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1、二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程二、二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程三、几个典型模型三、几个典型模型一、几种可降阶的二阶方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程线性齐次微分方程线性齐次微分方程线性非齐次微分方程线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程二、二阶线性微分方程二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:问题问题:1.解的基本性质例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关特别地特别地:例如例如2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:2.二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程特征方程将其代入上方程将其
2、代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根1 1）有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为特征方程法:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解.2 2）有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为3 3）有一对共轭复根）有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2类型（一）类
3、型（一）对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.3.3.二阶常系数非其次线性微分方程二阶常系数非其次线性微分方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例1 1利用欧拉公式利用欧拉公式类型（二）类型（二）注意注意上述结论可推广到上述结论可
4、推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）取虚部）例例2 2解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例3 3所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）取实部）注意注意卫星发射过程的描述深海运动过程摆钟运动的描述水面浮标的上下振动三、运动学和机械振动学上的微分方程建模及其方法关于描述运动规律的知识准备设物体做直线变速运动，其位置函数s=s(t)，与速度 函数v=v(t)，加速度函数a
5、=a(t)的关系为：v(t)=s(t);a(t)=v(t)=s(t).牛顿第二定律：物体的加速度同作用在它上面的合力F成正比，即 F=ma.由此可利用受力分析，求得合力F，并与 m s(t)或m v(t)建立等式，即微分方程。进而求解并分析结果，从而对物体的运动规律进行大致描述。关于力的知识，常用的有：压力、浮力、重力和万有引力、阻力、弹簧力、电（磁）场力等计算公式。问题的提出 在发射人造地球卫星时，通常要求运载火箭离开地面时具有足够大的初始速度，从而就可保证卫星在发射过程中不会下坠，这与一般的上抛运动有所不同。试建立卫星发射过程中的数学模型来描述其运动规律，并求出在理论上所需的最小速度（称
6、第二宇宙速度）。模型的建立假设：卫星发射过程中只受到物体间引力的作用，空气阻力或其它作用力影响不大而忽略。设M和m分别表示地球和卫星的质量，如图，卫星离开地面的时刻记t=0，s=R(地球半径），s(t)表示卫星重心和地球中心的距离，加速度a(t)=s(t)。由万有引力定律，引力F为 F=kmM/s2 在任意时刻t，利用牛顿第二定律，可得微分方程：ms=-kmM/s2，即 s=-kM/s2，(1)且满足s(0)=R,s(0)=V.模型的求解和分析 求解下面微分方程 s=-kM/s2，(1)且满足s(0)=R,s(0)=V.利用降阶法，设v=ds/dt，则 v dv/ds=-kM/s2，解得 v2
