系统响应特性在不同频率正弦信号作用下，系统响应特性在不同频率正弦信号作用下，系统响应特性频率特性的概念：频率特性的概念：线性定常系统，当输入为正弦信号时，其输线性定常系统，当输入为正弦信号时，其输出的
3、稳态分量一定是同频率的正弦信号。出的稳态分量一定是同频率的正弦信号。当然，正弦信号的幅值和相位会有所不同，当然，正弦信号的幅值和相位会有所不同，且幅值比与相位差均是频率的函数。且幅值比与相位差均是频率的函数。定义：定义：对于线性定常系统，在正弦信号的作用下，对于线性定常系统，在正弦信号的作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性。的频率特性。讨论正弦信号作用下系统响应的一般规律。讨论正弦信号作用下系统响应的一般规律。先看一个熟悉的例子：先看一个熟悉的例子：R Cui(t)uo(t)请注意输入输出信请注意输入输出信号之间幅值与相位号之间幅值与相
4、位的关系，并将之与的关系，并将之与传递函数对照。传递函数对照。不难发现：输出的稳态信号与输入信号相比不难发现：输出的稳态信号与输入信号相比传递函数：传递函数：输入：输入：输出的稳态：输出的稳态：问题：这一结论是巧合还是必然？问题：这一结论是巧合还是必然？结论是肯定的结论是肯定的另一方面，令传递函数中另一方面，令传递函数中 则则 R Cui(t)uo(t)幅值比（放大倍数）幅值比（放大倍数）相位差（超前角）相位差（超前角）证明：证明：设稳定线性定常系统的传递函数设稳定线性定常系统的传递函数 当系统输入为谐波信号当系统输入为谐波信号 即即 系统输出的拉氏变换为系统输出的拉氏变换为 其中其中sk(k
5、=3,4,)的实部为负数，且：的实部为负数，且：因为系统稳定，输出响应稳态分量为因为系统稳定，输出响应稳态分量为证明（去掉中间过程）：证明（去掉中间过程）：设稳定线性定常系统的传递函数为设稳定线性定常系统的传递函数为 当系统输入为谐波信号当系统输入为谐波信号 系统输出响应稳态分量为系统输出响应稳态分量为 两相对照立即可得两相对照立即可得于是，依定义，系统的频率特性是于是，依定义，系统的频率特性是这就是要证的结论这就是要证的结论频率特性的傅氏定义频率特性的傅氏定义:稳定系统的频率特性稳定系统的频率特性等于输出和等于输出和输入的傅氏变换之比。输入的傅氏变换之比。【性质性质】G(j)是是G(s)中令
6、中令s=j所得的复向量；所得的复向量；频率特性也是一种数学模型；频率特性也是一种数学模型；频率特性的三种表示方法：频率特性的三种表示方法：指数形式、三角式、代数式指数形式、三角式、代数式U()G(j)的实部，实频特性V()G(j)的虚部，虚频特性 频率特性物理意义明确频率特性物理意义明确,在工程应用中很广泛。获在工程应用中很广泛。获 取方便：试验方法。取方便：试验方法。频率特性是从正弦的稳态相应求出的，但表示的是系统的动态特性。频率特性是指 时的频率响应，在某一频率下的响应不能表示系统的动态特性。从稳态响应测频率特性，给试验获取频率特性提供了方便，但不稳定系统频率特性是观察不到的。微分方程、传
7、递函数、脉冲响应函数和频率特性之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数结论结论：当传递函数中的复变量当传递函数中的复变量s用用jw 代替代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。例子：设传递函数为：微分方程为：频率特性为：频率特性可以写成复数形式：，也可以写成指数形式：。其中，为实频特性，为虚频特性；为幅频特性，为相频特性。在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的四种图解表示。q 幅频特性、相频特性曲线q 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特Nyquist曲线）q 对数频率特性曲线（又称波德Bode图）
8、q 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯Nichols图）2、频率特性的几何表示法、频率特性的几何表示法1）幅频特性、相频特性曲线）幅频特性、相频特性曲线2）极 坐 标 频 率 特 性 曲 线（又 称 奈 魁 斯 特 曲 线）极 坐 标 频 率 特 性 曲 线（又 称 奈 魁 斯 特 曲 线）它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量画出幅值与相位之间的关系。根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S平面上变量s
9、沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。由于幅频特性是由于幅频特性是w w的偶函数，的偶函数，而相频特性是而相频特性是w w的奇函数，所的奇函数，所以当以当w w从从0 0 的频率特性曲的频率特性曲线和线和w w从从0 0的频率特性的频率特性曲线是对称于实轴的。曲线是对称于实轴的。极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响应特性；缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环节的作用。3）对数频率特性曲线（波德图，）对数频率特性曲线（波德图，Bode图）图）Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：横坐标横坐标(称为频率轴称
10、为频率轴)分度：分度：它是以频率 的对数值 log 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：由于 以对数分度，所以零频率点在处。更详细的刻度如下图所示2345678910lg 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L()=20logA()表示。其单位为分贝(dB)。直接
11、将 20logA()值标注在纵坐标上。相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log(幅值)幅值A()1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100100010000对数幅值20lgA()02468101520406080幅值A()1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.0010.0001对数幅值20lgA()0-2-4-6-8-10-15-20-40
