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1、电动力学公式推导荟萃电动力学公式推导荟萃 0. 序为了培养学生严谨的逻辑思维能力，训练严密的数学演算技能，掌握电动力学课程的基本理论、基本方法和基本知识，系统把握课程的理论体系以及重点和难点.在此我们结合课程特点以及教学实践,着重编撰了电动力学课程中对典型公式或理论的推导内容，并在适当的地方加了注释，供同学们学习中参考。本电动力学公式推导荟萃分列十余条专题,具体内容如下表：公式推导列表序号内 容所属章节1电磁场能量守恒定律的推导。第1章:电磁现象的普遍规律2静电势满足泊松方程的推导。第2章：静电场3静电场能量公式的推导。第2章：静电场4静磁场矢势满足微分方程的推导。第3章：静磁场5静磁场能量公
2、式的推导。第3章:静磁场6磁标势满足的微分方程的推导。第3章：静磁场7波动方程的推导。第4章：电磁波的传播8亥姆霍兹方程的推导。第4章：电磁波的传播9平面电磁波性质的推导。第4章:电磁波的传播10导体中自由电荷随时间变化规律的推导。第4章：电磁波的传播11导体中电磁场关系的推导.第4章：电磁波的传播12达朗贝尔方程的推导。第5章：电磁波的辐射13振荡电偶极子辐射场的推导.第5章:电磁波的辐射14电磁场动量守恒定律的推导.第5章：电磁波的辐射15多普勒公式和光行差公式的推导。第6章：狭义相对论16相对论力学方程的推导。第6章：狭义相对论1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组和洛仑兹力公
3、式及,结合公式可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为令则给出电磁场能量守恒定律的微分形式为对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，由给出能量密度为而为能流密度矢量，或称为坡印亭(Poynting）矢量.*练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧,试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。2。 静电势满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将，代入得即对于均匀介质, 有，上式给出此即为静电势满足的泊松(poisson）方程,其中为自由电荷体密度.注释:当,或时，均有，仍满足泊松方程。3. 静电场能量公式的推导在线性介质中,电场总能量为对于静电场，利用给出
4、所以又，故注释:(1）电场能量分布于空间电场中。在静电情形下,电场决定于电荷分布，场内没有独立的运动,因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。（2)不能视为静电场能量密度，上式只对静电场的总能量才有意义（因为静电能不是分布在电荷上）。（3）静电相互作用能为，其中为外电场的电势。4. 静磁场矢势满足微分方程的推导因为，有。对于各向同性线性介质，将及代入静磁场方程，得运用库仑条件，经整理给出对于均匀介质, 有，上式给出此即为静磁场矢势满足的微分方程，其中为传导电流体密度。注释：当，或时，均有，此时仍满足上述方程。5. 静磁场能量公式的推导在线性介质中，磁场总能量为对于静磁场，结合公式，应用磁场方程可
5、给出所以 又，故注释：（1)磁场能量分布于空间磁场中。在静磁场情形下,磁场决定于稳恒电流的分布，因而静磁场的总能量可由电流分布决定。（2）不能看作为静磁场的能量密度，上式只对静磁场的总能量才有意义（因为磁能不是分布在电流上）。（3）在外磁场中的相互作用能为。6。 磁标势满足的微分方程的推导在的区域内(且)，静磁场方程为对介质方程的两边取散度，得 令磁荷密度为代入静磁场方程给出（以为基本量-磁荷观点）: 由(1)式引入磁标势代入（2）式，则得磁标势满足的微分方程为7。 波动方程的推导以真空情况为例加以推导。由无源麦克斯韦方程组出发运用公式对（2）式取旋度，并应用第(3）、(4）式得则同理，对(4
