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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 01 利用数轴解决集合运算问题【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.1、集合运算在数轴中的体现：:AB在数轴上表示为,A B表示区域的公共部分.:AB在数轴上表示为,A B表示区域的总和.:UC A在数轴上表示为U中除去A剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉
2、及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可.3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便
3、于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例 1【2017 课标 1，理 1】已知集合A=x|x1，B=x|31x，则（）A|0ABx xBABRC|1ABx xDAB【答案】A【解析】由31x可得033x，则0 x，即|0Bx x，所以，结合数轴得|1|0|0ABx xx xx x，|1|0|1ABx xx xx x，故选 A.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 2【2018 届河北省衡水中学高三上学期七调】设集合|2Axx，Bx x a，全集UR，若UABe，则有（）A.0a B.2a C.2a D.2a【答案】C【解析】2,2,UAC B
4、xa,结合数轴得2a,故选 C.例 3【2018 届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数aR，集合|120Axxx，|Bx xa，若ABR，则a的取值范围为（）A.,1 B.,1 C.2,D.2,【答案】B【解析】由题得|21Ax xx或，因为ABR，所以通过画数轴分析得到1a，（注意一定要取等），故选 B.【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点；（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合；（3）注意考虑端点处是否可以重合.例 4【2018 届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合Ax xa，2320Bx x
5、x，若AB B，则实数a的取值范围是（）A.1a B.1a C.2a D.2a【答案】D 例 5.已知函数221,02()1,20 xxg xaxfxxx，对122,2,2,2xx，使得12g xfx成立，则实数a的取值范围是 _【答案】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】思路：任取12,2x，则1g x取到g x值域中的每一个元素，依题意，存在2x使得12g xfx，意味着g x值域中的每一个元素都在fx的值域中，即g x的值域为fx的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a的范围解：20,2x时，20,3fx22,0 x时，24,0fx24,3fx1,0a综上所述
6、：1,1a答案：1,1a.例 6.已知集合|21,|Ax xxBx axb或，若,2,4ABR AB，则ba_【答案】4【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B的范围.从而确定出,a b的值，1,4ab，所以4ba.例 7.已知集合0)12(,31122mmxmxxBxxxA，若AB，则实数m的取值范围为【答案】5 3(,)2 2推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】先解出,A B的解集，AB意味着,A B有公共部分，利用数轴可标注集合B两端点的位置，进而求出m的范围22(21)0 xmxmm10 xmxm1mxmAB312m且32m5 3,2 2m.例 8：在R上定
7、义运算:2xxyy，若关于x的不等式(1)0 xxa的解集是|22,xxxR的子集，则实数a的取值范围是（）A22a B 12a C31a或11a D31a【答案】D【解析】首先将(1)0 xxa变为传统不等式：1001xxxaxa，不等式含有参数a，考虑根据条件对a进行分类讨论。设解集为A，因为2,2A，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当A时，则1a；当A时，根据a的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出a的范围即可解：1000211xxxxaxaxa推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料设解集为A当A时，则1a当A时：若101aa时，0,12,2Aa12a1a11a若101aa时，1
8、,02,2Aa12a3a31a综上所述：3,1a答案：D.【精选精练】1【2017 北京，理1】若集合A=x|2x1，B=x|x3，则 AB=（A）x|2x 1 （B）x|2x3（C）x|1x1 （D）x|1x3【答案】A【解析】利用数轴可知21ABxx，故选 A.2【2017 山东，理1】设函数x2y=4-的定义域A，函数 y=ln(1-x)的定义域为B,则AB=（A）（1,2）（B）(1,2（C）（-2,1）（D）-2,1)【答案】D 3.【2018 届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次模拟】集合2|20Ax xx，集合|14Bxx，则AB（）A.|12xx
9、 B.|14xx C.|11xx D.|24xx推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】B【解析】因为2|20Ax xx=1,2，所以|14ABxx1,2=1,4（），选 B.4【2018 届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】设集合|2Ax x，|12Bxx，则AB（）A.4,B.4,C.2,1 D.4,2【答案】D【解析】|2|22,|12|41,Ax xx xxBxxxx或|42.ABxx故选 D.5.【2018 届重庆市巴蜀中学高三3 月月考】已知全集UR，集合|11Axx，25|11xBxx，则UAC B（）A.|12xx B.|12xx
10、C.|12xx D.|14xx【答案】C 点晴：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.）推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料6已知全集UR,集合|lg10,|31xAxxBx,则UABe等于A.,00,B.0,C.,10,D.1,【答案】C【解
11、析】全集UR,集合|lg10|10,|31|0 xAxxxxBxx x,|10ABxx.|1UABx xe或0 x.故选 C.7【2018 届宁夏吴忠市高三下学期高考模拟】已知全集UR，设函数lg1yx的定义域为集合A，函数2210yxx的值域为集合B，则UAC B（）A.1,3 B.1,3 C.1,3 D.1,3【答案】D 8【2018 届江西省新余市高三上学期期末】设集合，则等于（）A.B.C.D.【答案】C 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】由，即为，即，即为，解得,，由，即，=.9.【2018 年衡水金卷三】已知集合2|340 AxRxx，|BxRxa，若ABB，则实数a
12、的取值范围为（）A.4,B.4,C.,4 D.,4【答案】B【解析】对于集合A，234410 xxxx，解得14x.由于ABB故4a.10【2018 届北京市人大附中2017-2018 学年高三十月月考】已知集合220Ax xx,集合,Bx xa若,ABR则实数a的取值范围是A.,1 B.2,C.1,D.,2【答案】B【解析】由题得21Ax xx或,因为ABR,所以2a,故选 B.11.【2018 届云南省曲靖市第一中学高三3 月】已知集合，若，则的取值范围是()A.B.C.D.12【2018 届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟】已知集合，若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选 A.