12、-60-80使用对数坐标图的优点使用对数坐标图的优点v可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。v可以将乘法运算转化为加法运算。v所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。v对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。RCRC网络中取网络中取 ，其对数频率特性曲线如图所示。，其对数频率特性曲线如图所示。一阶一阶RC网络的伯德图网络的伯德图4）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标
13、为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。二、典型环节与开环系统二、典型环节与开环系统 频率特性频率特性v 典型环节典型环节 惯性环节：惯性环节：1/(Ts+1)，式中，式中T0 一阶微分环节：一阶微分环节：(Ts+1)，式中，式中T0 振荡环节：振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1;式中式中n0，00）积分环节：积分环节：1/s 纯纯微分环节：微分环节：s 二阶微分环节：二阶微分环节：(s/n)2+2s/n+1;式中式中n0，01最小相位环节：零、极点在源点或S平面左半平面v最小相位系统非与最小相位系统最小相位系统非与最小相位系统最小相位传递函数非
14、最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统非最小相位环节非最小相位环节 比例环节：比例环节：K（K0 一阶微分环节：一阶微分环节：(-Ts+1)，式中，式中T0 振荡环节：振荡环节：1/(s/n)2-2s/n+1;式中式中n0，00，00后斜率为-40dB/Dec。由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数z有关，当 时，；当 时，无谐振峰值；当 时，有谐振峰值。当 ，
15、。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。由幅频特性幅值 与 的关系：左图是不同阻尼系数情况下的左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。渐近线之间的误差曲线。当当0.3z z0.8，误差约为，误差约为4dB相频特性：几个特征点：相频特性曲线在半对数坐标中关于(0,90)点是斜对称的。这里要说明的是当 时，,当 时，。此时若根据相频特性的表达式用计算器来计算只能求出90之间的值(tg-1函数的主值范围)，也
16、就是说当 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到。即当 时，用计算器计算的结果要减180才能得到。或用下式计算5）微分环节的频率特性：）微分环节的频率特性：微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：纯微分：纯微分：一阶微分：一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到 。低频段渐近线：高频段渐近线：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图惯性环节的波德图幅频和相频特性为：二阶微分环节：二阶微分环节：低频渐近线：高频渐近线：转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相
17、角的变化范围从0180度。6）延迟环节的频率特性：）延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：4、开 环 系 统 对 数 坐 标 频 率 特 性 的 绘 制（绘 制 波 德 图）、开 环 系 统 对 数 坐 标 频 率 特 性 的 绘 制（绘 制 波 德 图）开环系统频率特性为开环系统频率特性为：（：（写成时间常数形式写成时间常数形式）幅频特性：相频特性：由以上的分析可得到开环系统对数频率特由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后各图相加。的波德图，然后各图相加。例：开环系统传
18、递函数为：，试画出该系统的波德图。解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。实际上，画波德图不用如此麻烦。注意到：幅频曲线由实际上，画波德图不用如此麻烦。注意到：幅频曲线由 折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。q 确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；q 确定低频渐进线：，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。具体步骤如下：q 将频率特性写为时间常数形式。q 高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/de
19、c。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;例例 系统开环特性为：试画出波德图。则:解：1、该系统是0型系统，所以2、低频渐进线：斜率为 ，过点（1，20）3、波德图如下：红线为渐进线，兰线为实际曲线。例例 已知，试画波德图。解：1、2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-60）点。4、画出波德图如下页：3、高频
20、渐进线斜率为：红线为渐进线，兰线为实际曲线。例例 具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出波德图。解：可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。例例 已知 ，画出其对数坐标图。解：将传函写成时间常数形式这可以看作是由五个典型环节构成的求 20lgK=20dB序号环节转折频率转折频率后斜率累积斜率1K2(j)-1202030.5204041+j1+20205204060注意转折频率是时间常数的倒数列表L()j()200相频特性0.10.20.512j()-95.8-104.5-109.4-110.4-106.65102050100j()-106.2-117.9-181.4-252.
