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1、一、平面的特点：一、平面的特点：（1）“平平”；（；（2）“无限延展无限延展”；（3）“无厚薄无厚薄”；（；（4）“无大小无大小”；（5）“无宽窄无宽窄”二：平面的表示二：平面的表示平面平面记作：记作：平面平面 ABCD平面平面AC或平面或平面BDABDC1、点与直线的位置关系、点与直线的位置关系（1）点）点A在直线在直线l上：上：（2）点）点A在直线在直线l外外：记作：记作：2、点与平面的位置关系、点与平面的位置关系点点A在平面在平面 内：内：记作记作 点点B在平面在平面 外：外：记作记作 三、空间中几种位置关系三、空间中几种位置关系 按平面基本性质分按平面基本性质分同在一个平面内同在一个平
2、面内相交直线平行直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点有一个公共点:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无无 公公 共共 点点平行直线异面直线3 3、空间中直线与直线之间的位置关系、空间中直线与直线之间的位置关系 aaaA4 4、直线与平面的位置关系、直线与平面的位置关系有无数个公共点有无数个公共点有且只有一个公共点有且只有一个公共点没有公共点没有公共点其中直线与平面其中直线与平面相交或平行相交或平行的情况统称为的情况统称为直线在平面外直线在平面外.5 5、两、两个平面的位置关系个平面的位置关系两平面平行两平面平行没有公共点没有公共点有一条公共直线有一条公共直线
3、两平面相交两平面相交=a位置关系位置关系公共点公共点符号表示符号表示图形表示图形表示公理公理1 1 如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点在一个平面内，那么这在一个平面内，那么这 条条直线在此平面内。直线在此平面内。作用作用:判定直线是否在平面内判定直线是否在平面内公理公理2 2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点，有且只有有且只有一个平一个平 面面作用：确定平面的主要依据作用：确定平面的主要依据推论推论1 1 经过一条经过一条直线和直线和这条这条直线外的一点，直线外的一点，有且只有有且只有 一个平面。一个平面。推论推论2 2 经过经过两条相交直线两条相交直线，有且只有一个平面。，
4、有且只有一个平面。推论推论3 经过经过两条平行直线两条平行直线，有且只有一个平面。，有且只有一个平面。公理公理3 3 如果两个如果两个不重合的平面有一个公共点不重合的平面有一个公共点，那么它，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线们有且只有一条过该点的公共直线作用作用:(:(1)1)判断两个平面相交的依据判断两个平面相交的依据;(2)(2)判断点在直线上。判断点在直线上。1.1.如果如果三个平面两两相交，三个平面两两相交，那么它们的那么它们的交线交线有多少条？画出图形表示你的结论。有多少条？画出图形表示你的结论。答答:有可能有可能1 1条，也有可能条，也有可能3 3条交线。条交线。（1）（2）
5、2 2、3 3个平面把空间分成几部分？个平面把空间分成几部分？（2）（1）（3）（4）（5）46678两直线异面的判别二两直线异面的判别二:两条直线两条直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内.两直线异面的判别一两直线异面的判别一:两条直线两条直线 既不相交、又不平行既不相交、又不平行.定义：不同在定义：不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。1.异面直线异面直线:证明异面直线时常用证明异面直线时常用反证法。反证法。2.判断直线与平面平行的判断直线与平面平行的方法：方法：（1）定义法：直线与平面）定义法：直线与平面没有公共点没有公共点则线面平行
6、；则线面平行；（2）判定定理：（）判定定理：（线线平行线线平行 线面平行线面平行）；）；a3.直线与平面平行的直线与平面平行的性质定理：性质定理：ab线面平行线面平行 线线平行线线平行4.判断平面与平面平行的判断平面与平面平行的方法：方法：（1）定义法：平面与平面）定义法：平面与平面没有公共点没有公共点则面面平行；则面面平行；（2）判定定理：）判定定理：线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行P关键是关键是找平行线找平行线法一法一:三角形的中位线定理；三角形的中位线定理；法二法二:平行四边形的平行关系平行四边形的平行关系。如果两个平面平行，如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线那
7、么在一个平面内的所有直线都与另一个都与另一个平面平行平面平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它那么它们的们的交线平行交线平行.如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么那么它也和另一个它也和另一个平面相交平面相交.夹在两个平行平面间的夹在两个平行平面间的所有平行所有平行线段相等。线段相等。5.平面与平面平行的平面与平面平行的性质：性质：aab6.直线与平面垂直的直线与平面垂直的方法：方法：（1）定义法：）定义法：直线直线 l 与平面与平面 内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直。都垂直。（2）判定定理：）
8、判定定理：线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直7.直线与平面垂直的直线与平面垂直的性质：性质：ab 8.判断平面与平面垂直的判断平面与平面垂直的方法：方法：（1）定义法：）定义法：两个平面相交，如果它们所成的两个平面相交，如果它们所成的二面二面角是直二面角角是直二面角。（2）判定定理：）判定定理：线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直aA8.平面与平面垂直的平面与平面垂直的性质定理：性质定理：面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直Ala小结小结：线线线线平行平行 线面线面 平行平行 面面面面 平行平行线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质面面平行判定面面平行判定面面平行性质面面平行性
9、质空间中的平行关空间中的平行关系的转化系的转化面面平行性质面面平行性质线线线线垂直垂直线面线面垂直垂直面面面面垂直垂直空间中的垂直关系的转化空间中的垂直关系的转化平行和垂直关系的转化平行和垂直关系的转化空间中的平行空间中的平行 空间中的垂直空间中的垂直1.异面直线所成角异面直线所成角：范围：范围求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线；作（或找）平行线；二证：二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角；证明所作的角为所求的异面直线所成的角；三求：三求：在一恰当的三角形中求出角。在一恰当的三角形中求出角。2.直线与平面所成角直线与平面所成角：范围：
10、范围00 ，9090 (0(0 ，9090 注：已知角，要求角，注：已知角，要求角，关键找射影。关键找射影。3.二面角二面角：范围：范围00 ，180180 OBAAOB即为二面即为二面角角-l-的的平面角。平面角。l l八、补充八、补充：公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：等角定理等角定理的推论：的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直
11、线所成的锐角（或直角）相等。那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。例例例例1 1：在棱：在棱：在棱：在棱长为长为长为长为1 1的正方体的正方体的正方体的正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，中，中，(1)求异面直线求异面直线A1B与与B1C所成的角的大小所成的角的大小;(2)求直线求直线A1B与平面与平面BB1D1D所成的角所成的角;(4)求求证证:平面平面A1BD/平面平面CB1D1;(7)求点求点A1到平面到平面CB1D1的距离的距离.(3)求二面角求二面角ABDA1的正切值的正切值;ABCDA1B1C1D1例例2如图所示，在长方体中，如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是是 棱棱CC1的中点的中点（）求异面直线）求异面直线A1M和和C1D1所成的角的正切值；所成的角的正切值；（）证明：平面）证明：平面ABM平面平面A1B1M