7、=2k M/s+C由初始条件s=R时，v=V，代入 C=V2/2 -k M/R，所以 v2=2k M/s+C，(2)不难看出，若保证C0，卫星的运动速度始终不会为零，即它不会下坠。这与我们在地面上上抛物体时，会由于地球重力影响，在某时刻速度会减为0，而后下落有所不同（利用上述模型的结果，不难解释）。要保证C0，即C=V2/2 -k M/R 0,V (2k M/R)1/2因为 g=kM/R2，所以 V(2gR)1/2=11200 m/s。也就是我们通常所说的第二宇宙速度=11200 m/s 过去一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物密封在圆桶后，扔到水深100米以上的海中
8、。为此，许多科学家表示担心，特别是圆桶在运动过程中与海底碰撞，是否会因速度过快而破裂，从而导致放射性废物对大海的污染。这种担心是否会发生呢？首先需要描述圆桶在深海中运动的过程。请建立描述该运动过程的数学模型。问题的提出 模型一 无阻力运动假设：圆桶运动过程中，所受阻力忽略不计，圆桶在水中进行直线运动，不产生旋转运动，即圆桶只受重力G和浮力e影响。在上述假设条件下，圆桶所受合力F=G-e。由牛顿第二定律：F=ma 如图，设圆桶入海时记t=0，位移s=0。若s(t)为t时刻对应的位置函数，则a(t)=s(t)。由此可得微分方程（1）：m s(t)=mg-pgV 且满足 s(0)=0,v(0)=v0
9、.模型二 阻力运动假设：圆桶运动过程中，若圆桶除受重力G和浮力e以外，还受阻力 f影响(和速度成正比)，其它情况同模型一。在此假设条件下，圆桶所受合力F=G-e-f。由牛顿第二定律：F=ma 如图，设圆桶入海时计t=0，位移s=0。若s(t)为t时刻对应的位置函数，则 v(t)=s(t),a(t)=s(t)。由此可得微分方程（2）：m s(t)=mg-pgV-ks(t)且满足s(0)=0,v(0)=v0.模型求解并分析 假设我们已测得下面数据，试利用所建立的模型，求解微分方程并分析结果，从而判断圆桶是否会因碰撞海底而发生破裂。测得圆桶质量m240kg，体积V 0.2立方米，海水比重p 1025
10、kg/立方米。通过大量科学试验表明：当圆桶的速度超过12m/s，与海底碰撞就容易破裂；另外，当圆桶在水中运动时，所受阻力和速度成正比，比例常数k约为0.08g0.12 g （牛 米/秒），即f=kv。模型一的求解 s(t)=g-pgV/m （1）且满足s(0)=0,v(0)=v0利用积分，可求解方程(1)s(t)=Kt+c，K=g-pgV/m.由v(0)=s(0)=v0,v(t)=s(t)=Kt+v0,再次积分，s(t)=Kt2/2+v0 t+c由s(0)=0,c=0,即解为s(t)=Kt2/2+v0 t，K1.43s(t)=0.72t2+v0 t.设v0=0，s(t)=0.72 t2.当s=
11、100米时，t=11.8秒，而v(t)=s(t)=1.43 t v=1.43*11.8=16.8 m/s.即当圆桶到达100处的海底时，其速度将超过12m/s，因而容易破裂。由速度函数v(t)=s(t)=Kt+v0，海底愈深，其速度愈大。若v00，可得圆桶到达海底的速度更大，也就愈容易破裂。模型二的求解s(t)=mg-pgV-k s(t)(2)且满足s(0)=0,v(0)=0.利用降阶法，设 v=s(t)v=mg-pg V-k v再利用变量分离法或常数变易法，可求得：v(t)=s(t)=1-exp(-kt/m)*(m-pV)g/k 再求积分，s(t)=.。同模型一，先求出到达海底的时刻t0，然
12、后求得v(t0)与12m/s比较，从而得到问题的答案。不难发现，在求解t0时刻时，将会遇到求解超越方程的困难（可利用计算机求解，略）。由模型可知，在有阻力的情况下，取k=0.12g,v(t)=290 e-0.005t，当t时，v 290，其变化趋势如图所示：模型二的改进 事实上，对原问题的判断，我们仅须知道速度和位置间的关系，即速度关于位置的函数v=v(s)，为此我们建立该函数的微分方程。由于dv/dt=dv/ds*ds/dt=v dv/ds，代入方程（2）得：v dv/ds=g-pVg/m-k/m v，且满足v(0)=0.利用变量分离法或常数变易法，可得 s=-m v/k-mg(m-p V)
13、/k2 ln(m-p V-k v/g)/(m-p V)当v=12 m/s，代入上式s=52m.由于v=v(s)是增函数，知s=100m时，圆桶的速度将超过12m/s。所以，圆桶容易破裂。现在，美国已明令禁止深海处理废物，改为放置在一些废弃煤矿中。我国根据这一经验，在甘肃、广西等地修建了三个深井来处置放射性废物。进一步讨论（1）如何利用计算机来求解模型二的到达海底的时刻？（2）为什么模型一和模型二的结果一致，可能在怎样的情况下二者会出现不同的结论？（3）即便考虑阻力，模型二所得的物体运动速度仍然随时间增长而逐渐变大。但有时我们将一些物体扔进水中发现，其速度开始增大，但不久就逐渐变小，你能说明它和模型二的不同吗？试建立这种现象的数学模型。（4）观察其它运动现象，并思考其原因。摆钟运动 平衡位置 下压后起始位置 浮标上下振动