21、1-26220-20L(dB)10 L(dB)50-20-40100L(dB)-40-40-201c2 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数幅频曲线就能写出系统的传递函数。如：。如：最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。递函数。解：由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在=0.1处，斜率从0dB/dec变为20dB/dec，属于一阶微分环节。在=
22、1处，斜率从20dB/dec变为0dB/dec，属于惯性环节。在=2处，斜率从0dB/dec变为20dB/dec，属于惯性环节。在=3处，斜率从20dB/dec变为40dB/dec，属于惯性环节。在=4处，斜率从40dB/dec变为60dB/dec，属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式式中K，1，2，3，4待定。由20lgK=30得K=31.62。确定1：确定4：4=82.54确定2：于是，所求的传递函数为1=0.316确定3：3=34.812=3.481三、三、频域稳定判据频域稳定判据1、引言、引言闭环稳定性闭环稳定性劳斯判据劳斯判据 稳定程度？稳定程度？奈氏判据奈氏判据用开环频率特
23、性用开环频率特性 判断闭环稳定判断闭环稳定 稳定度稳定度动态性能动态性能奈魁斯特稳定判据是奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统用开环频率特性判别闭环系统的稳定性的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。指出改善系统性能的途径。设设 F(s)为单值连续的复变函数为单值连续的复变函数幅角原理幅角原理F(s)曲线从曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。j0szi AF(s)ImRe0FB在s 平面上任选一点
24、A通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi，不包围也不通过任何极点和其他零点。从A点出发顺时针转一周回到A S S平面封闭曲线顺时针包围平面封闭曲线顺时针包围F(s)F(s)个极点个极点 F(s)F(s)平面平面F(s)F(s)曲线曲线逆时针逆时针围绕原点转围绕原点转 周周 S S平面封闭曲线顺时针包围平面封闭曲线顺时针包围F(s)F(s)个零点个零点 F(s)F(s)平面平面 F(s)F(s)曲线曲线顺时针顺时针围绕原点转围绕原点转 周周一一一一n nn n S S平面曲线顺时针包围平面曲线顺时针包围F(s)F(s)P P个极点个极点,Z,Z个零点，个零点，F(s)F(s)平面平面F(
25、s)F(s)曲线曲线逆时针逆时针围绕原点的周数围绕原点的周数 N=N=P-Z若N为正，表示F(s)F(s)逆时针运动，包围原点；若N为0，表示F(s)F(s)顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示F(s)F(s)顺时针运动，包围原点。一一一一n nn n映射定理映射定理当复变量s沿封闭曲线顺时针移动一周，在F(s)平面上的映射曲线逆时针包围坐标 原点 P-Z 周。设F(s)是复变量s的一个单值解析函数，s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点和Z个零点，且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点。l 闭环极点与开环极点的关系闭环极点与开环极点的关系设负反馈系统的开环传递函数为：设负反馈系统的开环
26、传递函数为：，其中：，其中：为前向通道传递函数，为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：闭环传递函数为：，如下图所示：，如下图所示：令：则开环传递函数为：则开环传递函数为：.(a)闭环传递函数为：闭环传递函数为：.(b)显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：则辅助方程可写成以下形式：。式中，式中，为为F(s)的零、极点。的零、极点。由由(a)、(b)及及(c)式可以看出：式可以看出：F(s)F(s)的极点为开环传递函数的的极点为开环传递函数的极点极点
27、；F(s)F(s)的零点为闭环传递函数的的零点为闭环传递函数的极点极点。将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：.(c)建立了系统的开环极点和闭环极点与建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)F(s)的零极点之间的直接联系的零极点之间的直接联系2、奈魁斯特稳定判据、奈魁斯特稳定判据对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点。因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们这里是应
28、用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：N=F(s)的右半极点数F(s)的右半零点数=开环系统右半极点数闭环系统右半极点数当已知当已知开环开环右半极点数时，便可由右半极点数时，便可由N N判断判断闭环闭环右极点数右极点数1）G(s)H(s)在虚轴上没有零、极点的情况在虚轴上没有零、极点的情况闭环系统稳定闭环系统稳定按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示，分为三部分：正虚轴：GH即Nyqu