6、）式取旋度，并用第(1）、（2）式得则令,则得波动方程如下注释:在介质中,对于一定频率的电磁波，上述波动方程成为其中波速8. 亥姆霍兹方程的推导方法一对于一定频率的时谐电磁波，有。设电磁场量的形式为则有代换关系，此时无源区域的麦克斯韦方程组成为 对（2）式两边取旋度，并利用（1)、（4）式得即电场满足的亥姆霍兹方程为其中波数.由此式解出后，进一步便可由(2）式得到磁场：. 同理，对（4）式两边取旋度,并利用（2）、（3）式,可得磁场满足的亥姆霍兹方程为进一步由（4）式可给出：.注释:（1）上述推导过程给出两种研究电磁波的途径；（2）为横波条件。-方法二对于一定频率的时谐电磁波，设电磁场量的时空
7、变量分离形式为利用代换关系,由波动方程可以直接给出此即为亥姆霍兹(Helmholtz）方程.9. 平面电磁波性质的推导对于平面波有，并且。结合，此时不含源的麦克斯韦方程组成为其中（1）式、（3）式表明;而由（2）式或(4）式给出或,所以。由此给出平面波的性质为:,即电磁波为横电磁（TEM）波;，并且三者组成右手系；同相位；大小成比例，。注释：（1）因为;同样可得，即相当于（2)对于平面波，因为，所以，即电场能量密度等于磁场能量密度；并且,其中.10。 导体中自由电荷随时间变化规律的推导设导体内有自由电荷分布，在均匀介质中激发的电场满足方程,而欧姆定律为，所以此外，运用电荷守恒定律给出解此微分方
8、程，得电荷分布随时间的变化规律为其中为时的电荷分布。11。 导体中电磁场关系的推导考虑平面电磁波沿Z轴正向垂直入射至导体，则导体中复波矢可写为且，可把电场表示为由麦克斯韦方程组（)其中的第（2)式,结合及代换关系，得有在垂直入射下，通常，所以,有。而对于良导体，有，所以注释：与真空或介质中电磁波的性质（见第9条推导）相比，导体中的平面电磁波虽然仍是TEM波，但其性质发生明显变化：（1）电场与磁场不同相位;(2)（而在介质中时，此比值等于1）；（3）导体中电磁波的能量主要是磁能.12. 达朗贝尔方程的推导以真空情况为例加以推导.从麦克斯韦方程组出发由其中（1)、(2）式引入势函数：代入（4)式给
9、出经整理得其中。将(5）式代入(3）式给出运用洛仑兹条件则（6)式、（7）式化为此即达朗贝尔（dAlembert）方程。13。 振荡电偶极子辐射场的推导因为振荡电偶极子的势为求时只需留至项，且在一定频率下，故作代换得到电磁场为 平均能流密度为辐射功率为注释:（1）在球坐标系中,取电偶极矩的方向沿Z轴，因为始终平行于的方向，所以（2）振荡电偶极子处于球系坐标原点，在辐射区内的电磁场具有性质：电磁场量，即与R成反比；能流密度 （方向性）；总辐射功率，与R无关.14。 电磁场动量守恒定律的推导以真空情况为例加以推导.从麦克斯韦方程组出发将洛仑兹力公式中的源用（3）、（4）式中的场量表示为了对称，应用
10、（1）、（2)式,在上式中插入两个零值项：， ，并进一步组合得令则给出电磁场动量守恒定律的微分形式为对应的积分形式为其中为动量流密度张量，为动量密度矢量.注释：（1）真空中;（2）对于平面波；（3）对于光子，能量和动量分别为。15. 多普勒公式和光行差公式的推导四维波矢在洛仑兹变换下的变换关系为对沿x轴方向的特殊洛仑兹变换，成为 即有变换关系设在系中波矢与x轴的夹角为、在系中波矢与x轴的夹角为,则有可解出（1）式即相对论的光行差公式，（2)式即相对论的多普勒（Doppler）效应。注释:光行差公式还可应用速度变换公式导出16。 相对论力学方程的推导因为四维动量，其中分别为相对论动量和相对论能量：，则四维力为其中。利用,得，即相对论的三维力并且，所以能量的时间变化率为*End