29、ist图负虚轴：该段GH与Nyquist图关于实轴对称右半平面上半径为无穷大的半圆：负号表示顺时针。当时，GH映射为一点（不用单独画出）奈奎斯特稳定判据（奈奎斯特稳定判据（Nyquist）1）系统稳定）系统稳定 当当s沿沿 s顺顺时时针针旋旋转转一一圈圈时时，s在在GH平平面面上上的的映映射射曲曲线线 GH（当当 ）不不经经过过（-1，j0）点点，且且 GH绕绕（-1，j0）点点逆逆时时针针旋旋转转的的圈圈数数R等等于于系系统统在在S右半平面内的开环极点个数右半平面内的开环极点个数P。2）当系统不稳定时，右半平面的闭环极点个数为）当系统不稳定时，右半平面的闭环极点个数为Z=P-R。例开环传递函
30、数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数：。故闭环系统是稳定的。作为对比可求出闭环传递函数特征方程为：由劳斯赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。例设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：开环极点为-1,-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：所以闭环系统是不稳定的。例设开环系统传递函数为：，试用奈氏稳定性判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。解：与实轴的交点当当K=52时，开环极
31、点为时，开环极点为1，1j2，都在，都在s左半平面，左半平面，所以所以P=0。奈氏图如右。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕时针围绕(1，j0)点点2圈。圈。所以闭环系统在所以闭环系统在s右半极点右半极点数为：数为：Z=N+P=2，闭，闭环系统是不稳定的。环系统是不稳定的。若要系统稳定，则：若要系统稳定，则：即K 16时，奈氏图不围绕(1，j0)点。NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4-0.6-0.4-0.200.20.40.6NyquistDiagramRealAxisIma
32、ginaryAxis-1-0.500.511.522.53-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5当K 1，则要求K 5。于是系统稳定的条件为5K 16。上述结论同样可由劳思赫尔维茨判据得到。劳斯阵：要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：5K=1时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则闭环系统是稳定的。当K=1时，奈氏曲线通过(1，j0)点，属临界稳定状态。当K0时闭环时闭环 系统不稳定，当系统不稳定，当Z0，闭环系统不稳定。5.4 频域稳定裕度 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：。对于最小相位系
33、统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。稳定裕度的定义稳定裕度的定义截止频率：相角裕度：相角穿越频率：幅值裕度：稳定裕度的定义稳定裕度的定义幅值裕度幅值裕度相角裕度相角裕度显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则
34、对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。例设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.穿越频率处的相角为：相角裕度为：精确值：g=25.389相位裕度和幅值裕度的计算：相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，所以 ，解此
35、方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：精确值：c=1.227 幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处 的相角为：得：所以，幅值裕度为：当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。例某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-解：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；2、在
36、 之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。上图蓝线为原始波德图。，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论 时较明显）。解得：稳定裕度概念使用时应注意：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统也可以使用稳定裕度的定义，但其幅值裕度和相角裕度有时符号相反。据此判断系统的稳定性时，应两者同为正系统方稳定；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：作业：5-13,5-14。5-12,5-16（选做）【例】已知单位反馈系统的开环传递函数是求增益裕度和相角裕度。解：（1）计算增益裕度，写出系统的频率特性Nyquist曲线在g处穿过负实轴，此时频率特性为纯实数，G()虚部为零。解得增益裕度为系统稳定（2）计算相角裕度，根据增益截止频率的定义解之得相角裕度为0.10.5121040200-20-40